中国矿业大学：《数值计算方法》课程教学大纲 Computational Method

课程编号：0701221010COMM《计算方法》（ComputationalMethod）课程教学大纲64学时4学分一、课程的性质目的及任务计算方法是研究和讨论求解各类数学问题数值计算方法及其理论的一门基础课程。旨在向学生介绍数值分析和科学计算的基本原则、常用的数值计算方法及其理论，培养学生的科学计算能力，并为进一步学习科学计算的其他方法和理论打下基础。该课程是应用数学，计算数学及其应用软件等专业的必要课。二、适用专业数学与应用数学、信息与计算数学等。三、先修课程数学分析、高等代数算法语言四、课程的基本要求通过学习，学生应达到下列要求：掌握数值计算的基本原则。熟练掌握和正确使用各种数值方法。掌握建立数值方法的基本思想和原理。正确理解算法的收敛性、稳定性等概念，具有一定的误差分析和讨论算法收敛性、稳定性的能力，掌握一些重要的结论。针对具体计算问题，正确选择和使用数值计算方法编制程序或使用软件进行数值计算，并对计算结果的可靠性进行分析讨论。五、课程的教学内容（一）课堂讲授的教学内容1. 绪论数值分析的研究对象、内容和特点。误差的来源和基本概念。误差分析的重要性数值计算的基本原则。2.方程求根根的隔离和二分法。简单送代法。收敛性与收敛速度。迭代法的加速。牛顿法及其局部收敛性。弦截法与抛物线法。*解非线性方程组的牛顿法。代数方程求根的劈因子法。3.线性方程组的解法（1）高斯消去法和主元消去法。行列式与逆矩阵的求法。矩阵分解法（直接三角分解法、乔累斯基(cholesky)分解法）。追赶法。向量和矩阵范数及其基本结论。矩阵条件数，方程组解的(2）误差分析。常用迭代法（雅可比（Jacobi）迭代法、高斯一塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法、超松驰送代（SOR法）。选代法的一般形式，选代矩阵。迭代收敛的基本定理，送代收敛的各种充分条件和必要条件。最佳松驰因子概念。4.插值法插值问题的提出。插值多项式的存在唯一性。拉格朗日插值多项式及其余项。埃特金（Aitken)逐次线性插值法。差商及其性质，牛顿(Newton)插值。埃尔米特(Hermite)插值。多项式插值的收敛性和稳定性简介。分段多项式插值（分段线性插值、分段抛物插值、分段三次埃尔米特插值)及其余项估计、收敛性、稳定性讨论

课程编号：0701221010COMM 《计算方法》（Computational Method）课程教学大纲 64 学时 4 学分 一、课程的性质目的及任务 计算方法是研究和讨论求解各类数学问题数值计算方法及其理论的一门基础课程。旨在 向学生介绍数值分析和科学计算的基本原则、常用的数值计算方法及其理论，培养学生的科 学计算能力，并为进一步学习科学计算的其他方法和理论打下基础。该课程是应用数学，计 算数学及其应用软件等专业的必要课。 二、适用专业 数学与应用数学、信息与计算数学等。 三、先修课程 数学分析、高等代数 算法语言 四、课程的基本要求 通过学习，学生应达到下列要求：掌握数值计算的基本原则。熟练掌握和正确使用各种 数值方法。掌握建立数值方法的基本思想和原理。正确理解算法的收敛性、稳定性等概念， 具有一定的误差分析和讨论算法收敛性、稳定性的能力，掌握一些重要的结论。针对具体计 算问题，正确选择和使用数值计算方法编制程序或使用软件进行数值计算，并对计算结果的 可靠性进行分析讨论。 五、课程的教学内容 (一) 课堂讲授的教学内容 1. 绪论 数值分析的研究对象、内容和特点。误差的来源和基本概念。误差分析的重要性， 数值计算的基本原则。 2. 方程求根 根的隔离和二分法。简单迭代法。收敛性与收敛速度。迭代法的加速。牛顿法及其 局部收敛性。弦截法与抛物线法。*解非线性方程组的牛顿法。代数方程求根的劈因 子法。 3. 线性方程组的解法 (1) 高斯消去法和主元消去法。行列式与逆矩阵的求法。矩阵分解法(直接三角分解 法、乔累斯基(cholesky)分解法)。追赶法。向量和矩阵范数及其基本结论。矩阵条 件数，方程组解的 (2) 误差分析。常用迭代法(雅可比(Jacobi)迭代法、高斯一塞德尔(Gauss-Seidel) 迭代法、超松驰迭代(SOR 法)。迭代法的一般形式，迭代矩阵。迭代收敛的基本定理， 迭代收敛的各种充分条件和必要条件。最佳松驰因子概念。 4. 插值法 特金(Aitken)逐次线性插值法。差商及其性质，牛顿(Newton)插值。埃尔米特 (Hermite)插值。多项式插值的收敛性和稳定性简介。分段多项式插值(分段线性插 值、分段抛物插值、分段三次埃尔米特插值)及其余项估计、收敛性、稳定性讨论

