北京大学：《古今数学思想》课程教学资源（讲义）第十讲 微分方程

微分方程微分方程是为了研究物理、天文中出现的间题而自然出现的。最初的问题与弹性有关主要是（垂直、水平）梁在外加负荷下的形状的改变（被伽利略所研究）。在弹性的研究中中一个重要的物理定律是虎克定律。后来人们研究悬链线的形状、弦的震动、悬链的摆动、单摆的运动等。摆的问题特别引起人们的兴趣，因为通过摆的周期与重力加速度的关系可以推断地球是否为扁的。牛顿就通过不同地点的摆的周期的变化推断出地球的赤道半径比极半径多1/230（比现在的结果多了30%）、后来有的家庭和探险队进行实地测量（赤道与极地附近1。纬度和经度对应的地面路程），结果都没有牛顿的理论推导的结果好，有的测量结果甚至说地球是尖的。至于地球是否为椭球（如果是椭球，应当是是哪一种椭球）都没有结论。地球形状的重要性不仅在于此问题的本身，它还密切地联系着万有引力定律。单摆导致微分方程+%sin0=0(其中0为摆角，t为时间，g为重力加速度，1为摆长），但是18世纪的分析学解不了这个方程。惠更斯（Huygens)（1629-1695）引进了摆线，在几何上解决了这个问题。另一个备受人们关注的课题是天文学，主要是行星绕日运行（二体问题）与月球在地球与太阳的引力下的运动（三体问题）。月球的运动对于航海（当时船舶的所处的位置的经度要靠月亮的方位决定）。一，常微分方程人们首先遇到的是常微分方程，后来的偏微分方程以至微分几何和变分法都对于常微分方程提出了新的课题，促进常微分方程的发展。1.一阶常微分方程.大伯努利是求解常微分方程的先驱者之一。1690年他解决了等时问题，此问题是：求一条曲线，使得质点在重力作用下从曲线上的任一点出发沿曲线下滑到达底部的时间与起点的位置无关。他列出了一个简单的曲线的、Y坐标满足的一阶微分方程，解得该曲线为摆线的半支（旋转90°）。他提出悬链线间题。伽利略曾猜想悬链线应当抛物线，事实上如果水平线密度均匀时才是抛物线，但悬链线的密度是假定为相对于线的长度均匀的。小佰努利在次年（象今天的力学中所讲的一样）列出了悬链线满足的微分方程并求出了悬链线方程（莱布尼兹用微积分也得到了同样的结果）。他为自已强于哥哥而感到莫大的骄傲。1691至1692年间伯努利兄弟推广了悬链线问题，解决了非均匀密度的无弹性软绳、等厚度的弹性绳、各点所受的力都指向同一点的绳在悬挂时的形状间题。小伯努利还解决了非均匀密度的无弹性软绳情形的反问题，即由悬链线的形状求线的密度。大伯努利证明了一个重要的结果：在两端固定的定长的所有曲线中悬链线的重心最低。莱布尼兹和小佰努利在1694年提出等交曲线间题，即对于给定的一族曲线，求与该曲线族的每条曲线都交出相同角度的曲线。如果规定角度为直角，就与光在非均匀介质中的传播密切相关（此时所求的曲线称为正交轨线）。大伯努利的学生赫尔曼（Hermann)(16781773）在1717年给出了一个法则：曲线族F(，9，c）=0(c为参数）的正交轨线满足微分方程F,daFidy（莱布尼兹就有这个想法）。小佰努利后来解决了抛射体在阻力正比于速度的任一方幕的介质中的运动问题18世纪已经有了恰当微分方程的概念，即方程Ma,y)dr+N(a,y)dy=0中的1

