高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）41 第四章 函数的连续性 s06一致连续性（1）

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性第六讲一致连续性数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 আҹઔ ۅ৒ਚକ▲

闭区间上连续函数的反函数的连续函数的局部S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性一致连续性在本段中，我们将介绍一致连续性这个及其重要的概念。P定义2设f(x)为定义在区间I上的函数,如果对于任意的正数ε>0，存在>0，使得对任意xi,X,EI只要x,一x,l<8，就有Lf(x)-f(x)/<8则称f(x)在区间I上一致连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ؓТ ៥Ӏᇚҟ㒡ϔ㟈䖲㓁ᗻ䖭Ͼঞ݊䞡㽕 1 2 | ( ) ( )| , fx fx   H া㽕| |, x x 1 2  G ህ᳝ ۅ৒ਚକ▲ ℷ᭄H ! 0, ᄬ೼ G ! 0, Փᕫᇍӏᛣ 1 2 xx I , ,  䆒 f x ( )ЎᅮН೼ऎ䯈IϞⱘߑ᭄, ߭⿄ f x( ) ೼ऎ䯈IϞϔ㟈䖲㓁. ⱘὖᗉ. ▁৩૤ড㓬 ೼ᴀ↉Ёˈ བᵰᇍѢӏᛣⱘ

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例1 证明,f(x)= /x在[1,+)上一致连续 .证 因为对任意的 xi ,x, E[1,+o),有-网≤[x2 -Xi l/xi +/x2所以对任意的正数ε>0，只要取=8,当lx,-< 时,有1/x -/x2 1≤[x,-x<8,所以√x在[1,+)上一致连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ՟ 䆕ᯢ fx x ( ) [1, ) . ೼  f Ϟϔ㟈䖲㓁 䆕 ಴Ўᇍӏᛣⱘ x1 , x2 [1 ,f) ,᳝ 1 2 x x  ᠔ҹᇍӏᛣⱘℷ᭄H ! 0, 1 2 ᔧ| | x x   G ᯊˈ 1 2 21 | || | , x x xx  d   H ᠔ҹ x ೼[1 ) . ˈ f Ϟϔ㟈䖲㓁 ▁৩૤ড㓬 2 1 1 2 | | x x x x   2 1 d| |, x x  া㽕পG H , ᳝

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例2 证明 =1在(0,1)内不一致连续x证首先我们根据一致连续的定义来叙述f(x)在区间I上不一致连续的定义：存在ε>0，对任意正数(无论多么小)，总存在Xi,EI，虽然[x,-x,<，但仍有1f(x) - f(x2)/≥801现在来验证函数 y=二，xE(O,1)确实不是一致x连续的数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 佪ܜ៥Ӏḍ᥂ϔ㟈䖲㓁ⱘᅮНᴹভ䗄 f (x) ೼ ՟ 1 y (0, 1) . x 䆕ᯢ ೼ ݙϡϔ㟈䖲㓁 1 2 xx I , ,  Ԛҡ᳝ | ( ) ( )| . 1 2 0 f x  f x t H 1 y x , (0,1) x ⦄೼ᴹ偠䆕ߑ᭄  ⹂ᅲϡᰃϔ㟈 䖲㓁ⱘ. 0 ᄬ೼H ! 0, ᘏᄬ೼ ऎ䯈IϞϡϔ㟈䖲㓁ⱘᅮН˖ ▁৩૤ড㓬 1 2 㱑✊ | |, x x   G 䆕 ᇍӏᛣℷ᭄G ( ) ᮴䆎 ໮Мᇣ ˈ G

