中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第三章 函数插值

口研究函数插值的必要性实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系，但其解析表达式可能：（1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值。（2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单的解析表达式来近似代替它。2口具体要求（1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。（2）具有一定的光滑性。（3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数中的正弦与余弦函数等等。口举例：Hooker定律

-1-  研究函数插值的必要性 实际问题中遇到的函数一般具有确定的函数关系， 但其解析表达式可能: （1）未知，但可以测得一些关键点处的函数值。 （2）已知，但表达式复杂不实用，常常需用一个简单 的解析表达式来近似代替它。  具体要求 （1）在某个范围内能和原函数充分接近，有较好的近似效果。 （2）具有一定的光滑性。 （3）表达式简单易用，比如：多项式，有理分式，三角函数 中的正弦与余弦函数等等。  举例： Hooker定律

弹簧在力F的作用下伸长x.一一定范围内服从Hooker定律F=kx.k为弹性系数,现在得到下面一组数据,通过作图可以看出，当F达到一定数值后.就不服从Hooker定律试由数据确定k.并给出不服从Hooker定律时的近似公式17x(cm) 12 4791213151.53.96.611.715.618.819.620.621.1F(kg)25L201510546010121416182- x

- 2 - 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 05 10 15 20 25 力 F 力力 x , Hooker , , , . , Hooker . , Hooker . F x F kx k Fk  弹簧在力 的作用下伸长 一定范围 内服从 定律： 为弹性系数 现在得到下面一组数据 通过作图 可以看出，当 达到一定数值后 就不服从 定律 试由数据确定 并给出不服从 定律时的近似公式 ( ) 1.5 3.9 6.6 1 1.7 1 5.6 1 8.8 1 9.6 2 0.6 2 1.1 ( ) 1 2 4 7 9 1 2 1 3 1 5 1 7 F kg x cm

S1多项式插值问题国假如通过实验或测量可以获得f(x)在区间[α,bl上的一组n+1个不同的点：a≤x<x <x<...<x,≤b对应的函数值：y, = f(x) i= 0,1,2,.-,no要求一个次数不超过n次的多项式P(x)，满足：p,(x)= y, = f(x),i =0,1,2.,.. n目的实际计算中，用P(x)近似代替f(x)。口-3-

-3- §1 多项式插值 0 1 2 ( ) [ , ] 1 ( ) 0,1,2, , ( ) ( ) ( ), 0,1,2,., 假如通过实验或测量可以获得 在区间 上的一组 个不同的点： 对应的函数值： 。 要求一个次数不超过 次的多项式 ，满足： n i i n n i i i f x a b n a x x x x b y f x i n n P x p x y f x i n             ( ) ( ) 实际计算中，用P x f x n 近似代替 。 . 问题 . 目的

插值条件插值多项式插值节点插值区间

-4- 插值条件 插值多项式 插值节点 插值区间

口一个例子如y=sinx,若给定[0,元l上5个等分点，其插值函数图象为sinx口口0.90.80.70.60.50.40.30.20.1120.51.533.52.5x易见，对于被插函数f(x)和插值函数P(x):1）在插值节点x,处：P(x)=f(x)(or.没有误差)2） 插值节点x,以外点：P(x)≠ f(x)(or.P(x)~ f(x),存在误差

-5- 如y x  sin , [0, ] 5 若给定  上 个等分点，其插值函数图象为： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sinx力力力 x y 易见，对于被插函数f x P x ( ) ( ) 和插值函数 ： 1) 在插值节点x P x f x or i i i 处： ( ) ( ) . ;  没有误差 2) 插值节点x P x f x or P x f x i以外点： ( ) (  ( ) . ( ), ;  ) 存在误差 . 一个例子

口存在唯一性满足插值条件的多项式是存在唯一的。证明设y=f(x）的插值多项式为：P,(x)=ao +ax+a,x? +...+a,x则有：P(x)=yii=0,1,2,...,n即P(x)的系数ao,a,az,",a,满足方程组：a +ax +a,x +..+a,x' = yoa +ax +ax+..+ax"=y..ao,a,,a,存在且唯一a +ax, +a,x +...+a,x" =yn即：P(x)存在且唯一。：方程组的系数矩阵行列式xoXo.X+X2x1xx1(x,-x)±0i=0 j=i+1xnx?xn6

-6- 设y f x  ( ) 的插值多项式为： 2 0 1 2 ( ) n P x a a x a x a x n n      ( ) 0,1,2, , 则有：P x y i n n i i   0 1 2 ( ) , , , , 即P x a a a a n n 的系数 满足方程组： 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y                       2 0 0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n n x x x x x x V x x x  1 0 1 ( ) n n j i i j i x x         i j x x   0 方程组的系数矩阵行列式 0 1 , , , n a a a 存在且唯一 即：P x n ( )存在且唯一 。 满足插值条件的多项式是存在唯一的。 证明 . 存在唯一性