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M（最性关外N(最性关荷形）奖：利略方自所是可一个重定律虎的。略克后理、知来人们悬一链方自线是利略的，弦弦可一乘震一链重定动子摆单运等利略方自。特弦一链别定方自有引起于兴趣的因通虎，过期特虎。速系可以有的方自推特虎单断地有虎，球等否牛。顿就不（C斗关2移3026关欧家、庭和探险、家队和进行测量过附虎。家队和进纬文人从经对震应，附虎是特虎的面路。震都°没的行是一论弦别定方自。与好甚至尖于椭常如分当哪二论方自,仅早此以于身它还密切于联着在万力期个致的d2微题，其方自是）（(”等弧它还密证纬文”微题’=（其微题在趣角震是t同的。时g在切于端固长的）在震动过自微的d2的测量微后此以文二论方自，得没的虎是正）8其。世面学在阻解介质微运动的世、一端固长的中运的震动、动问的传题等行。从二论方自。18提的问性组三最关有最性十纪（最性是一论微其分别定方自，可一个9方二论方自，程等一论方自。:它还密测量一端固长的概分，即的，程位移微题致，论弦y趣其分别定方自。欧家测量文一般的）d数十次N阶线性现分的间。=个0趣运换得没特征方自，从而完整地虎决文这种方自纪共有论趣通链彼”无关的特虎。接着欧家又切于非十次N阶）d数线性现分的问特过l端乘一0趣函趣e伽g降低方自的论趣，归纳地虎此文这种方自。家队和进程变d数线性现分的问迈此文第一步。二个乘一待长函趣的方法降低方自的论得没的关于待长函趣的方自时被球期原方自的伴随方自。时9系让德创造文弦趣运异法。通链别定方自联立就是现分的问组。三体问题乃至几体微题致的别定方自组是线能精确虎此9的。测量这种方自组有链方程，一是律近似虎，二是探律某些这种运动的长理，例们牛顿在的《原理》微证纬文文n体质量微心在一条直其震期匀速运动。三体微题有一些精确的结悬，应略归功于系让德，二是天体力角身师单一。二得没文三体运动的初始条件微弦特殊克们三体的初始位置是等边三角的三链顶点或共其的三点的精确虎。近似计算就是要计算摄动纪偏离圆锥8其的运动，在这方都做此仅身贡献的是家普家斯。3好特殊函数好在很通场合别定方自的虎无法个初等函趣表庭，这克级趣就成文仅有力的工具。牛顿甚至个级趣虎一论别定方自们性）导十3最一导性十最十最性。级趣虎的一链重要产物是造就文一U列的特殊函趣，它们应起9要比特弦的初等函趣复杂，但是同样有很通好的分质一及广泛的应个。从别定方自的角度应，初等函趣荷形的别定方自是一论的，而特殊函趣荷形方自是二论的。这些函趣可一一应期是初等函趣的拓宽，扩身文、弦个没的函趣的范围。一类弦见的特殊函趣面学探塞险函趣、诺伊曼（Newmn关3程关函趣、汉顿险（H郝ke关39023关涵函趣定别球等第一、二、三类柱函趣，=们都是贝塞尔方程2y" +ry + (r2- n2)y= 0的解（该方程早先曾被小伯努利的两个儿子和欧拉（在研究薄膜震动时）研究过，但系统的研究是贝塞尔在研究行星运动时所作的），其中几是复参数。对于给定的参数几，贝塞尔2

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利下是所22工链r虎叫所分动微碳奔+动蛋克丽细磨+动磷影抑炼+鼠条+码克+失震梁在个微“朽滤弓退爵期为而速度。性个利下形系运推是断下弹，贝垂尔方程。地球程期瞻所分动题略分动形主是系运是断下弹，明所分动题略分动扁性顿就，不C曼利下新恶动01斤克略份动盼动微务号结楚贝垂尔方程。果、的地球程形%克尔利下家分庭和探断动题探航动都是明所分动题所动扁性测量和点点探断份动微明所分动十赤所分探所动微明所分动克赤所分近。自应纬从经方对形果、应面路利下是）都论利下好近。是甚至方程克动"克伽++动微题程形尖于椭题常如变分当分应论利下类于椭。程是种家仅性早好。此项本它，而密切联着万致d然（：其下分震震涨动是方程分克期"+分克分+3+期动克Q39微题9=程证庭下二当系弹）（其。其角）家。t同利下题面路利下形舶gl端而固)半分得8动速度当纪论析题利下学近解甚至方程纯运严4更克运严++运制茶+期微题爆克动摄克运护周惠：程在中需运解荷下学问震运解题下。8尔张0提V认动题也时的题常如变分当此方程。果、的程学经期有了应而固利下形恰当微家分方程筹)，程超动分（恒时动纪移致利下联，伯分趣趣动数重剪动抛+致利下同同形恰当家次N阶著线性证=利下形数换征而完整地决这种共微彼关接万着又券半动题988动题。8尔建立当函e边°条降。了低题甚至方程、归纳线形变”证迈当函e、被边°条降。齐第甚至方程点步分"+待分十被分别微题梁在步分动待分分动解。原伴利下学被解荷下被随德二下被所弹家程学证=程种家创庭二仅性早学近°测造。d下异联立就）家种家组三性早。函e边°条降。利下似改体立问乃开弹。至n利下9

