高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）75 第六章 微分中值定理及其应用 s31 极值的第三充分条件

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值第十七讲函数极值的例第三充分条件数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 函数极值的例， 第三充分条件 第十七讲

极值判别最大值与最小值S4函数的极值与最大（小）值2例2 求函数 f(x)=(x-a)x3 的极值点与极值.解 f(x)=x-ax3 在(-00,+o0) 上连续.当x±0时,-22a53f'(x) =xx3-3(5x -2a)3x2a当α≠0时,稳定点为x=不可导点为x=0：5当a=0时，稳定点为x=0，没有不可导点数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 例2 2 3 求函数 f x x ax () ( ) . = − 的极值点与极值 解 5 2 3 3 f x x ax ( ) = − −∞ +∞ 在 ( , ) . 上连续 当 x ≠ 0时, 2 1 5 3 2 3 ( ) 3 3 a fx x x− ′ = − 3 1 (5 2 ). 3 x a x = − 2 0 , , 0 ; 5 a 当 ax x ≠= = 时 稳定点为 不可导点为 当 a = 0时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点. 极值判别

极值判别最大值与最小值$4函数的极值与最大（小）值为了更好地加以判别，我们列表如下：(1)a>02a2a(0, 29)3,+8)0(-00, 0)x5y'不存在+0+3(3)1减增增S0ya即x=0是极大值点，f(0)=0是极大值;5()--()2aA是极小值点，a是极小值，x=5数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 为了更好地加以判别，我们列表如下： (1) a > 0 x y′ y ( , 0) −∞ + 2 (0, ) 5 a − 2a 5 2a (, ) 5 + ∞ 0 0 0 不存在 增 + a 增 2 5 3 3 2 3 5 5   −     减 即 x f = 0是极大值点， (0) 0 ; = 是极大值 是极小值. a x 2 5 = 是极小值点 , a f a 2 5 3 2 32 3 5 5 5       = −    极值判别

极值判别最大值与最小值$4函数的极值与最大（小）值(2)a<02a2a2a0(0)(0, + 8)(-8,x-55J'++0不存在25增增减0yQ32a5(曾)--(当)。是极大值点，a3即 x=5是极大值；x=0是极小值点,f(0)=0 是极小值。数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 (2) a < 0 x y′ y 2a (,) 5 −∞ + 2a ( , 0) 5 − 0 (0, ) + ∞ 0 2 5 a 不存在 增 + 2 5 3 3 3 2 5 5 a   −     减 0 增 是极大值 ; 即 a x 2 , 5 = 是极大值点 a f a 2 5 3 3 2 3 2 5 5 5       = −    极值判别 x f = 0 , (0) 0 . 是极小值点 = 是极小值

极值判别最大值与最小值S4函数的极值与最大（小）值yy11Xi0-101x-1X1-1-1-2(2) a>0a<0(1)2f(x) = (x -a)x35a= 0, f(x)= x3.(3)请读者自行讨论，数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 5 3 (3) 0, ( ) . a fx x = = 请读者自行讨论. -1 1 -2 -1 1 O x y x1 (1) -1 -1 O 1 1 x y (2) 极值判别 a > 0 a < 0

极值判别$4函数的极值与最大（小）值最大值与最小值例3 求 f(x)=x2 +432的极值点与极值。x解 f(x)的定义域为x±0,f(x) = 2x - 432r2令 f'(x)=0,得x=6. 又因为864f"(6) =|2 +=6> 0,tsx=6由定理6.12，x=6是极小值点，f(6)=108是极小值试问这单为什么不考虑不可导点x=0？数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 解 f (x)的定义域为 x ≠ 0, 2 432 fx x () 2 . x ′ = − 令 fx x ′( ) 0, 6 . = = 得 3 6 864 (6) 2 6 0, x f x =   ′′ = + =>     由定理6.12, x = 6是极小值点, f (6)=108是极小值. 试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0? 例 3 2 432 fx x ( ) x 求 = + 的极值点与极值 . 极值判别 又因为

极值判别最大值与最小值S4函数的极值与最大（小）值注极值的判别法（定理6.11和6.12）都是充分条件当这些充分条件不满足时.不等于极值不存在，例如2-x2(2 +sinl), x ± 0f(x)x = 0,2,f(0)=2为极大值，但不满足定理定理6.11和6.12的条件.AR0.04-0.049991.9981.9971.9961.9951.9941.993数学第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 科学出版社 极值的判别法( 定理6.11和6.12 ) 都是充分条件. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如 f (0) 2 = 为极大值 , 但不满足定理定理6.11和6.12的 条件. 注

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值对于 f(xo）=0,f"(xo)=0 的情形，可借助于更高阶的导数来判别定理6.13（极值的第三充分条件）设f在点x的某邻域内存在直到(n-1)阶的导数且 f(n(x)存在若f'(x)= f"(x,)=... = f("-"(x) = 0,f(n)(xo)±0,则极小值点，当 f(n)(xo)>0,(i)n为偶数时,xo是极大值点，当 f(n)(xo)<0;(i)n为奇数时，xo不是极值点.数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 定理6.13（极值的第三充分条件） ( ) 0 () . n 且 f x 存在 ( ) 0 ( ) 0 , n f x ≠ ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0, (i) , ( ) 0; n n f x n x f x   >   <  极小值点, 当 为偶数时 是 极大值点, 当 (ii) n 为奇数时, x0不是极值点 . ( ) ( ) ( ) 0, 0 ( 1) ′ 0 = ′′ 0 = = = − f x f x f x 若  n 极值判别 设 f 在点 x0 的某邻域内存在直到 ( 1) n − 阶的导数, 则 对于 f ′(x0 ) = 0, f ′′(x0 ) = 0 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值证由泰勒公式，有f(n)(xo))(n) +o((x - xo)")f(x)= f(xo)+n!= f(xo) + μn(x)(x -xo)".f(n)(xo)其中μn(x)=+o(1)，它在某邻域 U(xo;)n!内恒与 f(n)(xo)同号。(i) 当n为偶数，而 (n)(xo)>0 时，有μn(x)(x-xo)" >0, xeU(xo;8),故 f(x)≥f(xo)，xU(xo;8)，即 xo 是极小值点;数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 证 由泰勒公式, 有 ( ) 0 ( ) 0 00 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ! n f x n n fx fx x x o x x n = + − +− 0 0 ( ) ( )( ) . n n =+ − fx x x x µ 其中 ( ) 0 ( ) ( ) (1), ! n n f x x o n µ = + ( ) 0 (i) ( ) 0 , n 当 为偶数, 而 n fx > 时 有 ( ) 0 ( ) n 内恒与 f x 同号. 0 0 ( )( ) 0, ( ; ), n n µ δ x x x x Ux − >∈ 极值判别 0 它在某邻域 U x( ;) δ 0 00 故 fx fx x Ux x ( ) ( ) , ( ; ), ≥ ∈ δ 即 是极小值点 ;

极值判别最大值与最小值s4函数的极值与最大（小）值又当 f(n)(xo)0, xe(xo,xo +8)从而 μn(x)(x一xo)"在 xo左右两侧异号，这就说明了xo不是极值点数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

§4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 ( ) 0 ()0 , n 又当 f x ∈ +  0 0 ( )( ) , n n 从而 µ xxx x − 在 左右两侧异号 这就说明 了 x0 不是极值点. 极值判别