高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）21 第三章 函数极限 s03函数极限的概念3

单侧极限s1函数极限概念趋于时的函数极限趋于.时的函数极限第三讲函数极限的概念3数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限为了简洁地求出定义中的8，可以将所考虑的式子适当放大，或许这样所求出的不是“最佳”的但这不影响解题的有效性．首先继续看几个例子例1 证明：(1) lim sinx = sinx,;x→Xo(2) lim cosx = cosxox→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ ՟1 䆕ᯢ˖ 0 0 (1) lim sin sin ; x x x x o ৃҹᇚ᠔㗗㰥ⱘᓣᄤ ϡᰃĀ᳔Շāⱘ, Ўњㅔ⋕ഄ∖ߎᅮНЁⱘ G , 0 0 (2) lim cos cos . x x x x o ៪䆌䖭ḋ᠔∖ߎⱘG xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ Ԛ䖭ϡᕅડ㾷乬ⱘ᳝ᬜᗻ. 䗖ᔧᬒ໻, 佪ܜ㒻㓁ⳟ޴Ͼ՟ᄤ.

单侧极限1函数极限概念x趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限证首先，在右图所示的单位圆内当00，有sinx<x.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念x趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限又因为sinx，x均是奇函数，故sinx≤x, xeR.上式中的等号仅在x=0时成立对于任意正数ε,取=,当0<x-x<时x+xox-xosinx-sinx,=2cossin22≤[x-x。/<8,所以lim sin x = sin xox→xo同理可证：lim cosx=cosxox-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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91函数极限概念单侧极限x趋于时的函数极限x趋于时的函数极限例2 证明:lim /1-x2 =/1-x2（Ixo0,取=当 0<|x-xl< 时,22[x-xoI/1-x2-/II≤<8.r.一1-x这就证明了所需的结论数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限在上面例题中，需要注意以下几点：1.对于S，我们强调其存在性.换句话说，对于固定的 ε,不同的方法会得出不同的8，不存在哪一个更好的问题2.是不惟一的。一且求出S，那么比它更小的正数都可以充当这个角色。3.正数ε是任意的，一旦给出,它就是确定的常数有时为了方便，需要让ε小于某个正数.一旦对这样的ε能找到相应的S,那么比它大的ε，这个8当然也能满足要求数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限1函数极限概念趋于时的函数极限x趋于x时的函数极限4.函数极限的几何意义如图，任给ε>0,对于坐标平面上以y=A为中心线，宽为2ε的窄带,可以找到yS>0，使得曲线段=A+8y=Ay= f(x), xeU(xo,o)y=A-8落在窄带内。0XXo+d数学分析第三章图函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念趋于时的函数极限趋于，时的函数极限单侧极限在考虑 lim f(x)时，x既可以从xo的左侧(xx)趋向于xo.但在某些时候,我们仅需(仅能)在x的某一侧来考虑，比如函数在定义区间的端点和分段函数的分界点等数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念趋于时的函数极限趋于，时的函数极限定义5设 f(x)在U(xo,n)(U~(xo,n))有定义,A为常数.若对于任意正数ε,存在正数（xx-→xo右极限与左极限统称为单侧极限.为了方便起见有时记f(xo +0)= lim f(x), f(xo -0) = lim f(x)x-→xox→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限91函数极限概念趋于时的函数极限趋于，时的函数极限例3讨论函数/1-x2在x=±1处的单侧极限解 因为 [x|≤1, 1-x2=(1+x)(1-x)≤2(1-x)82所以>0,取=当1-8<x<1时,有2I /1-x2 -0k8.这就证明了 lim ~1-x2=0.x-1lim /1-x2 = 0.同理可证x→-1+数学分析 第三章函数极限高等教育出版社

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