高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）22 第三章函数极限 s04函数极限的性质

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第三章数学分析S2函数极限的性质函数极限在前面一节中引进的六种类型的函数极限，它们lim f(x)=A的x-→Xo都有类似数列极限的一些性基本性质质.这里仅以limf(x）=AX+xo为代表叙述并证明这些性质，二、范例至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可*点击以上标题可直接前往对应内容

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limf（x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质第四讲函数极限的性质数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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limf(x）)=A的基本性质范例S2函数极限概的性质lim f(x)= A的基本性质xx定理3.2（惟一性）若lim f(x)存在，贝则此极限唯一xxo不妨设lim f(x)= A，以及 lim f(x)=B证x→>xox-→xo由极限的定义，对于任意的正数 ε，存在正数i,2当 0<Ix-x<8 时,8(1)If(x)-Al<2当 0<1x-xol<8, 时,数学分析第三章函数极限高等教育出版社

㓬ઔׁޯࣩ ؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ ؓࣂa㖤▁㓬ͤ ϡོ䆒 f x Aˈ x x o lim ( ) 0 1 2 ᄬ೼ℷ᭄ G , , G 0 | | , ᔧ x x0 G 1 ᯊ , (1) 2 | ( ) | H f x A 0 | | , ᔧ x x0 G 2 ᯊ lim ( ) ߭ℸᵕ䰤ଃϔ. 0 f x 㢹 xox ᄬ೼, lim xo x0 f ( x) Aङׂۅߎૅ ᇍѢӏᛣⱘℷ᭄ H , fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ 䆕 lim ( ) . 0 f x B x x ҹঞ o ⬅ᵕ䰤ⱘᅮНˈ

limf(x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质8(2)If(x)-B/<2令=min{S,,},当 0<|x-x<时，(1)式与(2)式均成立，所以IA-BI≤IA-f(x)I+If(x)-BI<8.由ε的任意性，推得A=B这就证明了极限是唯一的，8(1)If(x)-A|<2数学分析第三章函数极限高等教育出版社

㓬ઔׁޯࣩ ؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ (2) ᓣഛ៤ゟˈ | A B | d | A f (x)| | f (x) B | H . ⬅H ⱘӏᛣᗻˈ 䖭ህ䆕ᯢњᵕ䰤ᰃଃϔⱘ. min{ , }, 1 2 ҸG G G (1) ᓣϢ . 2 | ( ) | H f x B (2) (1) 2 | () | fx A H fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 0 ᔧ 0| | , x x G ᯊ ᠔ҹ ᥼ᕫ A = B.

limf(x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质定理3.3（局部有界性）若 lim f(x)= A,则存在U(xo),f(x)在U(xo)上x-→xo有界.证取ε=1,存在8>0,当0<x-x<8时Lf(x)-A)<1.由此得[f(x)/<|A/+1.这就证明了f(x)在某个空心邻域U(xo,)上有界数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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limf（x）=A的基本性质范例s2函数极限概的性质注(1）试与数列极限的有界性定理（定理2.3）作一比较；(2)有界函数不一定存在极限;1=1，但二在（0，2）上并不是有界的.(3) limxx1x说明定理中“局部”这两个字是关键性的数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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limf（x）=A的基本性质范例s2函数极限概的性质定理3.4（局部保号性）若 lim f(x)=A>0(或r>0 (或 f(x)0. 对于任何 r E(0,A),取 ε= A-r,存在>0，当0A-ε>r数学分析第三章函数极限高等教育出版社

