高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）29 第三章 函数极限 s09无穷小量的阶

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较第九讲无穷小量的阶数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ আЬઔ ङஉ୏ش॰ޗ

无穷小量渐近线s5无穷大量与无穷小量无穷小量无穷大量阶的比较无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给出如下定义设当x→x,时，f(x),g(x)均是无穷小量。数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ᮴かᇣ䞣䰊ⱘ↨䕗 ϸϾⳌৠ㉏ൟⱘ᮴かᇣ䞣ˈ 0 䆒ᔧ x x o ᯊˈ .བϟᅮНߎ ϸϾ᮴かᇣ䞣П䯈䍟Ѣ䳊ⱘ䗳ᑺⱘᖿ᜶ˈ 䖭ϢᅗӀ৘㞾䍟Ѣ䳊ⱘ䗳ᑺ᳝݇. ᰃ᮴かᇣ䞣ˈ Ўњ֓Ѣ㗗ᆳ ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ ԚᰃᅗӀⱘଚϔ㠀ᴹ䇈ᰃϡ⹂ᅮⱘ. ᅗӀⱘ੠ȢᏂȢ⿃ҡ ៥Ӏ㒭 f x gx ( ), ( ) . ഛᰃ᮴かᇣ䞣

无穷小量近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较f(x)1. 若lim0,则称 x→x时 f (x)是关于g(x)g(x)x-→xo的高阶无穷小量，记作f(x) = 0(g(x) (x → x) 当f(x)为x→x时的无穷小量时，我们记f(x) = o(1) (x -→xo) .例如:1-cosx=o(x)(x→0);sinx =o(1) (x →0);xk+1 = 0(x*) (x→0, k >0) .数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ( ) ( ( )) ( ) . x o g x x x0 f o ( ) (1) ( ) . x o x x0 f o ( ) ( 0, 0 ) . 1 o !  x o x x k k k sin x o (1) (x o 0 ); ՟བ˖1  cos x o(x) (x o 0 ) ; 0 ᔧ fx x x ( )Ў o ᯊⱘ᮴かᇣ䞣ᯊˈ ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ 0 ( ) 1. lim 0 ( ) x x f x o g x 㢹 ˈ ⱘ催䰊᮴かᇣ䞣䆄԰ 0 ߭⿄ x x f x gx o ᯊ () () ᰃ݇Ѣ ៥Ӏ䆄

无穷小量无穷小量渐近线95无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较2.若存在正数 M和 L，使得在x的某一空心邻域Uxo）内，有f(x)L≤≤M,g(x)则称f(x)与 g(x)是x→x时的同阶无穷小量根据函数极限的保号性，特别当f(x)lim=C±0o g(x)x-→xo时，这两个无穷小量一定是同阶的例如：当x→0时，1-cosx与x2是同阶无穷小量;当x→0 时，x与x2+sin是同阶无穷小量数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 2. 㢹ᄬ೼ℷ᭄M ੠ Lˈ ( ) 0 U x ᳝ˈݙ $ , ( ) ( ) M g x f x L d d ḍ᥂ߑ᭄ᵕ䰤ⱘֱোᗻˈ 0 ( ) ( ) lim 0 z o c g x f x x x ᯊ, ՟བ: ᔧ x o 0 ᯊ, 1 cos x Ϣ 2 x ᰃৠ䰊᮴かᇣ䞣; ߭⿄ Ϣ ᰃ x o x0 ᯊⱘৠ䰊᮴かᇣ䞣. f (x) g(x) ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䖭ϸϾ᮴かᇣ䞣ϔᅮᰃৠ䰊ⱘ. ᔧ x o 0 ᯊˈ Փᕫ೼ x0 ⱘᶤϔぎᖗ䚏ඳ ⡍߿ᔧ ¸ ¹ · ¨ © §  x x 1 x Ϣ 2 sin ᰃৠ䰊᮴かᇣ䞣.

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较f(x)≤L,3.若两个无穷小量在U（x）内满足：g(x)则记 f(x)=O(g(x)) (x→xo)f(x)为x→x时的有界量时，我们记f(x)=0(1) (x→xo).应当注意，若f(x)，g(x)为x→x时的同阶无穷小量，当然有f(x)=0(g(x)) (x -→xo)反之不一定成立，例如xsin=0(x) (x→0).但是这两个无穷小量不是同阶的数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 3. 㢹ϸϾ᮴かᇣ䞣೼ ( ) 0 U x ( ) , :⒵䎇ݙ $ ( ) L g x f x d ߭䆄 ( ) ( ( )) ( ). x O g x x x0 f o ( ) , f x Ў x o x0 ᯊⱘ᳝⬠䞣ᯊ ៥Ӏ䆄 ( ) (1) ( ) . x O x x0 f o ᑨᔧ⊼ᛣˈ かᇣ䞣ˈ ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ ( ) ( ( )) ( ) . x O g x x x0 f o ডПϡϔᅮ៤ゟ, ( ) ( 0) . 1 xsin x O x x o Ԛᰃ䖭ϸϾ᮴かᇣ䞣ϡᰃৠ䰊ⱘ. ᔧ✊᳝ ՟བ 㢹 f (x) , g(x) Ў x o x0 ᯊⱘৠ䰊᮴

