高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）10 第二章 数列极限 s01数列极限的概念1

数学分析第二章 数列极限 §1数列极限的概念 数列极限是整个 一、数列的定义 数学分析最重要的基 二、一个经典的例子 础之一，它不仅与函数 三、收敛数列的定义 极限密切相关，而且 为今后学习级数理论 四、按定义验证极限 提供了极为丰富的准 五、再论“ε-N”定义 备知识. 六、一些例子 *点击以上标题可直接前往对应内容

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数列的O按定义验证再论“&-N"一些例子51数列极限的概念典的的定定义定义极限第一讲数列极限的概念1数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“-N一些例子51数列极限的概念的15定义定V极限数列的定义若函数f的定义域为全体正整数的集合N+，则称f:N+→R 或f(n), neN为数列．因为N.的所有元素可以从小到大排列出来所以我们也将数列写成aai,a2,..,an...或简记为(anl.这里ann-1n2称为数列a，的通项前进目录退出后退数学分析第二章数列极限?高等教育出版社

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数列的2按定义验证再论8-N一些例子51数列极限的概念典的V极限一个经典的例子古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之捶，日取其半,万世不竭”．它的意思是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。我们把每天截下部分（或剩下部分）的长度列出：，第n天截下第一天截下第二天截下222这样就得到一个数列：11[2]，…，或2'22，其通项随着n的无限增大而无限趋于0。数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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收敛数数列的按定义验证再论“8-N一些例子51数列极限的概念典的列的定定义定V极限收敛数列的定义一般地说，对于数列a，若当n无限增大时，an能无限地接近某个常数a，则称{a,收敛于。定义1设{a,}为一个数列，为一个常数，若对于任意的正数 ε>0,总存在正整数N，使当n>N时Tan-aks,则称数列(a}收敛于a，又称a为数列an的极限。liman=a (或 an→a, n→o).记作n->若a不收敛，则称(a，为发散数列数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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收敛数数列的按定义验证再论“&-N"一些例子S1数列极限的概念典的列的定定义定义极限aN+Ianmxaiaana-8a+注定义1这种陈述方式通常称为“-N”定义数学分析 第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“-N一些例子s1数列极限的概念典的定义极限业按定义验证极限为了加深对数列收敛定义的了解，下面结合例题加以说明。例1 用定义验证：limF0n-→ n-0|分析对于任意正数ε，要使8证对于任意ε>0，取N=当 n>N时，有8-0<ε，所以Jim=0nn-→ n数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论“-N一些例子s1数列极限的概念典的定义极限定义limq"=0 (0即可。log I qllog证>0不妨设0N时,有Iq"-0<8.所以lim q" = 0.n→8数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的按定义验证再论EN一些例子s1数列极限的概念典的的定极限定义定义7lim例3用定义验证233n2-n-7n分析 任给 ε>0,由n?1n+73n2-n-7 33(3n2-n-7)当n≥7时,n+7≤2n,3n2-n-7≥3n2-2n≥2n22nn+71故要使≤成立,即可。只要38注意解这个不等式是在n≥7的条件下进行的数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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数列的表按定义验证再论8-N一些例子S1数列极限的概念典的的定定义极限正,对于在意的正数。, 取N -m ([%],当 n>N时,有n?<33n2-n-7即2nlimn= 3n2-n-732limn- 3n?-n-7=3数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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