高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）23 第三章 函数极限 s05归结原则

数学分析第三章$3函数极限存在的条函数极限件在这一节中，我一、归结原则们仍以limf(x）为代X→Xo二、单调有界定理表，介绍函数极限存在的条件·对于其他类型三、柯西收敛准则的极限，也有类似的结论。*点击以上标题可直接前往对应内容

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3函极限存在的条件第五讲归结原则数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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单侧极限63函极限存在的条件趋于时的函数极限趋于，时的函数极限归结原则定理3.8设f 在 U(xo,n)有定义.limf(x)存在的充要条件是：对于在Uxo,n）内以xo为极限的任何数列(x,},极限 limf(xn)都存在，并且相等证(必要性)设 lim f(x)= A,则对任给ε>0,存x→xo在>0,当0N时,有 0<Ixn-xol<8,后退前进目录退出数学分析第三章函数极限?高等教育出版社

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归结原则单侧极限S1函数极限概念对的函数极限所以Lf(xn)-Al<ε.这就证明了 lim f(xn)= A.n8充分性)(下面的证法很有典型性）设任给(x,)U(xo,n),xn→Xo，有lim f(xn)= A.n0若 f(x)在x→xo 时,不以 A为极限，则存在正数ε对于任意正数 S，存在xU(xo,)，使得Lf(xs)-A|≥80.现分别取,.o,-nj =n,o, = ,2,n存在相应的Xn eU(x,on)Xi,X2,..",Xn,:数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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91函数极限概念对归结原则的函数极限单侧极限使得L f(x,)-A/≥80, n=1, 2, :.另一方面, 000这与 limf(x)=A矛盾n8注归结原则有一个重要应用：若存在 (x),(yn)cU(xo), xn→Xo,yn→Xo，但是lim f(xn) = A± B = lim f(yn),n-00n>00则 lim f(x)不存在x→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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归结原则单侧极限91函数极限概念对的函数极限1例1证明limsinlimcosx都不存在x-→0xx->011→0,有0,解取x,Yn1元2n元2n元 +211lim sin Xn= 0 ± 1 = lim sinYnn-→00n-→001故 limsin一,不存在。x→0x同理可取×，=2n→0，，=2n元+→00，有2lim cosx, = 1 ± 0 = lim cos yn,n->0n-0故 limcosx不存在。x->00数学分析第三章函数极限I高等教育出版社

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归结原则的函数极限单侧极限S1函数极限概念对山-0/51-10.5x-1从几何上看，y=sin二的图象在x=0附近作无比x密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值．为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则现写出x→x时的归结原则如下：数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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归结原则单侧极限91函数极限概念对的函数极限定理3.9设f(x)在xo的某空心右邻域U°(x)有定义，则任给(x,}cU(x,),xn→xo,lim f(x)= A 台必有 lim f(x,)= A.x-→xon->00作为一个例题，下面给出定理3.9的另一种形式例 2 设 f(x)在x的某空心右邻域 U(xo,n)上有定义.那么limf(x)=A的充要条件是任给严格递减x→xo的(x,}cU(xo,n), xn →xo, 必有lim f(xn)= A.n->a数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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归结原则的函数极限单侧极限S1函数极限概念4证，必要性应该是显然的．下面我们证明充分性假若x→xt 时,f(x)不以A为极限.则存在正数VS >0, 存在x EU(xo,8),使I f(xs)-AI≥80.取8, =n,日x,0<x,-x<8，1f(x)-A|≥8;nmin0723 X20<x,-x<S,, 1f(x,)-A≥8 nSL,Xn--x7.3xn, 0<xn-x <Sn,1 f(xn)-A/≥8;这样就得到一列严格递减的数列(x,}CU(xo,n)Xn→xo,但f(x)-A≥ 80,这与条件矛盾数学分析第三章函数极限高等教育出版社

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