高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）77 第六章 微分中值定理及其应用 s33 习题课四

习题课s4函数的极值与最大（小）值第十九讲习题课（四）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 习题课（四） 第十九讲

习题课s4函数的极值与最大（小）值重要内容回顾1.极值判别的三个充分条件：2.最大值和最小值数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 重要内容回顾 2. 最大值和最小值. 1. 极值判别的三个充分条件；

习题课S4函数的极值与最大（小）值补充例题例1利用极值证明不等式：In(x+ /1+ x°)1(x± 0).x/1+x2 +11/1+x-1，所以等价于证明：解t2/1+x2 +11+xln(x+ /1+x2)> /1+x2 (x± 0)令 f(x)=1+ xln(x+ /1+ x2)- /1+x2数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 补充例题 例1 2 2 ln( 1 ) 1 ( 0). 1 1 x x x x x + + > ≠ + + 利用极值证明不等式： 解 2 2 2 1 11 , 1 1 x x x + − = + +  所以等价于证明： 2 2 1 ln( 1 ) 1 ( 0). + ++ >+ ≠ xx x x x 2 2 令 fx x x x x ( ) 1 ln( 1 ) 1 , =+ + + − +

习题课$4函数的极值与最大（小）值xx则 f'(x)= In(x + /1 + x2) +x+y1+x+xxV1+x?f'(0) = 0.=ln(x + V1+ x2)11xf"(x) =>0,V1+x?x+V1+x+x因此x=0是,f(αx)唯一的极小值点，自然也是f(x)的最小值点.从而当x≠0时，f(x) > f(0) = 0,即1+ xln(x+ /1+x°)> /1+x2 (x 0).数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 则 f x ′( ) 2 1 x x − + 2 2 fx x x x x ( ) 1 ln( 1 ) 1 =+ + + − + 2 = ++ ln( 1 ), x x 2 2 1 ( ) (1 ) 1 1 x f x xx x ′′ = + ++ + 2 1 1 x = + > 0， f ′(0) 0, = 因此 x fx = 0 () 是 唯一的极小值点,自然也是 f x( ) 从而当x ≠ 0时, fx f ( ) (0) 0, > = 即 2 2 1 ln( 1 ) 1 ( 0). + ++ >+ ≠ xx x x x 2 2 2 ln( 1 ) (1 ) 1 1 x x x x xx x = ++ + + ++ + 的最小值点

习题课s4函数的极值与最大（小）值2例2 a为何值时，f(x)=asinx+=sin3x在x:-一元33时取得极值？求出该极值，并指出它是极大还是极小2解 f'(x)=acosx+cos3x，因为 f'(兰元)=?322所以+cos3Lacos一元一元-a+1=0,33 2得到 a= 2.又 f"(x)=-2sinx-3sin3x,221=-2sin二元 <0.1二元33(g)-V3.因此 f(x)在a =2时取得极大值数学分析 第六章 微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 a 为何值时, 时取得极值？ 解 fx a x x ′( ) cos cos3 , = + 因为 2 ( π) 0 3 f ′ = ， a = 2. 又 fx x x ′′( ) 2sin 3sin3 , =− − 因此 fx a () 2 在 = 时取得极大值 2 π 3. 3 f     =   例2 2 2 cos π cos3 π 3 3 a       +    求出该极值, 并指出它是极大还是极小. 所以 1 1 0 2 =− + = a ， 1 ( ) sin sin3 3 fx a x x = + 在 2 π 3 x = 得到

习题课$4函数的极值与最大（小）值例3设a为一正数，试将α分成若干部分，使得各部分的乘积为最大，解根据算术一几何平均不等式，可知各部分相等时乘积才最大．所以本题化为求 n，使得 f(n)=()最大．为此设0f(x) :x>0,x则In=-f'(x)=X可见函数只有唯一的稳定点x。=a/e.根据导数的符号，容易判断它是极大值点（自然也是最大值点）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 设 a为一正数, 分的乘积为最大. 解 为此设 例3 乘积才最大. 试将 a 分成若干部分, 使得各部 根据算术—几何平均不等式，可知各部分相等时 所以本题化为求 n， ( ) ( ) a n n 使得 f n = 最大. ( ) 0, x a fx x x   = >     则 ( ) ln 1 . x a a f x x x    ′ =    −    可见函数只有唯一的稳定点 0 x a = /e. 根据导数的符 号，容易判断它是极大值点(自然也是最大值点)

习题课$4函数的极值与最大（小）值即函数当xa/e时严格递减而原问题要求 n是正整数，若x。=a/e不是正整数，则当 ae(x>1)时,存在正整数 n，使得a<n+1.ne和f然后比较的大小，以决定将 α等n+l分成n份，还是n+1份数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 即函数当 x a e 时严格递减. 若 不是正整数， 0 x a = e 则当 时, 取 n=1; 0 a x > e( 1) 1. e a n n < <+ 然后比较 的大小, 1 a a f f n n          + 和 以决定将 a 等 分成 n份，还是n+1份

习题课S4函数的极值与最大（小）值例4一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼晴1.8m，问观察者在距墙多远处看图才1.4最清楚(视角θ最大)？1.8解 设观察者与墙的距离为xm，则1.81.4 + 1.8A= arctan一, xE(0,+80)-arctanxx-1.4(x2 - 5.76)-3.21.80=+x2 + 3.22x2 + 1.82 (x2 + 3.2°)(x2 + 1.82)令0=0,得驻点x=2.4E（0,+8).这是唯一的驻点，容易判断它是极大值点，因此也是函数e的最大值点故观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚：数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 习题课 最清楚(视角θ 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 例4 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 x 解 设观察者与墙的距离为 x m , 则 θ = 1.4 1.8 arctan x + 1.8 arctan , x − x ∈ +∞ (0, ) θ′ = 2 2 3.2 x 3.2 − + 2 2 1.8 x 1.8 + + 2 2 22 2 1.4( 5.76) ( 3.2 )( 1.8 ) x x x − − = + + 令 θ′ = 0,得驻点 x = ∈ +∞ 2.4 (0, ). 这是唯一的驻点， 容易判断它是极大值点，因此也是函数θ 的最大值点. 故观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才 1.4 1.8 θ