高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）3 第一章 实数集与函数 s03数集的确界

第一章数学分析$2数集·确界原理实数集与函数一、有界集确界原理本质二、 确界上体现了实数的完三、确界的存在性定理备性，是本节学习四、非正常确界的重点与难点。*点击以上标题可直接前往对应内容

一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质 上体现了实数的完 备性，是本节学习 的重点与难点. §2 数集 · 确界原理 数学分析 第一章 实数集与函数 *点击以上标题可直接前往对应内容

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界第三讲数集的确界数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 第三讲 数集的确界

非正常确界52数集·确界原理有界集确界的存在性定理确界记号与术语点α的邻域U(a;)=(x/ [x-a|<8)1xaa+sa-sU(a;)={xl0<lx-al<} 点a的空心邻域点a的s右邻域Ut(a;)=(x/ 0≤x-a<S)axa+sU_(a;8)={xl0≤a-x<}点a的s左邻域数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 U a x x a ( ; ) { | | | }      点a的 邻域 记号与术语 a x a   a   ( ) U a x x a ( ; ) { | 0 | | }       点a的 空心邻域 U a x x a ( ; ) { | 0 }        点a的 右邻域 a a   ) x U a x a x ( ; ) { | 0 }        点a的 左邻域

非正常确界52数集·确界原理有界集确界的存在性定理确界记号与术语8的M邻域U(00;M) =(x / /x|> M)71xM-M+8的M邻域U(+oo;M) =(x x > M)80 的M邻域U(-00;M)=(x / x<M)maxS：数集s的最大值minS：数集S的最小值后退前进目录退出数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 记号与术语 U M x x M ( ; ) { | | | }    U M x x M ( ; ) { | }    U M x x M ( ; ) { | }    max : S S 数集 的最大值 min : S S 数集 的最小值 后退 前进 目录 退出 的 M 邻域 的 M 邻域 的 M 邻域 有界集 x M M ( )

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界有界集定义1设ScR,S+O(I)若=MR,使得VxES,x≤M,则称 M为S的一个上界，称S为有上界的数集(2)若日LeR,使得VxES,x≥L,则称L为S的一个下界，称S为有下界的数集(3)若 S既有上界又有下界，则称S为有界集其充要条件为:3 M >0.使VxE S,有IxI≤M.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 定义1 有界集 设S S    R, . (1) R, 若   M S 的一个上界, (2) R, 若  L S的一个下界, (3) , 若 既有上界又有下界 S 则称S 为有界集. 其充要条件为: 有界集 使得    x S x M , ,则称 M 为 称 S 为有上界的数集. 使得    x S x L , , 则称 L为 称 S 为有下界的数集.   M 0,使  x S, 有 | | . x M

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界例如区间（-80,0|是有上界的数集而且每个非负数都是其上界区间(2,+80)有下界，而且小于等于2的数都是其下界数集 sinx|xe R 有界且1，-1分别为其上界，下界。数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 有界集 例如区间- 0 , ，是有上界的数集 区间2 + , ，有下界 数集 sin . x x  有界 而且每个非负数都是其上界. 而且小于等于2的数都是其下界. 且1,-1分别为其上界，下界

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界(1）若 S不是有上界的数集，则称 S无上界即VMR, x,ES,使得x,>M.(2'）若 S不是有下界的数集,则称 S无下界，即VLeR，x,ES，使得x,0, 3 x, E S,使得|x。|>M.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 (1 ) ,  若 S 不是有上界的数集 即  M R, (2 ) ,  若 S 不是有下界的数集  L R, (3 ) ,  若 S 不是有界的数集   M 0, 有界集 即 即 则称 S 无上界, 0   x S, 0 使得 x M . 则称 S 无下界, 0   x S, 0 使得 x L  . 则称 S为无界集, 0   x S, 0 使得 | | . x M

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界例1 证明数集 S={2"nεN}无上界，有下界。证 取L=1,则Vx=2"eS,x≥L,故S有下界VMeR,若MM;若M≥1,取x,=2[M+I >[M]+1>M，因此S无上界.n?-1有界.例2证明数集S=neN.2n3?n2-1n证 VneN,≤?2n332n2n因此S有界数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 [ ] 1 0 2 [ ] 1 , M x M M  取     证 取 L = 1, {2 | N } , . n 例 证明数集 无上界 有下界 S n    1 例2 2 3 + 1 N . 2 n S n n          证明数集 有界 证 2 + 3 1 N , 2 n n n    因此 S 有界. 有界集 x 2 S, x L, n 则    故 S 有下界. 因此 S 无上界.   M R, 2 ; 1 取x0   M 若M  1， 2 3 3 1 2 2 n n n   1 1 1, 2 2    若M  1

非正常确界52数集·确界原理有界集确界的存在性定理确界确界若数集S有上界，则必有无穷多个上界，而其中最小的一个(如果有)具有重要的作用,称为上确界同样若 S有下界,最大的下界(如果有)称为下确界定义2设 SR,Sの，若nER满足:(i)VxES, x≤n; (ii) Vαα,则称 n是S的上确界，记作 n=sups.注1 条件(i)说明n 是 S的一个上界，条件(i)说明比n小的数都不是s的上界，从而 n是最小的上界即上确界是最小的上界数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 定义2 确界 (i) ,  x S (ii) ,     0 使得 x , 若数集 S 有上界, 称为上确界. 同样若 S 有下界， 确界 注1 条件(i) 说明  是 S 的一个上界, 比  小的数都不是 S 的上界, 条件(ii)说明 即上确界是最小的上界. 则必有无穷多个上界, 而其中最 最大的下界(如果有)称为下确界. 从而  是最小的上界. 设 S S    R, ， 若   R 满足： x ; 0   x S, 则称  是 S 的上确界 , 小的一个 记作 .   sup S (如果有) 具有重要的作用

非正常确界有界集52数集·确界原理确界的存在性定理确界注2 条件(ii)亦可换成：V>0,3x,ES, x,>n-8.定义3设 SR,SO，若ER满足:(i) VxES, x≥5;(ii) Vβ>5, x, ES, x,0, 3x,ES, x<+8.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

数学分析 第一章 实数集与凼数 高等教育出版社 §2 数集·确界原理 有界集 确界 确界的存在性定理 非正常 确界 定义3 (i) ,  x S (ii) ,       0, 注4 下确界定义中的(ii)亦可换成 注3 由定义,下确界是最大的下界. 确界 注2 条件 (ii) 亦可换成:    0, 0 x     . 0   x S, 0 x     . 0   x S, 设 S S    R, ， 若   R 满足： x  ; 0   x S, 0 x  ; 则称  是 S 的下确界 , 记作 .   inf S