高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）17 第二章 数列极限 s06致密性定理与柯西准则

S3数列极限存在的条件第六讲致密性定理与柯西准则数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件例1设S是有界数集.证明：若supS=aS,则存在严格单调增数列(x,}cS,使得limx，=a.n8证因a是S的上界，故对Vε>0,xeS,使得x>a一ε.又因a史S，故xa-& ≥a-(a-x)=xi数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件一般地,按上述步骤得到x，1之后，取8, =min二,a-x,1n则存在xES,使得a-8na-8n≥a-(a-xn-1)=xn-1于是得到数列(x,}S，它是严格单调增的，满足a-8<x<a,因此，|xn-a<8n≤=,n=1,2,n这就证明了limx, =a.n-数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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S3数列极限存在的条件例2任何数列都存在单调子列证设数列为{a,}，下面分两种情行讨论：1.若对任何正整数k，数列(ak+)有最大项.设(a,}的最大项为an·因为(antn)亦有最大项，设其最大项为am·显然有n2>n,且因为an+n)是(ai+n)的一个子列，故an ≤an;同理存在n>n,使得≤a:a.Wn这样得到了一个单调递减的子列a,数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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S3数列极限存在的条件2.至少存在某个正整数k，数列(aktn)没有最大项先取n=k+l,因为(ak+n)没有最大项，故an后面总存在an(n2>n),使得a>a.n,W同理存在an后面的项a（n>n),使得a..>a.n这样得到了一个单调递增的子列数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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S3数列极限存在的条件定理2.10（致密性定理任何有界数列必有收敛子列证设数列a，有界，由例5可得有一个单调子列显然}an是有界的,再由单调有界定理推得（收敛数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件定理2.11（柯西收敛准则）数列a，收敛的充要条件是：对于任意正数ε，存在 N>0，当 n,m>N时,有[an-am/0,N>0,当 n>N时,对任意 pN+,均有Ian-an+p/ <8.满足上述条件的数列称为柯西列数学分析 第二章数列极限高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件证（充分性）先证明数列有界.取ε。=1，因为(a是柯西列，所以存在No,n>N,时有[an -aNa+i0,存在N，当n，m>N时 有an-amlN，令k→o0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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S3数列极限存在的条件8S0,n->N>0,当n,m>N（或n,m≥N)时，有88lan-AI<,ATam-22由此推得8C[an-am≤| a,-A|+| am-A|<+82数学分析第二章数列极限?高等教育出版社

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s3数列极限存在的条件例3设00,En=N,mo=2N,使得2111Xmono(2N)+N+1111>2N80N+1N+2由柯西收敛准则的否定陈述，{x}发散数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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