㓬ઔׁޯࣩ ؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ eҐՙ㓬଑فaࣂؓ ߭ᇍӏԩℷ᭄ ( ) ៪ r A 0 , ( ), ᄬ೼U x f (x) ! r ! 0 ( ៪ f (x) r 0 ). | f (x) A| H . ⬅ℸ䆕ᕫ f (x) ! A H ! r. 0 Փᕫᇍϔߛ xUx ( ), ᔧ 0 | x x0 | G ᯊˈ᳝ 䆕 ϡོ䆒 A ! 0. lim ( ) 0 ( 0), 0 ! o f x A ៪ x x 㢹 ᄬ೼G ! 0, ᇍѢӏԩ r A (0, ), প H A r, fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 r A ᳝

limf（x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质定理3.5（保不等式性）设 lim f(x)与 lim g(x)都存在,且在某邻域U(xo)内有 f(x)≤g(x), 则 lim f(x)≤ lim g(x).x-→xox-→xo证设 lim f(x)= A,lim g(x)=B，则对于任意>0,xx分别存在正数S,2，使当 0A-8;而当 0<[x-xol<S2 时,有 g(x)<B+8.令=min[S,,}，则当 0<[x-xl<时,满足A-ε<f(x)≤g(x)<B+8,从而有 A<B+2ε．因为ε是任意正数，所以证得A≤B.数学分析第三章函数极限高等教育出版社

㓬ઔׁޯࣩ ؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ e㓬ړॗҐЈͣࣂؓ 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x gx o o 䆒 Ϣ 䛑ᄬ೼ˈ ݙ ᳝f x gx ( ) ( ), d lim ( ) lim ( ). 0 0 f x g x xox xox d 䆕 0 lim ( ) , x x fx A o 䆒 f (x) ! A H ; 㗠ᔧ 0 | x x0 | G 2 ᯊ , ᳝ g(x) B H . ߿ߚᄬ೼ℷ᭄ 1 2 G , , G ᳝ fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 ߭ᇍѢӏᛣH ! 0, Փᔧ 0 1 0| | x x G ᯊ, min{ , }, 1 2 Ҹ G G G A H f (x) d g(x) B H , ߭ ⒵䎇 0 Ϩ೼ᶤ䚏ඳU x( ) Ң㗠᳝ A B 2H . A d B. ಴ЎH ᰃӏᛣℷ᭄, 0 lim ( ) , x x gx B o 0 ߭ᔧ 0 || , x x G ᯊ ᠔ҹ䆕ᕫ

limf（x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质定理3.6（迫敛性）设lim f(x)= lim g(x)= A，且在x,的某个空心x-→xx→x邻域 U°(x)内有f(x)≤h(x)≤g(x)那么 lim h(x)= A.x-→xo证因为 lim f(x)= lim g(x)= A,所以对于任意 ε>0,xx存在>0，当0<lx-xl<时,有A-ε<f(x)<A+, A-<g(x)<A+8.再由定理的条件，又得A-<f(x)≤h(x)≤g(x)<A+8.这就证明了h(x)在点xo的极限存在，并且就是A。数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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limf（x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质定理3.7（四则运算法则）若lim f(x)，lim g(x)都存在，则xxx→>xof±g，f·g在点xo的极限也存在，且(1) lim [f(x)±g(x)]= lim f(x)± lim g(x);x-→xox→>xox-→xo(2) lim f(x)g(x) = lim f(x). lim g(x);x-→xox→xox→xof(3) 又若 lim g(x)≠0,则在点x的极限也存在，gx-→xo并有lim f(x)f(x)x→xolimlim g(x)g(x)x-→>xox-→>xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

㓬ઔׁޯࣩ ؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ ؓࣂ֙aӨ૜ॠࡄӨͤ (1) lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ); 0 0 0 f x g x f x g x xox xox xox r r (2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ); 0 0 0 f x g x f x g x xox xox xox f r g, f g ೼⚍ x0 ⱘᵕ䰤гᄬ೼, Ϩ 䛑ᄬ೼, (3) lim ( ) 0 , 0 z o g x x x জ㢹 ೼⚍ x0 ⱘᵕ䰤гᄬ೼, g f ߭ . lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x o o o ᑊ᳝ lim ( ) , 0 f x 㢹 xox lim ( ) 0 g x xox ߭ fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0

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高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）22 第三章 函数极限 s04函数极限的性质

高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）22 第三章函数极限 s04函数极限的性质