三次样条插值（三转角法、三变矩法）。*三次样条函数的特性。5.函数逼近与计算正交多项式概念和基本性质。勒让德(Legendre)多项式、切比雪夫（4e6bIⅢeB）多项式及其他常用正交多项式。*最佳一致逼近。最佳平方逼近。曲线拟合问题和最小二乘法。线性最小二乘拟合。用正交多项式作最小二乘拟合，非线性最小二乘拟合简介。6.数值积分与数值微分数值求积的基本思想。代数精度。牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式，求积余项，稳定性讨论。复化求积公式。龙贝格算法，李查逊(Ricardson)外推法思想。高斯(Gauss)型求积公式及其稳定性。数值微分。7.常微分方程数值解法收敛性、稳定性的概念。欧拉（Euler）方法（欧拉公式、后退的欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉公式等）。隐式公式的送代法，预测一校正公式的建立。龙格一库塔(Runge-utta)法。单步法的收敛性和稳定性。线性多步法公式的构造，亚当姆斯(Adams）公式，哈明(Hamming）公式。带修正值的预测一校正公式的构造。一阶方程组和高阶方程。*边值问题的数值解法（试射法、差分法）。（二）研讨的教学内容1.方程求根的方法的构造2.插值法的收敛性和稳定性研讨(三)上机实验的教学内容1.算法的效率比较，数值计算原则（如选用数值稳定性的算法）的重要性。2.方程求根选代法收敛法和收敛速度比较，劈因子法求代数方程的根，实际应用3.线性方程组求解方法的正确使用，迭代法的收敛性和收敛速度比较，应用题4．插值法的正确使用，龙格现象的发生和防止，插值法的稳定性实验，插值法的实际应用。5.数值积分方法的正确使用，不同方法的收敛速度比较，数值求积方法的实际应用。6．常微分方程数值解法的精度比较，稳定性对计算结果的影响，和介方程的求解，边值问题的试射法，实际应用。六、建议的学时分配表自主研讨内容讲授实验上机其它小计实习学习5(一) 绪论32862（二)方程求根2(三)线性方程组的解法81229(四)插值法2112(五)函数逼近与计算19(六)数值积分与数值微分79210(七)常微分方程数值解法82

三次样条插值(三转角法、三变矩法)。*三次样条函数的特性。 5. 函数逼近与计算 正交多项式概念和基本性质。勒让德(Legendre)多项式、切比雪夫(чебыщев) 多项式及其他常用正交多项式。*最佳一致逼近。最佳平方逼近。曲线拟合问题和最 小二乘法。线性最小二乘拟合。用正交多项式作最小二乘拟合，非线性最小二乘拟合 简介。 6. 数值积分与数值微分 数值求积的基本思想。代数精度。牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式，求积余项， 稳定性讨论。复化求积公式。龙贝格算法，李查逊(Ricardson)外推法思想。高斯 (Gauss)型求积公式及其稳定性。数值微分。 7. 常微分方程数值解法 收敛性、稳定性的概念。欧拉(Euler)方法(欧拉公式、后退的欧拉公式、梯形公式、 改进的欧拉公式等)。隐式公式的迭代法，预测一校正公式的建立。龙格一库塔 (Runge-utta)法。单步法的收敛性和稳定性。线性多步法公式的构造，亚当姆斯 (Adams)公式，哈明(Hamming)公式。带修正值的预测一校正公式的构造。一阶方程 组和高阶方程。*边值问题的数值解法(试射法、差分法)。 (二) 研讨的教学内容 1. 方程求根的方法的构造 2. 插值法的收敛性和稳定性研讨 (三)上机实验的教学内容 1. 算法的效率比较，数值计算原则(如选用数值稳定性的算法)的重要性。 2. 方程求根迭代法收敛法和收敛速度比较，劈因子法求代数方程的根，实际应用 3. 线性方程组求解方法的正确使用，迭代法的收敛性和收敛速度比较，应用题 4. 插值法的正确使用，龙格现象的发生和防止，插值法的稳定性实验，插值法的实际 应用。 5. 数值积分方法的正确使用，不同方法的收敛速度比较，数值求积方法的实际应用。 6. 常微分方程数值解法的精度比较，稳定性对计算结果的影响，和介方程的求解，边 值问题的试射法，实际应用。 六、建议的学时分配表 内 容 讲授 研讨 实验 实习 上机 自主 学习 其它 小计 (一) 绪论 3 2 5 (二)方程求根 6 2 2 8 (三)线性方程组的解法 8 2 12 (四)插值法 9 2 2 11 (五)函数逼近与计算 7 9 (六)数值积分与数值微分 7 2 9 (七)常微分方程数值解法 8 2 10

合计4812644七、主要参考书[1]］《数值分析》第五版，李庆扬等，清华大学出版社，2008[2】《计算方法典型例题分析》第二版，孙志忠，科学出版社，2008[3】《计算方法》第二版，曹德欣等，中国矿业大学出版社，2001八、评价方式（包括作业、测验、考试等）考试九、说明（一）带*号的内容为选学内容。（二）对上机安排的建议。1.第一章上机包括熟悉计算机，并应尽量及时完成；2．第二章至第七章，可每两章选择一个课题上机，有能力的学生可以一次完成两个课题。可能的情况下，每章可追加1学时课外上机时间。制定者：王海军审定者：：周圣武批准者：范胜君2012年9月

合 计 48 4 12 64 七、主要参考书 [1]《数值分析》第五版，李庆扬等，清华大学出版社，2008 [2]《计算方法典型例题分析》第二版，孙志忠，科学出版社，2008 [3]《计算方法》第二版，曹德欣等，中国矿业大学出版社，2001 八、评价方式（包括作业、测验、考试等） 考试 九、说明 (一) 带* (二) 1. 2. 第二章至第七章，可每两章选择一个课题上机，有能力的学生可以一次完成两个课 题。可能的情况下，每章可追加 1 制定者：王海军 审定者： 周圣武 批准者： 范胜君 2012 年 9 月