高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）72 第六章 微分中值定理及其应用 s28 泰勒公式在近似计算中应用

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用第十四讲泰勒公式在近似计算中的应用数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 泰勒公式在近似计算 中的应用 第十四讲 在近似计 算中的应用

在近似计带有拉格朗日型余带有佩亚诺型余项的泰勒公式63泰勒公式算中的应用项的泰勒公式泰勒公式在近似计算中的应用例5(1)计算 e 的值,使其误差不超过 10-6(2)证明e是无理数解由公式(i)可知010<0<1.e=1+1+=+n!(n+1)!2!因为0<0<1,2<e<3，当n=9时,有33<10-6R.(1)10!362880011于是~ 2.718281e~2+2!9!其误差不超过10~数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例5 (1) 计算 e 的值,使其误差不超过 10 . −6 (2) 证明 e 是无理数. 解 由公式 (i) 可知 1 1e e 1 1 , 0 1. 2! ! ( 1)!  n n θ =++ + + + < < θ + 因为 0 1,2 e 3, < < << θ 9 3 (1) 10! R < 泰勒公式在近似计算中的应用 在近似计 算中的应用 于是 1 1 e 2 2.718281, 2! 9! ≈+ + + ≈  其误差不超过 . 6 10− 当n = 9时,有 3 6 10 . 3628800 − = <

在近似计带有拉格朗日型余63泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式下证e是无理数．这是因为o(7)n!e-n!(1+1+-2!n+1n!倘若e=卫,(p,)=1是有理数.取 n≥q且n≥3,q0o3e则（7)式左边是整数，由于n+1n+1n+1、矛盾当n>2时(7)式右边不是整数.所以e是一个无理数（同样可证明sinl,cos1都不是有理数.）数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 1 1e !e !(1 1 ) . (7) 2! ! 1 n n n n θ − ++ + + = +  e ,( , ) 1 . p p q q 倘若 = = 是有理数 下证 e 是无理数. 这是因为 矛盾. 则 (7) 式左边是整数， 当n>2时(7)式右边不是整数. 取 nqn ≥ ≥ 且 3, e e3 , nnn 111 θ < < +++ 由于 所以 e 是一个无理数. 在近似计 算中的应用 1 1e e 1 1 , 0 1. 2! ! ( 1)!  n n θ =++ + + + < < θ + ( 同样可证明 sin1, cos1 都不是有理数.)

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式例6计算In2的值，使其误差不超过10-4解我们自然会想到利用公式（iv)，此时用x=1代入，它的余项是1R,(1) =(-1)(n+1)(1+0)*+, 010000.显然这样的计算量太大，所以必须寻找新的方法现考虑函数1+x-1<x<1.f(x)= ln1-x因为ln(1+x)的 n阶泰勒多项式为数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 例 6 计算 ln2 的值, 使其误差不超过10 -4 . 解 我们自然会想到利用公式 (iv)，此时用 x = 1 代入，它的余项是 1 1 (1) ( 1) , 0 1. ( 1)(1 ) n R n n n θ θ + = − 必须满足 10000. 显然这样的计算量太大, 所以必须寻找新的方法. 因为 ln(1 ) + x n 的 阶泰勒多项式为 在近似计 算中的应用

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式算中的应用项的泰勒公式(-1)"-1 x"x:2nIn(1-x)的 n阶泰勒多项式为th-x2n1+x所以 In的2n阶泰勒多项式为1-xt2n-12x+32n:而f(2n+1)n-1 +(2n):(1 - x)-2n-1(x) = (2n)!(1 + x)(2n)!(2n)!(1 -x)2n+1 ,2n+1(1 + x)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 2 1 ( 1) , 2 n n x x x n − − − ++  ln(1 ) − x n 的 阶泰勒多项式为 2 , 2 n x x x n −− − −  1 ln 2 1 x n x + − 所以 的 阶泰勒多项式为 3 2 1 2 . 3 21 n x x x n −     + ++   −  而 (2 1) 2 1 2 1 ( ) (2 )!(1 ) (2 )!(1 ) + − − − − = + + − n n n f x n x n x 2 1 2 1 (2 )! (2 )! , (1 ) (1 ) n n n n x x + + = + + − 在近似计 算中的应用

在近似计带有拉格朗日型余93泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式项的泰勒公式算中的应用于是111.2n+1R,,(x) =X)2n+1)2n+l2n+1| (1+x)(1-0x)11+x要使解得2,Ax=31-x2n11R< 0.0001.2n232n+1只要取 n=6,便得到￥11In 2 ~ 2= 0.693111× 3113×333°其误差不超过0.0001数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §3 泰勒公式 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 带有拉格朗日型余 项的泰勒公式 在近似计 算中的应用 于是 2 1 2 2 1 2 1 11 1 ( ) . 2 1 (1 ) (1 ) n R x n n n x nx x θ θ + + +   = +   ++ −   1 1 2, . 1 3 x x x + = = − 令 解得 2 2 1 11 0.0001, 3 2 12 n R n n     < <   + 只要取 n = 6, 便得到 3 11 11 1 ln 2 2 0.6931, 3 3 3 11 3   ≈ + ++ =     × ×  要使 在近似计 算中的应用 1 ( ) ln , 1 1. 1 x f x x x + = −< < − 其误差不超过0.0001

复习思考题1.若T,(x)是f(x)在x=0的 n阶泰勒多项式那么,在什么条件下T,(x)一定是f(x2)的 2n 阶泰勒多项式？数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

复习思考题 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 1. 若Tn(x)是 f (x) 在 x = 0 的 n 阶泰勒多项式， 那么,在什么条件下 Tn(x2) 一定是 f (x2) 的 2n 阶 泰勒多项式?