高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）88 第七章 实数的完整性 s44 上下极限的性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质第六讲上下极限的基本性质数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 第六讲 上下极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列(x,，有lim Xn ≤ lim Xn.(1)n→n→下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系定理7.6有界数列(x，存在极限的充要条件是：lim Xn = lim Xn(2)n>0n>数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.6 定理7.5 上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 对任何有界数列 { }, xn 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系. 有界数列 { } xn 存在极限的充要条件是: lim lim . n n n n x x →∞ →∞ ≤ (1) lim lim . n n n n x x →∞ →∞ = (2) 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.7设(x,}为有界数列，则有1°lim x，=A 的充要条件是：对于任意的 ε>0,n→0(i) 存在 N, 当 n>N时,x,A-8, k=1,2,L .2°lim xn=B 的充要条件是：对于任意的 ε>0,n->8(i)存在 N,当 n>N时，x,>B-8;(i) 存在(xn}, Xnk<B+8, k=1,2,L .证 1°和2°在形式上是对称的，所以仅证明1°数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.7 设{ } xn 为有界数列, 则有 1 lim n n x A →∞ = o 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, (i) 存在 N, 当 n > N 时, x − = ε L 2 lim n n x B →∞ = o 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, (i) 存在 N, 当 n > N 时, x > B − ε ; n (ii) { }, , 1, 2, . n n k k 存在 xxB k <+ = ε L 证 1 2 和 在形式上是对称的, 所以仅证明 . o o 1o 上（下）极限的基本性质

*S2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质必要性 设 limx.,=A.因为 A是(xn}的一个聚点,所以存在(xm},使得 xnk→A(k→0),故对于任意的>0, 存在K>0,当k>K时,A-N时Xn<A+.数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 必要性 lim . n n x A →∞ 设 = 因为 A 是 { } xn 的一个聚点, 所以存在{ }, nk x 使得 ( ), nk x Ak → →∞ 故对于任 意的 ε > 0, 当 k > K 时， . nk A x − 0, 在区间 不然的 { } 故 xn 在 [ ,) A + +∞ ε 上 还有聚点, 设这有限项的最大下标为 N, . n x A N 时, 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质生 任给ε>0,综合 (i) 和 (ii), 在(A-ε,A+)充分性上含有x，的无限项，即A是x，的聚点A'-A、由于满足而对于任意的 A'>A,令=2A+A'A'+AA'-8Xn>A+&00=22的项至多只有有限个,这说明在（A'－8,A'+8）上也至多只有x的有限项，故A'不是（x，的聚点，所以A是{x,}的最大聚点·从而有lim xn = A.n→8数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 充分性 任给ε > 0, 综合 (i) 和 (ii), 上含有 { xn } 的无限项, 0 2 n A A x A ε + ′ >+ = 的项至多只有有限个,这说明在 ( , ) 0 0 A′ − ε A′ + ε 在 (A− ε , A+ ε ) 即 A 是 { xn } 的聚点. 而对于任意的 A′ > A, 0 , 2 A A ε ′ − 令 = 由于满足 lim . n n x A → ∞ = { xn 上也至多只有 } 的有限项, 所以 A 是 { } xn 的最大聚点 . 从而有 故 A′不是 { xn } 的 聚点, 上（下）极限的基本性质 0 , 2 A A A ε ′ + ′ − =

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.8（保不等式性）设（x,},y,}均为有界数列，并且满足：存在N。>0,当 n>N。时,有xn≤n°则取上(下)极限后，原来的不等号方向保持不变：lim Xn ≤ lim yn, lim Xn ≤ lim yn.(3)n→>0n→80n>0n-→>0特别若a≤xn≤yn≤b，则更有(4)a≤limx, ≤limy, ≤ b.n→8n→0数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.8(保不等式性) 设 { xn }, { yn } 均为有界数列, 并且满足: 存在 . n n 当 n > N x y ≤ N0 > 0, 0 时, 有 则取上(下)极限后, 原来的不等号方向保持不变: 特别若 ax y b ≤≤≤ n n , 则更有 lim lim , lim lim . nn nn n n n n xyxy →∞ →∞ →∞ →∞ ≤ ≤ (3) lim lim . n n n n a x yb →∞ →∞ ≤≤≤ (4) 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质设{a,，{b}都是有界数列，那么例2(5)(i)lim(an + bn)≤ lim an + lim bn;n-→>0n>0n→0(6)(ii)lim(an + bn)≥ lim an + lim b,n-→0n→>0n->证这里只证明(i)，(i)可同理证明.设A= lim an, B= lim bn.n→>8n>00由定理7.7， ε>0,存在 N，当 n>N时88b.<B+a,<A+2'M21故an +bn < A+B+.数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 证 这里只证明 (i) , (ii) 可同理证明. lim , lim . n n n n A aB b →∞ →∞ = = , , 2 2 n n aA bB ε ε N 时, 设 故 a + b ε 0, 存在 N, 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质再由定理7.8的(4)式,得lim(a, + b,)≤ A+ B+ &.n8因为ε是任意的,故lim (an + bn)≤ A+ B = lim an + lim b,n8n→8n→注 这里严格不等的情形确实会发生，例如an =(-1)n-1, bn =(-1)".lim an =1 , lim bn =1 ,n>0n8而 lim(an +bn)=0.n→00数学分析第七章：实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 再由定理 7.8 的 (4) 式, 得 lim ( ) . n n n a b AB ε → ∞ + ≤++ 因为 ε 是任意的, 故 lim ( ) lim lim . n n n n n n n a b AB a b →∞ →∞ →∞ + ≤+= + 注 这里严格不等的情形确实会发生, 例如 1 ( 1) , ( 1) . n n n n a b − =− =− lim 1 , lim 1 , n n n n a b →∞ →∞ = = lim ( ) 0. n n n a b →∞ 而 + = 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.9设（x,}为有界数列．则有(i)A是（x,}的上极限的充要条件是A= lim sup(x);(7)n→0k≥n(ii)B是（x,的下极限的充要条件是B = lim inf (xk).(8)n-→k≥n数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.9 设 { xn } 为有界数列. 则有 (i) A 是 { xn } 的上极限的充要条件是 (ii) B 是 { xn } 的下极限的充要条件是 lim sup { }; k n k n A x →∞ ≥ = (7) lim inf { }. k n kn B x →∞ ≥ = (8) 上（下）极限的基本性质

*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质例3用上、下极限证明：若{x，为有界发散数列则存在{αx，的两个子列,收敛于不同的极限证由定理7.6，有界数列(xn)发散的充要条件为lim xn lim xn·于是存在{xn)的两个子列n→n→{xn,},(x,},使得lim x'limlim :lim xn =Xn±.nj→8j-→80n→8n→注本例命题用现在这种证法，可以说是最简捷的数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 例3 用上、下极限证明: 若 { } 为有界发散数列, n x lim lim lim lim . n n nn j j j n n j x x xx → ∞ → ∞ →∞ →∞ ′ =≠= ′′ 注 本例命题用现在这种证法,可以说是最简捷的. { }, { }, n n j j x x ′ ′′ 使得 证 由定理7.6 , 有界数列 { } xn 发散的充要条件 则存在 { } xn 的两个子列,收敛于不同的极限. lim lim . n n n n x x → ∞ → ∞ 为 ≠ 于是存在 { } xn 的两个子列 上（下）极限的基本性质