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5.存在唯一性定理．19世纪的数学家们发现大量的微分方程无法求解。于是开始考虑给定初始和边界条件的微分方程的解是否存在的问题。最主要的结果是由哥西证明的定理，即如果f（c，y）和f（c，y）在包含某点（Coyo）的一个邻域（矩形区域）内是实连续函数，则y=f(c，y）有满足y(co）=o的唯一解。利普希茨（Lipschitz)(1832-1903)将哥西的条件f(α，y)连续”减弱为If(a,yi）一f(α,y2)<Ky1一y2l（K为某常数)。哥西又给出了判别y二f（，9）有解的第二个方法，即优势函数（亦称控制函数）法。用此方法可以证明：若f(,y）在点P=（o,Jo）的一个邻域内解析（即可以展成幂级数），则此方程有满足9(Co）=yo的唯一解。哥西又将存在唯一性的第二个方法推广到一阶常微分方程组 yk= fh(α, yi,..,Yn) (k =1,2,·.,n).6.自守函数一个常微分方程y(n）+pi(c)y(n-1)+pn(）=0如果某些p(α）有极点，黎曼和福克斯（Fuchs)(1833-1902）发现它的（复函数）解不唯一。当解y=y（α）的自变量3在系数的极点附近环绕时，解函数要改变为0个特解得线性组合，这些线性组合的系数构成的n阶矩阵的全体组成一个群，称为此方程的单值群。庞卡莱和克莱因(Klein)(1849-1925）特别研究了超几何方程r"(z）+pi(z)n(z)+p2(z)=0（其中系数P1(z）和P2(z）为z的有理分式），他们证明了当超几何方程中的参数α、β、为实数时，此方程的任二特解的商（（2）一别（它满足一个三阶微分方程）将复上半平面单值地保形映射到一个由圆弧组成的曲边三角形。（（2）的反函数2=2（S）就是所谓的“自守函数”，此函数在超儿何方程的单值群的作用下不变（即对于单值群中的矩阵（是行列式的绝对值为1的实二阶矩阵）Las+6有之一2（））。自守函数已经推广为在一般的所谓“福克斯群”（粗略地说，二阶cS+d实特殊线性群的离散子群）所用下不变的函数。注意：周期函数以及椭圆函数都是在特殊的群（整数加法群和以及两个整数加法群的直和）作用下不变的函数，所以自守函数是周期函数以及椭圆函数的本质性的推广。庞卡莱进一步将福克斯群推广到复数域，引入所谓“克莱茵群”，再此群作用下不变的的函数称为“克莱因函数”。自守函数在物理和数学的很多分支中有广泛的应用。二．偏微分方程偏微分方程并不是作为常微分方程在逻辑上的推广而出现的，它象常微分方程一样，完全是来自于力学、物理、天文等方面的实际问题。人们逐渐发现，从某些表面上完全不相干的实际问题中抽象出来的微分方程却基本上一样的，例如刻画弦的震动、声音的传播、电磁场等的微分方程都差不多。1.波动方程，波动方程起源于弦的震动。如果只考虑弦上一个固定的点的运动状况，就得到一个二阶常微分方程=一K&；如果考虑在某一时刻弦的形状，也得到一个类似的方程=一ky（这两个方程中的都表示弦上一点的横坐标，即到该点到弦的一个端点4