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性取ε=1，对任意正数8(<)8令 x=8,Xx2虽[x -x,<8,21但11sx2 x]xx1Qx这就说明y=二在(0,1)内不一致连续x试问，函数f(x）在区间I上一致连续与f(x)在区间I上连续的区别究竟在哪单？数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 1 2 , , 2 x x G Ҹ G 1. 1 1 1 2 1  ! x x G Ԛ 1 y (0 ,1) . x 䖭ህ䇈ᯢ ೼ ݙϡϔ㟈䖲㓁 1 x 2 x 1 x y O ߑ᭄ f x( ) ೼ऎ䯈IϞϔ㟈䖲㓁Ϣ f x( )೼ऎ 䯈IϞ䖲㓁ⱘऎ߿おコ೼ા䞠˛ ▁৩૤ড㓬 1 2 㱑| |, x x   G 0 পH 1ˈ 1 ( ) 2 ᇍӏᛣℷ᭄G G  䆩䯂,

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性答：(1)首先,对于ε>0,如果f(x)在区间I上连续，那么，8不仅与ε有关，而且还与所讨论的点x.有关即S=S(xoε).而f(x)在区间I上一致连续，则s仅与8有关比如=二在x,ε(0,1)连续,对于任意正数ε，所得x28xo，显然它与ε,x.都有关.在例8中S=min2xo已证得y=/x在[1,+)上一致连续．这是由于8=8，与x无关.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 G ҙϢH ᳝݇. 0 1 y x (0, 1) , x ↨བ ೼  䖲㓁 ᇍѢӏᛣℷ᭄H , Ꮖ䆕ᕫ y x ೼[1 ) ˈ f Ϟϔ㟈䖲㓁 (1) 佪ܜ ,ᇍѢ H ! 0, བᵰ f x( )೼ऎ䯈 IϞ䖲㓁ˈ G ϡҙϢH ᳝݇, ( , ). 0 ेG G x H 㗠 f x( ) ೼ऎ䯈IϞϔ㟈䖲㓁ˈ߭ , 2 , 2 min 0 2 0 ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ x x H G ᰒ✊ 0 ᅗϢH , . x 䛑᳝݇ ೼՟8Ё H G , ▁৩૤ড㓬 䖭ᰃ⬅Ѣ ㄨ: 䙷М, 0 㗠Ϩ䖬Ϣ᠔䅼䆎ⱘ⚍x ᳝݇ ᠔ᕫ 0 G Ϣ ᮴݇ x .

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性(2)函数f(x)在每一点xEI 连续,V>0,=(,x), 当[x-x/<时,有1f(x)-f(xo)/<8.若S(ε,x)在x的变化过程中有一个正下界(当然这个下界只与ε有关，而与xo无关)，则此时f(x)在区间I上就一致连续了下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ( , ), x0 G G H ᔧ| x  x0 |  G ᯊ, ᳝ | ( ) ( )| . 0 f x  f x  H 㢹 G (, ) H x x 0 0 ೼ ⱘব࣪䖛⿟Ё᳝ϔϾℷϟ⬠(ᔧ✊ (2) ߑ᭄ f (x) ೼↣ϔ⚍ x  I 䖲㓁, 0 H ! 0 , ϟ䗄ᅮ⧚ᰃ䖲㓁ߑ᭄೼䯁ऎ䯈Ϟⱘজϔᭈԧᗻ䋼. ऎ䯈IϞህϔ㟈䖲㓁њ. 䖭Ͼϟ⬠াϢH ᳝݇, 㗠Ϣx0᮴݇), ▁৩૤ড㓬 ߭ℸᯊ f (x)೼

