中国矿业大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第六章 实对称矩阵与实二次型

线性代数实对称矩阵与实一次型第六章实对称矩阵与实二次型6.1欧氏空问6.2 实对称矩阵对角化6.3二次型及其矩阵表示6.4化二次型为标准形6.5正定二次型与正定矩阵?China University of Mining and Technology退页页质D退出X

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 第六章 实对称矩阵与实二次型 6.1 欧氏空间 6.2 实对称矩阵对角化 6.3 二次型及其矩阵表示 6.4 化二次型为标准形 6.5 正定二次型与正定矩阵

线性代数实对称矩阵与实二次型学习要点：1.了解向量的内积、长度及正交等知识2.掌握实对称矩阵的对角化方法3.重点掌握实一次型的标准化方法，主要有正交变换和配方法两种常用方法：4.了解正定二次型的性质、判定和应用水China University of Mining and Technology退页页质后退山主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 学习要点： 1. 了解向量的内积、长度及正交等知识. 2. 掌握实对称矩阵的对角化方法. 3. 重点掌握实二次型的标准化方法，主要有正交变换和 配方法两种常用方法： 4. 了解正定二次型的性质、判定和应用

线性代数实对称矩阵与实一次型6.1欧氏空间n维向量空间是三维向量空间的直接推广，但是只定义了线性运算，而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容我们希望把这两个概念推厂到n维向量空间中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)x·y = xly cos(x,y)建立标准的直角坐标系后，可用向量的坐标来计算内积设 x =(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T 则 x y = xiy1 + x2y2 + X3y3China University of Mining and Technology页退主页页后退出2L

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 6.1 欧氏空间 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广， 但是只定义 了线性运算， 而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们 构成了三维空间丰富的内容. 我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积) x  y  x y cos(x, y) 建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积 设 T T x (x , x , x ) , y ( y , y , y )  1 2 3  1 2 3 则 1 1 2 2 3 3 x  y  x y  x y  x y

实对称矩阵与实二次型线性代数设有n维向量定义6.1 (内积的定义)x =(x,x,,...,x,), y=(yi,y2,...,y,)令 (x,y) =xy +xy, +...+xny, = x y= y'x称(x,v)为向量x与v的内积定义了内积的实向量空间称为Euclid空间?China University of Mining and Technology退页页质后退出主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 T n T n x (x , x , , x ) , y ( y , y , , y )  1 2   1 2    1 1 2 2 , T T n n x y x y x y x y x y y x       称(x,y)为向量x与y的内积. 令 定义6.1 (内积的定义) 设有n维向量 定义了内积的实向量空间称为Euclid空间

线性代数实对称矩阵与实二次型性质6.1（内积的性质）(1) (x,y) =(y,x);(2)(ax,y) = (x, y);(3)(x+ y,z) =(x,z)+(y,z);(4)(x,x)≥0,且当x±0时,有(x,x)>0即当（x,x)=0时，必有x=0定义6.2（向量的长度）Ix = (x,x) = x2 + x2 +...+x,称x为n维向量x的长度（或范数）China University of Mining and Technology页退退页顶后出主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 (1) ( , ) ( , ); x y y x  (2) ( , ) ( , );   x y x y  (3) ( , ) ( , ) ( , ); x y z x z y z    (4) ( , ) 0, 0 , ( , ) 0. x x x x x    且当 时 有 性质6.1 (内积的性质) 即当 ( , ) 0 0. x x x   时，必有 2 2 2 1 2 ( , ) , n x x x x x x      定义6.2（向量的长度） 称 x 为n维向量x的长度（或范数）

线性代数实对称矩阵与实二次型定理6.1（Cauchy-Schwarz不等式）(x,y) ≤(x,x)(y,y)(二)(2x2)即E(xt+y) =(Ex)t +2(Exy)t+(Ey)≥0这由的判别式 △≤0易知.性质6.2（向量长度的性质）(1)非负性 当 α0时,α>0 ；当α=0 时,α=0;(2)齐次性 [x[=[[x;(3)三角不等式 x+y≤x+y（三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证）宋China University of Mining and Technology退退顶后出X贝1

