高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）54 第五章 导数和微分 s10 习题课二

习题课$2求导法则，53参变量函数的导数第十讲习题课(二)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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习题课s2求导法则，S3参变量函数的导数重要内容回顾1.求导的四则运算：2.复合函数、反函数求导；3.参变量函数的求导；4.基本求导公式数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ ୍੽ӄؠ֛ு 4. สᵜ≲ሬޜᔿ. 1. ≲ሬⲴഋࡉ䘀㇇˗ 2. ༽ਸ࠭ᮠǃ৽࠭ᮠ≲ሬ˗ 3. ৲ਈ䟿࠭ᮠⲴ≲ሬ˗

习题课S2求导法则，s3参变量函数的导数补充例题[-x的导数，例1 求f(x)=arcsin1+x1-x1-x解f(x)=larcs1+x1+x1111-x(1 +x)21-x1-x-21+x1+x1+x1+x1(1 + x)/2x(1 - x)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ 2 2 (1 ) x   ੭ҭ҆ொ 䀓 1 ( ) arcsin 1 x f x x c §  · c ¨ ¸  © ¹ 1 1 1 1 1 11 1 2 x x 1 x x x   x   c §  · ¨ ¸  ©  ¹ ֻ1 1 ( ) arcsin 1 x f x x   ≲ Ⲵሬᮠ   2 1 1 1 1 1 1 x x x x   c §  · ¨ ¸  © ¹  1 1 1 1 1 1 1 2 x x x x      1 . (1 ) 2 (1 ) xx x   

习题课$2求导法则，$3参变量函数的导数3x2 - 8x + 4, x 2时，f'(x) =(ln(x2 -3)=x2-3x=2时,3x2 -8x+4-0f(x) - f(2)f'(x) = limlimx-2x-2x-→2'x-→>2'(3x - 2)(x -2)=4，lim=x2x-2数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ 䀓䴰࠶≳⇥ሬ x  2ᰦˈ x ! 2ᰦˈ fx x x c( ) (3 8 4) 2   c 6 8 x  ˈ ֻ2 ≲࠶࠭⇥ᮠ 2 2 3 8 4, 2, ( ) ln( 3), 2 xxx f x x x ­°    ® °¯  t Ⲵሬᮠ 2 fx x c( ) (ln( 3))  c 2 2 3 x x  ˈ x 2ᰦˈ 2 ( ) (2) ( ) lim x 2 fx f f x x   o  c  2 2 3 8 40 lim x 2 x x x o      2 (3 2)( 2) lim x 2 x x x o     4ˈ

习题课2求导法则，$3参变量函数的导数In(x2 - 3) - 0f(x) - f(2)f'(x) = limlimx-2x-2x-→2+x-→2+x?-4In(1 + (x2 - 4)lim: 4.lim=x-2x→2+ x-2x-→2+综合起来有6x-8,x<2,f'(x) =2xx ≥2.(x2-33x2 -8x +4, x < 2,f(x) ::In(x2 -3),x≥2数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ 2 2 3 8 4, 2, ( ) ln( 3), 2 xxx f x x x ° ­    ® °¯  t 2 ( ) (2) ( ) lim x 2 fx f f x  x  o  c  2 2 ln( 3) 0 lim x 2 x o  x    2 2 ln(1 ( 4)) lim x 2 x o  x    2 2 4 lim x 2 x o  x   4ˈ 㔬ਸ䎧ᶕᴹ 2 6 8, 2, ( ) 2 , 2. 3 x x f x x x x ­   ° c ® t ° ¯ 

