中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第七章 非线性方程（组）的数值解法

第七章非线性方程（组）的数值解法S1二分法82不动点选代法S3 Newton迭代法84 非线性方程组的求解方法

第七章 非线性方程(组)的数值解法 §1 二 分 法 §2 不动点迭代法 §3 Newton迭代法 §4 非线性方程组的求解方法

引例1（P37实验四）半径为r密度为p的球体浸在水中求浸在水中的深度h解　球的质量:M=r~p3h排开水的质量： M,=[, 元[r2 -(r -x) Jdx--13r-hr2由Archimedes定律： Mw = Mb即需求解: "[h3 -3h2 + 4r3 p] = 03

引例1（P37 实验四） h. r 求浸在水中的深度 一半径为 密度为的球体浸在水中， 解   3 3 4 M r 球的质量: b  排开水的质量: h M r r x dx w 2 2 0    [ ( ) ]  2 [3 ] 3  r  h h  由Archimedes定律： Mw  Mb 即需求解: [ 3 4 ] 0 3 3 2 3      h h r h r

引例2（P38-6）开普勒（Kepler）方程F(x,y) = y-x-sin y = 0(0<ε<1)它确定了隐函数 y=f(x).（可以证明Vx,有唯一的y)求 f (x)= 0 的根

引例2 （P38-6）开普勒（Kepler）方程 F(x, y)  y  x   sin y  0(0    1) 它确定了隐函数 y  f (x) （可以证明 . x, 有唯一的 y ) 求 f (x) = 0 的根

BisectionMethodS1二分法1根的隔离与隔根区间2二分法原理：若f eC[a, bl，且f(a)·f(b)<0，则f在(a, b)上必有一根

2 二分法 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必 有一根。 §1 二 分 法 Bisection Method 1 根的隔离与隔根区间

Bisection MethodWhen to stop?七*i15b2Xk+1-xk<&或 f(x+)/<82能不能保证x的精度？82X

a b x1 x2 a b When to stop? 1 1 x x ε k  k  k f x ε 1 2 ( ) 或   能不能保证 x 的精度? x* 2 x* x Bisection Method

Bisection Methoda+h误差分析有误差一第1步产生的x=2第 k 步产生的 x, 有误差 k,-xsb-a2k对于给定的精度8，可估计二分法所需的步数k[n(b-a)-lna]b-a2kIn 2①简单；对f（x）要求不高（只要连续即可）②无法求复根，收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f(x）草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,bl分为若千小区间，对每一个满足f(a)f(b)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a);f(b)<0

Bisection Method 误差分析 第1步产生的 2 1 a b x   有误差 2 1 b a |x x*|    第 k 步产生的 xk 有误差 k k b a |x x*| 2    对于给定的精度  ,可估计二分法所需的步数 k ：     ln 2 ln ln 2 b a ε ε k b a k       ①简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ②无法求复根，收敛慢 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak )·f (bk ) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0

82不动点迭代法问题一设f(x)连续，求方程f(x)=0的根二基本思想转化为不动点求解等价变形f(x)= 0x = p(x)如果三x*,使x*=p(x*),则称x*为p(x)的一个不动点

§2 不动点迭代法 f (x)  0 x  (x) 等价变形 一 问题 设f (x)连续，求方程f (x)  0的根。 二 基本思想 , ( ), ( ) . 如果x * 使x *   x * 则称x *为 x 的一个不动点 转化为不动点求解

三基本思想与选代格式任取xo(一般≠x )，构造迭代:Xk+1 = Φ(xk)xi = p(xo), x2 = (xi), : : : 得到一序列[x}.如果(x}的极限存在,设 lim xk= x,则显然有k→>8x*= p(x*)即x是p的不动点，此时称迭代xk+1=β(x)收敛x* = lim Xk = lim p(Xk-1) = p( lim Xk-1) = p(x )k-→80k->878

三 基本思想与迭代格式 ( ), * 0 任取x 一般  x 构造迭代: ( ), 1 0 x   x ( ), x2   x1  ( ) xk1   xk  . k 得到一序列 x   , k 如果 的极限存在 x 设 lim xk x * ,则显然有 k   ( ) * * x   x ( ) . 1 即x *是的不动点，此时称迭代xk   xk 收敛( ) * k   x k x x   lim * lim ( ) 1   k k  x ( lim ) 1   k k  x

基本迭代格式Xk+1 = p(x))迭代函数p(x)选代收敛lim x, = x k->00lim x,不存在迭代发散k-→00

基本迭代格式 迭代函数 迭代收敛 迭代发散 ( ) k 1 k x  x  (x) lim . * x x k k   k 不存在 k x  lim

例1 建立迭代格式求x3 -x2-1=0在[1.3,1.6内的根区方案l： x3-x2-1=0x3 = x2 +1 x=3(1+x2):建立选代格式：xk+1=(1+x)1/3取迭代初值xo =1.3,可算得：k = 0 : x1 =(1 + x)1/3 = (1 +1.32)1/3 = 1.3907k =1: x2 = (1 + x)1/3 = (1 + 1.39072)1/3 = 1.4316k = 2 : x3 =(1 + x3)/3 = (1+ 1.43162)1/3 = 1.4501x7 = ..· = 1.4649k = 6:

1 1 0 [1.3,1.6] . 例 建立迭代格式求x 3  x 2   在 内的根 方案1: 2 1/ 3 1 (1 ) xk   xk 1 0 3 2 x  x   1 3 2  x  x  3 2  x  (1  x ) 建立迭代格式： 取迭代初值x0  1.3,可算得： k  0 : (1 ) (1 1.3 ) 1.3907 2 1/ 3 2 1/ 3 x1   x0    k  1: (1 ) (1 1.3907 ) 1.4316 2 1/ 3 2 1/ 3 x2   x1    k  2 : (1 ) (1 1.4316 ) 1.4501 2 1/ 3 2 1/ 3 x3   x2      k  6 : x7   1.4649