高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）7 第一章 实数集与函数 s07函数的特性

周期奇函数单调函数S4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数第七讲函数的特性数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数单调函数s4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数单调函数定义1T设f是定义在D上的函数若Vx,x, ED,当x, f(x,)时,称f为严格减函数不难知道,若 f(x)和g(x)是正值严格增的，则f(x)g(x)也是正值严格增的数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

ݤЉӠ୳ݤؗ ्▁ॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ݤӠק ݤӠઁԤ ݤӠࣙޥ ݤӠࣩ㓬ࢤоߏޥҿh ݤЉҡӠ մޫ ݤӠ ؓТ ރԥલӡ 1 2 㢹  xx D , , 1 2 (i) ( ) ( ), ᳝ fx fx d 1 2 ⡍߿ ᳝fx fx () () ,  ᯊ 1 2 (ii) ( ) ( ), ᳝ fx fx t 1 2 ⡍߿ ᳝fx fx () () , ! ᯊ 䆒 f ᰃᅮН೼ DϞⱘߑ᭄. ϡ䲒ⶹ䘧㢹 f x gx () () ੠ ᰃℷؐϹḐ๲ⱘ߭ f xgx ()()гᰃℷؐϹḐ๲ⱘ ԤઁӠݤ 1 2 ᔧx x  ᯊ, ߭⿄ f D Ў Ϟⱘ๲ߑ᭄ ⿄ f ЎϹḐ๲ߑ᭄. ߭⿄ f D Ў Ϟⱘߑޣ᭄ ⿄ f ЎϹḐߑޣ᭄.

周期奇函数有界函数单调函数S4具有某些特性的函数与偶函数函数例1 任意 neN+，J2n-1=x2n-1 在R上严格增;J2n=x2"在R+上严格增,在R_上严格减证由y=x在R上为正值严格增，可知y,=yiy在R上亦正值严格增.由归纳法，若已证y,在R上为正值严格增，可知yn+1=yiy,在R上亦正值严格增。若x,x2"-1。 这就证明了y2n在R上严格减，而y2n-,在R_上严格增数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数有界函数单调函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数若x,≤0<x,或<0≤x,则x"1 0<x"或 x.2n-1<0≤x2这证明了y2n-,在R上严格增.例2 易证函数y=[x]在R上是增函数,但非严格增J-32-1-10232x-1+-2数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数单调函数S4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数定理1.2设y=f(x),xED为严格增函数，则f必有反函数f-1,且f-I在其定义域f(D)上也是严格增函数类似地，严格减函数f必有反函数f-1，且f-1在其定义域上也是严格减函数证设f在D上严格增，则VyEf(D)只有一个xED,使 f(x)=y事实上,若x,<x,,使f(x)==f(x,)则与f的严格增性质相矛盾数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数单调函数有界函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数再证f-1必是严格增的：V yi,J2 E f(D), Ji< y2,x, = f-1(yr), x, = f-1(y2)由于<及f的严格增性，必有x,<x,即f-l(y)<f-(yz)，因此f-也是严格增函数例3 由于y,=x"在R+上严格增，因此y,的反函数z，=xl/n在R+上严格增，故对任意有理数n，y=x"在R上亦为严格增r=m数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数有界函数单调函数S4具有某些特性的函数与偶函数函数例4证明：y=a*当a>1时，在R上严格增；当01.Vx,x2，x,1时,在R上严格增;y=logax当0<a<1时,在R+上严格减，数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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奇函数周期单调函数有界函数s4具有某些特性的函数函数与偶函数奇函数与偶函数定义2设D关于原点对称即：VxED.必有一xED若VxED,f(-x)=一f(x)，称f为D上的奇函数若VxE D,f(-x)=f(x)，称f为D上的偶函数显然，若记G(f)为f的图像，则 f(x)是奇函数或偶函数的充要条件是：(x,y) EG(f) >(-x,-y)EG(f)或(x,y)G(J)(-x,y)G()数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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奇函数周期单调函数S4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数2n+1例如y=sinx,=tanx,y=x是奇函数而 y=cosx,y=x2n 是偶函数(e*-e-x)的反是奇函数Jy= In(x+Vx2+1函数，从而它也是奇函数数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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周期奇函数单调函数S4具有某些特性的函数有界函数函数与偶函数周期函数定义3设f为D上定义的函数,若3>0,使VxED必有x±αED， 且f(x±o)=f(x),则称f为周期函数，为 f的一个周期若周期函数f的所有正周期中有一个最小的周期则称此最小正周期为f的基本周期，简称周期例如函数f(x)=x-[x]的周期为1.见下图,y-3-212-103X数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社

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