习题课$2求导法则，53参变量函数的导数sinx例3求y=x的导数.sinx解 采用对数求导法：y=x"，u=xs而 u'=(xsinx)'= xsinx(sinxlnx)"= xsin*(cos xlnx + sin),所以 '=+i*(xsinx In x)sinx=tt(xsinx)lnx+xsinx(Inx))sinxsinx(xsinx(cosxInx +sinxslnx+xX.sinxxsinx(cosxln?x+sin*Inx+ 1)t-X数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ 䀓䟷⭘ሩᮠ≲ሬ⌅˖ , u y x sin ( ) x 㘼 u x c c sin x u x ֻ3 ≲ sin x x y x Ⲵሬᮠ sin (sin ln ) x x xx c ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) . ( ) v x u x ux v x ux vx u x ª c º c  « » ¬ ¼ ( ) (( ) ) v x u x c sin sin ( ln ) x x x ᡰԕ yx x x c c sin sin (cos ln ) x x x x xx  ˈ sin sin sin (( ) ln (ln ) ) x xx x x x xx x c  c sin sin sin sin 1 (( (cos ln ))ln ) x xx x x x x x x x x xx   sin sin 2 sin 1 (cos ln ln ). x x x x x x x x xx x  

习题课S2求导法则，S3参变量函数的导数dy例4求心形线方程r=a(1+cosβ）的导数dx解先化为参数方程：x = a(1+cos@)cosp一<≤元，(y = a(1 +cosp)sinp,30因为 x'=-a(sin@+sin2p) =-2asin=cos2239y'= a(cos@ +cos2p)= 2acos=cos2223dyy'所以(P ± 0, ?≠±二元cot-0x'23dx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ 䀓ݸॆѪ৲ᮠᯩ〻˖ (1 cos )cos , ʌ< ʌ (1 cos )sin , x a y a M M M M M ­  ®  d ¯  ˈ ഐѪ x a c  (sin sin 2 ) M  M ֻ4 ≲ᗳᖒ㓯ᯩ〻 r a (1 cos )  M d 3 cot d 2 y y x x M c  c ᡰԕ Ⲵሬᮠ d . d y x y a c (cos cos 2 ) M  M 3 2 sin cos 2 2 a M  M ˈ 3 2 cos cos 2 2 a M M ˈ 2 ( 0, ʌ). 3 M z M z r

习题课S2求导法则，sS3参变量函数的导数例5 设 f(x) =x(x-1)(x-2)(x-99), 求 f'(0)解方法1利用导数定义f(x)- f(0)f'(0) = limx-→0x-0= lim(x -1)(x - 2)... (x - 99) -99!.x-→0方法2利用求导公式f'(x) =(x)'[(x -1)(x - 2)... (x - 99))+x :[(x -1)(x - 2) ..-(x -99)lf'(0) = -99!数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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习题课S2求导法则，S3参变量函数的导数例6 证明：圆r=2asin(a>0)上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角解 设圆上任一点切线与向经的夹角为Φ，由第九讲r(0)r'(0) = 2acos0,(5)式知， tan@r'(0)2asin0元于是有: tanA,±tang-22acos00因为0≤Φ≤元，所以Φ=.这表明圆r=2asine(a>0上任意一点的切线与向径0的夹角等于向径的极角数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨͧhԿՉଞӠݤجࣩݤ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ Эங੿ ֻ6 䇱᰾˖ശ ra a 2 sin ( 0) T ! кԫа⛩Ⲵ࠷㓯о ੁᖴⲴཀྵ䀂ㅹҾੁᖴⲴᶱ䀂. 䀓䇮ശкԫа⛩࠷㓯оੁ㓿Ⲵཀྵ䀂ѪM, ⭡ㅜҍ䇢 (5)ᔿ⸕ˈ ( ) tan , ( ) r r T M T c r a c( ) 2 cos T Tˈ ഐѪ  d M d ʌˈᡰԕM T . 䘉㺘᰾ശ ra a 2 sin ( 0) T ! кԫ᜿а⛩Ⲵ࠷㓯оੁᖴ Ⲵཀྵ䀂ㅹҾੁᖴⲴᶱ䀂. M T 2 sin tan tan 2 cos a a T M T T Ҿᱟᴹ ˈ ʌ . 2 T z