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性定理4.9若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续这个定理告诉我们：定义在闭区间上的函数，连续和一致连续是等价的证首先用致密性定理来证明该定理.在下述证明过程中，选子列的方法值得大家仔细探究设,f(x)在[a, b] 上不一致连续,即存在6.>0,对于一切>0(无论8多么小)，总是存在x,x"e[a,bl虽然[x'-x"I<S,但Lf(x)- f(x")1≥80数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ࣂؓ 㢹ߑ᭄ f (x) ೼ [a ,b]Ϟ䖲㓁, 佪ܜ⫼㟈ᆚᗻᅮ⧚ᴹ䆕ᯢ䆹ᅮ⧚. 䆒 f (x) ೼ [a, b] Ϟϡϔ㟈䖲㓁, ϔߛG ! 0 ( ), ᮴䆎 G ໮Мᇣ ϔ㟈䖲㓁. 䖛⿟Ё, 䖭Ͼᅮ⧚ਞ䆝៥Ӏ: 㓁੠ϔ㟈䖲㓁ᰃㄝӋⱘ. 0, ेᄬ೼H 0 ! ᇍѢ ▁৩૤ড㓬 ೼ϟ䗄䆕ᯢ 㱑✊| |, x x c  cc  G Ԛ 0 | ( ) ( )| . fx fx c  cc t H ߭ f (x) ೼ [a, b]Ϟ ᅮН೼䯁ऎ䯈Ϟⱘߑ᭄, 䖲 䆕 䗝ᄤ߫ⱘᮍ⊩ؐᕫ໻ᆊҨ㒚᥶お. ᘏᰃᄬ೼ x x ab c, [ , ], cc

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的一致连续性$2连续函数的性质性质基本性质连续性现分别取8=1, x',x"e[a,b], [xi -x"l<1,1f(x')- f(x)/≥ 80 ;7S=Ix-x<，3x2, x" e[a, b],2I f(x2) - f(x’)/≥80 ;S日xh, x" e[a,b], Ix, -x1<-二nnI f(x')- f(x)) /≥8 ;.由此得到两列(x,,{x c[a, b],虽然Ix -xl<1→0,n数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 প߿ߚ⦃ G 1, 1 10 | ( ) ( )| ; fx fx c  cc t H 2 20 | ( ) ( )| ; fx fx c  cc t H ▁৩૤ড㓬 1 , n n G 0 | ( ) ( )| ; n n fx fx c  cc t H { }, { } [ , ], n n ⬅ℸᕫࠄϸ߫ x x ab c cc  㱑✊ 1 | | 0, n n x x n c  cc  o . , 1 11  x x ab c, [ , ], cc 1 1 | | 1, x x c  cc  2 2  x x ab c , [ , ], cc 1 , 2 G 2 2 1 | |, 2 x x c  cc  , [ , ], n n  x x ab c cc  1 | |, n n x x n c  cc 

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的一致连续性$2连续函数的性质性质基本性质连续性但是总有Lf(x,)- f(x)/≥ 80因为 x有界，从而由致密性定理，存在α的一个收敛子列(xh}.设limx=Xk>因为 a≤x，≤b，所以由极限的不等式性质a≤x≤b.因为lim x,= lim(x- x)+limx = Xo,以及fk-→>0k->00k→00连续，所以由归结原则得到80 ≤lim If(xh )- f(x)/=l lim f(x)- lim f(x) = 0,k>00x-→xox→>xo矛盾.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 0 | ( ) ( )| . n n fx fx c  cc t H ಴Ў {x'n} ᳝⬠, { }. nk ϔϾᬊᬯᄤ߫ xc Ԛᰃᘏ᳝ ▁৩૤ড㓬 0 lim . nk k x x of 䆒 c a x b, nk ಴Ў d c d ᠔ҹ⬅ᵕ䰤ⱘϡㄝᓣᗻ䋼 . a d x0 d b 䖲㓁, 0 lim lim( ) lim , n nn n k kk k kk k x xx xx of of of ಴Ў cc cc  c  c ҹঞ f 0 lim | ( ) ( ) | n n k k k H fx fx of d c  cc 0 0 | lim ( ) lim ( ) | 0, xx xx fx fx o o  ⶯Ⳓ. ᠔ҹ⬅ᔦ㒧ॳ߭ᕫࠄ Ң㗠⬅㟈ᆚᗻᅮ⧚, ᄬ೼ {x'n} ⱘ