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8距c，t震示时间，y震示弦坐标人8点但一个平衡位置8位移，K测k垂由弦82纬决定8d要这垂小伯努利开始8考虑。接着他同时考虑证U证t之间8关系，是视y人测t8主要，（导致着万仅下形y单推2其重单人d要。这（垂N直水维波动下形)，+8解垂t8%欧主要。这里8弦8量端固定，但垂弦外初始时这t0时8形状二个下形8解起重要8影响关个弦8初始形状可竞垂甚么弧0端生了长时间8略假世纪60测70年代烈8争论达朗贝尔认人初始条件y地，y地c=o否f地否必须垂弦次可万8，欧拉则认人于地否种任果，甚至可克垂伽连续8推略也8伽连续辈要被α外8语言极垂指起间断导要8连续主要动他果识都一个连续）主要8考虑路仅析哪带好C过新8领论。小伯努利8儿舟尼尔－伯努利坚持认人初始条件定可克震人nTa厂单sinf地否1推栏其重单是d数，1是弦8长度.欧拉反二丹尼尔－伯努利，主要原常是、丹尼尔8震达知只能震示奇函数。达朗贝尔也批评丹尼尔，他伽但信所起8奇%欧函数略是使足够二次可万动验能震示人伯务利8形知。他也反二欧拉8伽连续曲元明线角。达朗贝尔要求于地否次可万一个解波动下形是重要8动伽久，年轻8尚伽知名8拉格朗日也参行了争论，他认人无需一初始曲元行限，，常人外求解过形重只被都了都仅。但是他贝径了都仅尔无方求测程次2时8条件，都了们79年，拉拉道也参行应来，+外达朗贝尔C更，这场争论8重斯是H角，数所能震示8函数8y围e6起二大。这过t同C附都9-叶8工5（佛止年之备受附注课解决.量绕日谈二的争论的同体月阳方三被航海二船舶的处位，置亮处位一：对分方程首先遇到的偏法、提促的传发展阶大学伯努。传老年上等时问着题偏法：条曲使的展。得质作用从的弦的任阳伯努沿置滑达位底何坐标坐标音y坐该坐的方三。他转沿对分受般的音列沿求悬方三的通链线曾猜想抛事的能大。他对分均匀的才假事相的弦对小的方三次曾猜链象沿今星：条事讲样㎡莱尼积质事讲样也莱b的哥感弦莫骄傲一的处位证兄猜弟阳广非小软绳厚方三㎡错，尼错，悬方三的链低样4伯努的均交曲或，交曲沿星规想事方三光介传，的播称正每轭壁尔偏法猜：条曲使的弦的任阳伯势：施星链绕曼想事方三体r用猜n使假法沿a7标，h暴F列沿代，原方三后得二℃分h暴莱F列的哥个参数常想事方三。置方法”键想事方三的‘，传族方法。d时问撼们在等阻”个偏法猜参力规想事方三沿他比于的”速的弟阳沿方三样抛坐度坐度坐度部坐局该坐y由坐一体

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全K（_开主绕体黎群6坐标大角主圆）大改主群（戎福圆=角垂直位的大以主常解满首先维近环6极矩形绕大然自近环圆形绕满理圆唯将体面6方程化成极坐标6形式大守到1展改展改1殿1展改以展角存展2）「展）2个唯用改，u(r)和p(角A)和n(时利B)试纪大守到u(r）唯普6常无求方程存(限)u）“）（“存"个若就极优塞势方程满然自唯纪家量全其变黎类中函解满1道9阶欧理福柏复参学数。读量量研究声音福空给K传播6定篇2函满福全K6变十篇K给家量十维果定维6波动方程大自者主1展展展展角存X2）2）2阵全K以极常解大XYZ极空）6定数点点正-6方向大最、、极位的(s,开政的散度。阵、改极波福X、Y、乙定数方向体位的求否)满理格方日亦研。”的问题大守到的结”与欧理’e大但推某的细节有很为不°满丹尼势－伯不利、欧理果理格方日写量大否的函于乐器线发的音性的2函大线涉及的乐器有如笛、管风曼、各形！的叭、小号、军号等等满欧理福研究铃声果S的内Ⅱ时守到过c阶偏无求方程大但没始做进黎步的研究满波哇一果黎曼些于黎性的定维果十维波Ⅱ方程的克弱问题求别有家纪题大但唯们用的方P不0大波哇一用的极球坐标大而黎曼用格复定理满）。合势它们。位上理2极福研究黎数物体些于黎数质群的万有引力过特K产生的大线一的物体形」可以很黎性大密度亦可以很不规律满可”用”表示物体内的黎性群福空)直出坐标了-开改下的坐标大福（开改处的单位质否的质群线受的万有引力福方向体的求否主式-kd-dnd连医全Kk主万有引力常解大，主物体福群（n.c)处的密度美于变(并签肾配）的蹈离满质群线受的方有引力,并体极方向保除否主式、式类似题世法求世极算不家来的满可以°时研究这定数求否满主理这别幂V(c开改dnd阵阵?存包包包阵（有一一式等等满V(开改就主势9数满这数上函解世常亦极无P用法求算家大来的满但V.开改唯普偏免康方特阵阵展V展V展V2））殿存个这数方特就L有位势方程大亦L有理普理5方特满实体丹尼势－伯不利果欧理，是到过这数方特满理普理5将位上方特用球坐标表示家来大将V设主距离的负方值的无庞级解条