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 2 ( , ) ( , )( , ) x y x x y y  定理6.1 (Cauchy-Schwarz不等式) 即                          n i i n i i n i i i x y x y 1 2 1 2 2 1            n i i i i i i i x t y x t x y t y 1 2 2 2 2 这由 ( ) 2( ) ( ) 0 的判别式   0 易知. (三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证) 性质6.2（向量长度的性质） (1)非负性 当   0 时，   0 ；当   0 时，   0； (2)齐次性 x   x； (3)三角不等式 x  y  x  y

线性代数实对称矩阵与实二次型定义（单位向量）当|x=1 时，称x为 n 维单位向量1向量 β是与α 同方向长度是1的向量，称为对α单位化aa定义6.3（向量的夹角）在欧氏空间V中(x,y)任意两个非零向量的夹角　 = arccos(0≤0≤元)[x /l在欧氏空间V中，若（x,y)=0定义6.4（向量的正交）称向量x和y正交，记作x y若x-0，则显然与任何向量都正交XChina University of Mining and Technology页页退退主页后出1-

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 ( , ) arccos .(0 ) x y x y        定义 （单位向量） 当 x 1 时，称 x 为 n 维单位向量. 定义6.3（向量的夹角）在欧氏空间V中， 任意两个非零向量的夹角 定义6.4（向量的正交）在欧氏空间V中，若 ( , ) 0, x y  称向量x和y正交， 记作 . 向量  是与 同方向长度是1的向量，称为对 单位化.   1    若x=0，则显然x与任何向量都正交. x y 

线性代数实对称矩阵与实一次型定义6.5（标准正交基）若一个不含零向量的向量组 α,α,..,α中的向量两两正交:(α,α,)=0(i ± j)，则称该向量组为正交向量组,又如果这些向量都是单位向量：α=1，则称该向量组为标准正交向量组若该向量组是一个向量空间V的基，又分别称为向量空间V的正交基和标准正交基China University of Mining and Technology退页页质后退出主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正 交: ，则称该向量组为正交向量组. 又如果这 些向量都是单位向量: ，则称该向量组为标准正交向量 组. ( , ) 0( ) i j    i j    r , , , 1 2  i 1 定义6.5（标准正交基） 若该向量组是一个向量空间 V 的基，又分别称为向量 空间 V 的正交基和标准正交基

线性代数实对称矩阵与实一次型例如：[07[1]o0e =0 ,e, =1,e, =[0][]LO1是向量空间R的一个标准正交基(通常称为自然基)再如：01e =0,e, =1[][o]是下面向量空间V的一个标准正交基V =(x e R /x =(x,x,,O) = span(er,e,)米China University of Mining and Technology退退上一页页出主页后

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 例如:                                  1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 1 2 3 e e e 是向量空间R3的一个标准正交基(通常称为自然基).                       0 1 0 , 0 0 1 1 2 e e 再如: 是下面向量空间V的一个标准正交基. { | ( , ,0) } span( , ) 1 2 1 2 3 V x R x x x e e T    

线性代数实对称矩阵与实二次型定理6.2正交向量组必线性无关证明设 α,α,,α，是正交向量组又设有数,,...,使α, +α,+...+α,=0,以αi左乘上式两端,得 α α =0,由α, ±0= α α, =α 0, 从而有 =0同理可得 =·….=, =0.故α,α,,·.·,α,线性无关米China University of Mining and Technology退页页质后退出主

线 性 代 数 China University of Mining and Technology 实对称矩阵与实二次型 0 0, 2 1  1 1  1  T 由 0. 从而有1  0. 同理可得2   r  , , , . 故1 2   r 线性无关 又设有数1 ,2 ,  , r 使1 1 2 2  r  0， 1 , T 以 左乘上式两端 得 1 1 1  0， T 证明 设 α1 ,α2 ,  ,α r 是正交向量组 定理6.2 正交向量组必线性无关