中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第五章 数值积分法

第五章数值积分法81数值积分的基本概念S2 插值型求积公式83 复化积分法84自适应积分法s5Gauss型求积公式86三次样条积分法

第五章 数值积分法 §1数值积分的基本概念 §2 插值型求积公式 §3 复化积分法 §4 自适应积分法 §5 Gauss型求积公式 §6 三次样条积分法 -1-

+一个实际问题为了计算瑞士国士的面积,首先对地图作了如下测量以西向东方向为x轴,由南向北方向为v轴,选择方便的原点并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标,数据如表(单位mm):7.017.534.040.510.513.044.548.056.0x454750503044383034y17093445972y210011011011061.068.576.580.591.0101.096.0104.0106.5x344137364546433328y1117118116118118121124121121y2x111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0526668326555545066y1838182868568y2121122116-2-

为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量: 以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点, 并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为 若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y 坐标,数据如表(单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 一个实际问题 -2-

瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km)14012010080604020408002060100120140160试由测量数据计算瑞土国土的近似面积,并与其精确值41288平方公里比较-3-

0 20 40 60 80 100 120 140 160 20 40 60 80 100 120 140 瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较 -3-

81数值积分的基本概念一数值积分的必要性I(F)= J' f(x)dx = F(x)[,= F(b)-F(a)其中，F(x)为f(x)的原函数。实际中可能遇到的问题：(1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值(2)f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数dx，「如Inxsinx(3)F(x)的表达式过于复杂:x*+/2x+1xxarctg+arctg09V2-xV2+x2/2x2 - ~2x +142-4

一 数值积分的必要性 ( ) ( ) b a I f f x dx   ( ) ( ) ( ) b a    F x F b F a 其中，F x f x ( ) ( ) 为 的原函数。 实际中可能遇到的问题： (1) ( ) , ( ) f x f x 的解析式根本不存在 只给出了 的一些数值 (2) ( ) ( ) , ( ) f x F x F x 的原函数 求不出来 如 不是初等函数 1 , sin ln x dx dx x x 如：  (3) ( ) F x 的表达式过于复杂： 2 0 4 2 1 1 2 1 log 1 4 2 2 1 x x x dt t x x        1 ( ) 2 2 2 2 x x arctg arctg x x     §1 数值积分的基本概念 -4-

二 基本思想几何意义设f(x)eC[a,bl，则由积分中值定理y=f(x)y个I(J)= J" (x)dxf(5)-=(b-a)f()e[a,b]即：曲边梯形的面积等于0底为ba,高为f()的矩形面积a6xf()--曲边梯形在[a,b的平均高度。1.梯形公式几何意义y=x)1()=J' (x)ax[(a)+ f(b)y个(b-a)222.矩形公式a+b中: I=f' f(x)dx ~ f(-fta)=2左: I = [' f(x)dx ~ f(a)(b-a)0a+babx2-5-右: I = [" f(x)dx ~ f(b)(b-a)

设f x C a b ( ) [ , ]  ，则由积分中值定理 二 基本思想 ( ) ( ) b a I f f x dx      ( ) ( ) [ , ] b a f a b   f ( )   b a f  , ( )  即：曲边梯形的面积等于 底为 高为 的矩形面积 f a b ( ) [ , ]  -曲边梯形在 的平均高度。 1. 梯形公式 ( ) ( ) b a I f f x dx   ( ) b a I f x dx  中：  2. 矩形公式 ( ) b a I f x dx  左：  ( ) b a I f x dx  右：    f b b a ( )( )   f a b a ( )( ) ( )( ) 2 a b f b a    [ ( ) ( )]( ) 2 f a f b b a    f a( ) f b( ) ( ) 2 a b f  2 a b  f a( ) f b( ) -5-

3推广: 1()=" (x)dx=lim(5)Axx, 其中=maxAx,, e[x-1x]2-00<kSnk-f. 1()= J' f(x)dx~ZAF(x) ≤1,k=0其中,x：求积节点；A：求积系数，仅与(x)有关，与f(x)无关。求积余项: R,=I(J)-I,=J' f(x)dx-ZAsf(x)方法误差k=0dx的近似值。如，求I()：1f(0)+ f(1)=0.75必方法1:I(f21f(0)+4 f(0.5) + f(1)欧方法2：I(f0.78333..61元1精确值：双I(f):=0.78539815...dx=arctanx4-6-