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较注意： 这里的 f(x)=o(g(x))与 f(x)=O(g(x))(x→x）和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数．例如 o(g(x))(x→x)表示g(x）的所有高阶无穷小量的集合也就是说，这里的“=”类似于“e”。数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ⊼ᛣ˖䖭䞠ⱘ f (x) o( g(x)) Ϣ f (x) O( g(x)) ( ) 0 x o x ੠䗮ᐌⱘㄝᓣᰃϡৠⱘ, ে䖍, (x o x0 ) 㸼⼎g( x) ⱘ᠔᳝催䰊᮴かᇣ䞣ⱘ䲚ড়ˊ ՟བ o( g(x)) гህᰃ䇈ˈ䖭䞠ⱘ Ā=” ㉏ԐѢ “”. ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䖭ϸϾᓣᄤⱘ ᴀ䋼Ϟাᰃ㸼⼎ϔ㉏ߑ᭄ˊ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较f(x)4. 若 lim1, 则称 f(x)与g(x)为 x→x时的x-xo g(x)等价无穷小量，记作f(x) ~ g(x) (x →xo)sinx因为 lim1, 所以sinx ～x(x→0);xx-→0arctanx因为 lim= 1,所以arctanx ~ x(x →0);xx→0同样还有1-cosx(x-→0)2数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ( ) ~ ( ) ( ). x g x x x0 f o 1, sin lim 0 o x x ಴Ў x 1, arctan lim 0 o x x ಴Ў x 㢹 1, ߭⿄ ( ) ( ) 4. lim 0 o g x f x x x f (x)Ϣ g(x)Ў x o x0 ᯊⱘ ㄝӋ᮴かᇣ䞣 ᠔ҹsin x ~ x(x o 0); ᠔ҹarctanx ~ x(x o 0); ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ ( 0) . 2 1 1 cos ~ ৠḋ䖬᳝  x x2 x o 䆄԰

无穷小量近线无穷小量S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：若f(x) ~ g(x) (x→x), g(x)~h(x) (x→xo),那么f(x)～h(x)(x→xo).这是因为f(x)J(x) lim g(x) limlimh(x)x-→xox-xo g(x)x-x h(x)前面讨论了无穷小量阶的比较，值得注意的是不是任何两个无穷小量都可作阶的比较。例如数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ḍ᥂ㄝӋ᮴かᇣ䞣ⱘᅮНˈ 0 㢹 ( ) ~ ( ) ( ), f x gx x x o 0 0 () () lim lim () () xx xx fx fx o hx gx o ࠡ䴶䅼䆎њ᮴かᇣ䞣䰊ⱘ↨䕗, ( ) ~ ( )( ) . x h x x x0 䙷М f o 䖭ᰃ಴Ў ϡᰃӏԩϸϾ᮴かᇣ䞣䛑ৃ԰䰊ⱘ↨䕗. ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ 0 ( ) lim 1 . ( ) x x g x o h x ᰒ✊᳝བϟᗻ䋼˖ 0 gx hx x x ( ) ~ ( ) ( ), o ؐᕫ⊼ᛣⱘᰃ, ՟བ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较sinx1与均为x→+ 时的无穷小量，却不能Xx这是因为按照前面讨论的方式进行阶的比较sinxx=xsinx(x→+o)1r2是一个无界量，并且（2n元)sin(2n元）一→0下面介绍一个非常有用的定理：数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ x sin x Ϣ 2 1 x ഛЎ x o f ᯊⱘ᮴かᇣ䞣, ᣝ✻ࠡ䴶䅼䆎ⱘᮍᓣ䖯㸠䰊ⱘ↨䕗. sin ( ) 1 sin 2 x x x o f x x x ᰃϔϾ᮴⬠䞣ˈ ϟ䴶ҟ㒡ϔϾ䴲ᐌ᳝⫼ⱘᅮ⧚˖ ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ ैϡ㛑 䖭ᰃ಴Ў ᑊϨ (2n n π)sin(2 π) 0. o

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较定理3.12设函数f，g，h在Uxo）内有定义，且f(x) ~ g(x) (x -→xo).(l) 若lim f(x)h(x)= A, 则 lim g(x)h(x) = A;x-→Xox→Xoh(x)h(x)A.A, 则 lim(2) 若 limg(x)x-→>xof(x)x-→xof(x)证 (1) 因为lim f(x)h(x)= A, lim1，所以g(x)x→xox→xog(x)lim g(x)h(x) = limf(x)h(x) = A.f(x)x-→>xox→>xo(2）可以类似地证明数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ࣂؓ 䆒ߑ᭄ f, g, h ೼ ( ) U x0 $ ݙ᳝ᅮН, Ϩ ( ) ~ ( ) ( ). x g x x x0 f o ( ) ( ) . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 f x h x A f x g x g x h x x x x x o o 䆕 0 (1) lim ( ) ( ) , x x f xhx A o ಴Ў ᠔ҹ (2) ৃҹ㉏Ԑഄ䆕ᯢ. ଞسिݸ ૊ࣩࠢ୘ 0 ( ) lim 1, ( ) x x f x o g x 0 (1) lim ( ) ( ) , x x f xhx A o 㢹 0 lim ( ) ( ) ; x x gxhx A o ߭ 0 ( ) (2) lim , ( ) x x h x A o f x 㢹 0 ( ) lim . ( ) x x h x A o g x ߭