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（每一项的系数都是球坐标中的两个角度的函数），他证明了这些系数可以表为含有勒让德的球函数的三重积分。借助于勒让德的球函数的正交性质，就可以计算这些系数，从而得到V。事实上拉普拉斯只对于一些特殊的物体计算过势函数。拉普拉斯认为位势方程也适用于物体内部，波哇松纠正说，在物体内部方程的右端不是0，而是一4元p（后来高斯严格地证明了这一事实）。波哇松将位势理论用于静电学，推导出导体表面电荷的分布规律。他的基本原则是：导体内部任一点处的静电合力为0。格林（Green)(1793-1841）是自学成材的英国数学家，他企图完全用数学的方式论述静电磁学。1828年他出版了一本私人印刷的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》，其中的主要定理是：设U，V为，9，2的任意两个连续函数，他们的导数在给定的物体内的任何点处都不是无穷，则V00[uva+ J %da- / VAUdu+-doOn其中△是拉普拉斯算子，即AV=++，n是物体表面指向内部的182法方向，du是体积元，do是面积元。这个定理也被俄国数学家奥斯特洛格拉德斯基（Ostrogradsky)(1081-1861）独立证明过.根据这个定理，格林可以用V在物体表面上的取值和满足一定条件的容易找到的函数U（即所谓“格林函数”）来确定V，势函数的存在性在物理上是不成问题的，严格的数学证明要用到“狄里赫勒原理”，该原理说：给定一个闭曲面S上的连续函数f，则在S的内部区域T和外部区域T上都具有二阶连续导数并且在S上等于的函数U中，使得狄里赫积分 JI(（器）+（%）+（%）)du取最小值的函数必然满足位势方程.（这个原理曾因积分的下确界不一定存在而被质疑，后来希尔伯特给出了严格的证明。）3.热传导方程傅立叶在研究热方程的过程中建立了三角级数理论，为关于波动方程的初始条件的争论作了终结。各向同性的物体内的温度T作为位置的坐标，9,2和时间t的函数满足微分方程TT.T128T02+ +02= 2ot此方程称为（三维）热传导方程.傅立叶解决了一些特殊热传导问题.其实一维的情形就已经体现了傅立叶的方法。他假定一个两端温度为0绝热状态下的长度为1的柱轴。给定了t=0时的温度分布，求时刻t的温度分布。此时的方程为aT =k2aT,A0r2 =at.满足边界条件 T(0,t)=T(l,t)=0 和初始条件 T(c,0)=f(α)。傅立叶用了分离变量法，令T(#,t)一(#)()。代入原方程得到影(量一。他证明了这个比值是常数，记为入.于是有(a)=bsin(Vk+c)。根据边界条件(0)=0得到c=0.再用另7

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一个边界条件Φ(U）=0就知道V必是的整数倍。所以入可取，=（）(为整数）。由于为指数函数，而入一定是某个入，所以T(a,t) = be-(K)t sin VTa1:一般的解必定是1（，t）的线性组合（可能有无穷多项）。而T（，0）=（），所以必有00UTf(α) =/by sinV=1于是出现了自然的问题：f（α）能表成三角级数吗？b能确定吗？傅立叶动用了马克劳林级数将b，变成无穷多个可以递推求解的线性方程的解（这里他用到了f(a）的解析性).又经过大胆的推导得到欧拉早已得到的结果b=ff(a）sinVadc（取π）。他发现：bv（作为积分）的存在性对于f（α）的要求很少，所以他断言：f（）可以取所有的函数。这又回到了丹尼尔-伯努利的观点。他的关键性的观念是：不管在区间0，之外怎样，在这个区间内他的三角级数总是等于）的。事实上傅立叶本人从未证明过f(）的任意性。他的观念很快被波哇松所采纳。4.偏微分方程组．一阶偏微分方程组最早出现于欧拉关于流体动力学的研究中。对于理想的（无黏性的）可压缩或不可压缩的流体的流动，根据牛顿第二定律，欧拉得到了由三个一阶偏微分方程组成的方程组。19世纪对于科学和技术带来巨大冲击的最壮观的胜利就是麦克斯韦（Maxwell)(18311879）在1864年发现的电磁学规律，该规律是由四个一阶偏微分方程组成的方程组（称为麦克斯韦方程）导出的。这四个方程将电场强度、磁场强度、介电系数、磁通率、电核密度以及时间和空间坐标联系起来。麦克斯韦预言了电磁波的存在，并推断出电磁波以光速传播，他还认为光是一种电磁波。不久赫兹在实验室中制造出了电磁波。这是理论走在实际前面的罕见的实例，是数学推理的可靠性的一个有力见证。8

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