{ } ( ) k k k x A x f x 其 中, ：求积节点； ：求积系数，仅与 有关，与 无关。 3 推广 1 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) max , [ , ]. n b k k k k k k a k n k I f f x dx f x x x x                  ，其中 0 ( ) ( ) ( ) n b k k a k n I f f x dx A f x I       ( ) 求积余项：R I f I n n   0 ( ) ( ) n b k k a k f x dx A f x      1 2 0 1 ( ) 1 I f dx x   如，求  的近似值。  方 法 1 ：  方 法 2 ： 1 2 0 1 (0) 4 (0.5) (1) ( ) 0.78333. 1 6 f f f I f dx x        1 2 0 1 (0) (1) ( ) 0.75 1 2 f f I f dx x      1 1 2 0 0 1 ( ) arctan 0.78539815. 1 4 I f dx x x         精确值： 方法误差 - 6 -

问题：不同的数值公式，计算结果不同，如何衡量公式的好坏？三代数精度1定义：若某个求积公式对所有次数≤m的多项式都精确成立，而至少对一个m+1次多项式不精确成立，则称该公式具有m次代数精度。2定理：一个求积公式具有m次代数精度的充要条件是该公式对1,x,x2,,x"精确成立，而对xm+不精确成立。-7

三 代数精度 1 1 m m m   若某个求积公式对所有次数 的多项式都精确成立， 而至少对一个 次多项式不精确成立，则称该公式 次代 定义 有 ： 具 数精度。 2 1 1, , , , 2 m m m x x x x  一个求积公式具有 次代数精度的充要条件是该公式 定理： 对 精确成立，而对 不精确成立。 问题：不同的数值公式，计算结果不同，如何衡量公式的好坏？ -7-

例 验证; 第形公式 1-()会(b-0)()具有一次代数精度。解1dx=b-a=右f(x)=1时:左=F(x)= x时:左='xdx=(b2-α)a+b右=(b-左一右2I' x’dx = =(b3f(x)= x时:左=a+b右=(b-a)(左+右2：代数精度为"1"-8-

例1 验证：矩形公式 解 ( ) 1 : 1 b a f x dx b a      时 左  右 1 2 2 ( ) : ( ) 2 b a f x x xdx b a     时 左  ( ) 2 a b b a  右   2 2 3 3 1 ( ) : ( ) 3 b a f x x x dx b a     时 左  2 ( )( ) 2 a b b a  右   代数精度为" "1 。 左  右 左  右 ( ) ( ) ( ) 2 b a a b I f x dx b a f      具有一次代数精度。 -8-

例2试确定A，A，使数值积分公式I = J' f(x) ~ Af(a)+ A,J(b)的代数精度尽可能高。解令公式分别对f(x)=1,x时精确成立,则有b-a= A +A((b’ -a") = Aa+ A,b解之得: A,= A,==(b-a)EAA2: J' f(x) ~=(b-a)(f(a)+ f(b)代入得：-9.可以证明梯形公式具有1次代数精度

1 2 例2 , 试确定A A，使数值积分公式 解 令公式分别对 f x x ( ) 1, ,  时精确成立 则有 1 2 b a A A    2 2 1 2 1 ( ) 2 b a A a A b    1 2 1 : ( ) 2 解之得 A A b a    1 ( ) ( )( ( ) ( )) 2 b a f x b a f a f b    代入得：  1 2 ( ) ( ) ( ) b a I f x A f a A f b     的代数精度尽可能高。 可以证明梯形公式具有1次代数精度。 -9-

例3试确定积分公式I =J' J(x) ~ AJ(x)+ A,F(x,)中的参数A，A,x，x，使其代数精度尽量高，并求代数精度。问题：该公式的代数精度最高可达多少？思考提示：1有几个待定参数？2可列几个方程？EV3答案：A =A=1, x =-x=3代数精度n=3.备注：使代数精度达到最高的数值求积公式称为Gauss公式s5中介绍）推广：有n个节点的求积公式，精度最高可达多少

思考 问题：该公式的代数精度最高可达多少？ 12 有几个待定参数？ 提示 可列 几 ： 个方程 ？ 例 3 试确 定积分 公 式 1 2 1 2 3 1 3 3. A A x x n      ， ； 代数精度 答案： Gauss ( . 5 ) 使代数精度达到最高的数值求积公式， 称为 式 注 公 备 ： § 中介绍 1 1 1 2 2 1 I f x A f x A f x ( ) ( ) ( )      1 2 1 2 中的参数A A x x , , , ，使其代数精度尽量高,并求代数精度。 推广：有n个节点的求积公式,精度最高可达多少 -10？-