例1求满足下面插值条件的二次插值多项式。031 x231y解设 P(x)=a, +ax+a,x,则a, =1a, =1a +a, = 2=a =17/6a +a, +a, = 3±33a, +9a, =1[a, = -5/6[a + 3a, +9a, = 2517这种方法: P(x)=1+X66称为待定000系数法！

-7- 这种方法 称为待定 系数法！ 2 2 0 1 2 设 P x a a x a x ( )    ，则 a a a a a a a 0 0 1 2 0 1 2 1 3 3 9 2             a a a a 1 2 1 2 2 3 9 1         a a a 0 1 2 1 17 6 5 6           2 2 17 5 ( ) 1 6 6     P x x x 解 例1 求满足下面插值条件的二次插值多项式。 x 0 1 3 y 1 3 2

插值余项（截断误差假设在区间[a,b上f(x)的插值多项式为P,(x)令R,(x)= f(x)-P(x)显然在插值节点 x,(i=0,1,,n)上R,(x)=f(x)-P(x)=0,i=0,1,.,n因此R,(x)在[a,b]上至少有n+1个零点因此可设R,(x) = K(x)0u+1(x)其中のn+1(x)=(x-x(x-x)..(x-x,)，K(x)为待定函数所以R,(x)= f(x)- P,(x)= K(x)on+1(x)即f(x)-P,(x)-K(x)Ou+1(x)= 0-8-

-8- [ , ] ( ) ( ) n 假设在区间 a b f x P x 上 的插值多项式为 令 ( ) ( ) ( ) R x f x P x n n   ( 0,1, , ) i 显然在插值节点 x i n  上 ( ) ( ) ( ) 0 , R x f x P x n i i n i    ( ) [ , ] 1 因此R x a b n n 在 上至少有  个零点 因此可设 1 ( ) ( ) ( ) R x K x x n n    其中 1 0 1 ( ) ( )( ) ( ) n n  x x x x x x x      ，K x( )为待定函数 所以 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R x f x P x K x x n n n      即 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x P x K x x      0 i n  0,1, , . 插值余项(截断误差)

引入辅助函数： g(t)=f(t)-P,(t)-K(x)のn+1(t)注意与x的区分则有 p(x)= f(x)- P,(x)-K(x)のn+1(x)=0且 p(x,)= f(x,)- P,(x,)-K(x)@n+1(x,)= R,(x,)- K(x)ou+(x,)= 0 i=0,1,..,n因此,若令x±x,p(t)在区间[a,b]上至少有n+2个零点,即p(x)=0, p(x)=0 , i=0,1,2,",n由于P, (x)和の+(x)为多项式,因此若f(x)可微,则g(t)也可微由Rolle中值定理β(t)在区间a,b)上有至少n+1个零点g"(t)在区间(a,b)上有至少n个零点再由Rolle中值定理-9

- 9 - 则 有 ( ) x 的区分 注意 t 与 x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n t f t P t K x t 引入辅助 函数：      1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n    f x P x K x x    0 ( )i 且  x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i n i n i    f x P x K x x   1 ( ) ( ) ( )   R x K x x n i n i    0 i n  0,1, , , , ( ) [ , ] 2 , i 因此 若令x x t a b n    在区间 上至少有 个零点 即 ( ) 0 , x  ( ) 0 , 0,1,2, , i  x i n   1 ( ) ( ) , ( ) , ( ) 由于P x x f x t n n 和   为多项式 因此若 可微 则 也可微 由Rolle 中 值 定 理 ( ) ( , ) 1 t a b n 在区间 上有至少  个零点 再 由Rolle 中 值 定 理 ( ) ( , ) t a b n 在区间 上有至少 个零 点

依次类推p(t)= f(t)-P,(t)-K(x)on+i(t)在区间(a,b)内至少有一个点,使得β(t)的n+1阶导数为零p(n+1)(5) = 0由于(n+I)(t) = f(n+1)(t)- P(n+1) (t)-K(x)o(+ (t)因此p(n+1)(5)= f(n+1)(5)- P(n+)() - K(x)(++()= f(n+I)(5)-K(x)·(n+1)! = 0f(n+1)()所以K(x) :(n+ 1)!f(n+l) ()所以R,(x)= K(x)u+1(x) :n+1(x)(n+1)!-10-

-10- 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n t f t P t K x t  依次类推      在区间( , ) , ( ) 1 a b t n 内至少有一个点  使得 的  阶导数为零 ( 1)( ) 0 n     由于 ( 1) ( ) n  t  ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f t P t K x t         因此 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n       f P K x         ( 1)( ) ( ) ( 1)! n f K x n        0 所以 ( 1)( ) ( ) ( 1)! n f K x n     所以 1 ( ) ( ) ( ) R x K x x n n    ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n f x n      