高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）52 第五章 导数和微分 s08 复合函数求导的例，基本求导公式

S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式第八讲复合函数求导的例对数求导法基本求导公式数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ҆ङحࡌރӡՠז ࡣحࡌރث ڔҸحࡌߎׂ আҷઔ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו

S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例5 求函数 =sinx2的导数y'.解将y=sinx2分解成=sinu与u=x2这两个基本初等函数的复合，于是由链式法则，有dydy du= (sinu)'(x2)dxdu dx= cosu·2x2= 2xcosx-数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ֻ5 sin . 2 ≲࠭ᮠ y x Ⲵሬᮠ yc d dd d dd y yu x ux 䀓 ࠶䀓ᡀ 2 ሶ y x sin สᵜࡍㅹ࠭ᮠⲴ༽ਸˈ Ҿᱟ⭡䬮ᔿ⌅ࡉ ,ᴹ (sin ) u c cos 2 u x ݤجࣩݤ՟Ӡו 䘉єњ 2 y u ux sin о 2 ( ) x c 2 2 cos . x x

导数的四则运算反函数的导数S2求导法则复合函数的导数基本求导法则与公式例6求幂函数=xα（α是实数，x>0）的导数解 =x=eαlnx是由y=e"与u=αlnx复合而成,故(x)'=(ealnx)= ealnx . (αlnx)=ealnx, αx.α-1=αx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ֻ6 yx x ( , 0) . D ≲ᑲ࠭ᮠ Dᱟᇎᮠ ! Ⲵሬᮠ ᭵ ln e D x ln ( ) (e ) x xD D c c ݤجࣩݤ՟Ӡו 1 x . D D  䀓 y xD e ln u ᱟ⭡y ux о D ༽ਸ㘼ᡀ, ln e D x ln e D x x D ( ln ) D x c

S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例7求下列函数的导数：1(iii) In(x+ /1+ x2)(i) /1+x? ; (i)1+x解运用复合求导法则，分别计算如下：x() (/1+x2) =(1+x)2. (1.1x2)-3/2 . (1+ x2)(i)+x2xV(1+x’)3数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج 䀓䘀⭘༽ਸ≲ሬ⌅ࡉ࡛࠶䇑㇇ྲл 2 (i) ( ) 1 x c  2 . 1 x x  2 1 (ii) 1 x c § · ¨ ¸ ¨ ¸  © ¹ 2 3 . (1 ) x x   ֻ7 ≲лࡇ࠭ᮠⲴሬᮠ 2 (i) 1 ;  x 2 1 (ii) ; 1 x 2 (iii) ln ( 1 ) . x x   ݤجࣩݤ՟Ӡו   2 1 x c  2 (1 )  x c 1 2 2 1 (1 ) 2 x   1 2 32 (1 ) 2 x   

62求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式+x(iii)In(x + 1+x2x+1+x1xx++x11x-数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج 2 (iii) ln( 1 ) x x c ª º   «¬ »¼ 2 1 ( ) x x 1   2 1 x 1 x   2 1 . 1 x  ݤجࣩݤ՟Ӡו 2 ( 1) x x   c 2 1 1 x x   2 2 1 + 1 x x x   2 1 ( ) x x 1  

导数的四则运算62求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式sin?例8求下列函数的导数：-cosx)222Xcos2+(i) f(x)=三arctan(二tan二) ;(1+cosx)23321121x2解(i)f'(x)=sec司1523232 x1+tan29x2.cos29122 x2 x36x2sincosCCos.22211=2 x2 x5+4cosx9costsin22数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ֻ8≲лࡇ࠭ᮠⲴሬᮠ 2 1 ( i ) ( ) arctan ( tan ) ; 3 32 x f x 䀓 2 2 1 (i) ( ) 3 1 1 tan 9 2 f x x c  2 2 1 9cos sin 2 2 x x  1 . 5 4cos x  ݤجࣩݤ՟Ӡו 1 2 sec 3 2 x 1 2 2 2 2 9 3 9cos sin 2 2 x x  2 cos 2 x 2 cos 2 x 1 6 2 2 1 sin (1 cos ) 2 2 1 cos (1 cos ) 2 2 x x x x  

导数的四则运算62求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式xx±0,1+el/x(ii) g(x) =0,x=0.-1/x1x1+x(ii) 当 x≠0 时， g'(x)=1文(1+当 x=0 时,因为Ax1g*(0)= lim -=0,.01+el/AxAx-→0+ △x1△xg'(0) = lim .0=1,1+el/AxAx→0-△xl所以g在 x=0 处不可导数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج (ii) 0 ᖃ x z ᰦ 1 1 1 2 1 1e e () . (1 e ) x x x x g x   c  ᖃ x 0 ᰦഐѪ 1 0 1 (0) lim 0 1 e x x x g x   o § · c ¨  ¸ ©  ¹     ᡰԕg ൘x 0༴нਟሬ 1 0 1 (0) lim 0 1 e x x x g x   o § · c ¨  ¸ ©  ¹     1 , 0, 1 e (ii) ( ) 0, 0. x x x g x x ­ z °  ® ° ¯ ݤجࣩݤ՟Ӡו 0, 1,

导数的四则运算52求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式对幂指函数u(x)"(x)，可用对数求导法求导,对数求导法:设u(x)>0,u(x)与v(x)均可导，则(u(x)(*) =(e'(x)Inu(x) =e'(x)inu(x)(v(x)Inu(x)u(x)= u(x)(x)v'(x)lnu(x) + v(x)u(x)例如，对于函数 J=xsinx,sinx.sinxcosxlnx +sinx=xx对数求导法不仅对幂指函数 u(x)"(x)有效,也能简化某些连乘、连除式的求导数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ॆḀӋ䘎҈ǃ䘎䲔ᔿⲴ≲ሬ. ( ) (( ) ) v x u x c ( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) . ( ) v x u x ux v x ux vx u x ª c º c  « » ¬ ¼ ሩᮠ≲ሬ⌅˖䇮 ux ux ( ) 0, ( ) ! оv x( )൷ਟሬˈ ( ) ( )v x ሩᮠ≲ሬ⌅нӵሩᑲᤷ࠭ᮠu x ᴹ᭸ ࡉ ( )ln ( ) e ( ( )ln ( )) vx ux vx ux c ݤجࣩݤ՟Ӡו ( ) () , v x ሩᑲᤷ࠭ᮠu x ( )ln ( ) (e ) vx ux c ҏ㜭ㆰ ਟ⭘ሩᮠ≲ሬ⌅≲ሬ sin , x ֻྲˈሩҾ࠭ᮠ y x   sin x x c sin x x ª º « » ¬ ¼ 1 cos ln sin xx x x 

S2求导法则导数的四则运算反函数的导数基本求导法则与公式复合函数的导数(2+1Px-2)4,求 y.例9设=(5x - 9)2/5解先对函数两边取对数，得In y = 3ln(x2 + 1) +=In(x -=ln(5x - 9)5再对上式两边求x导数，得到26x15Jx?+155x-94 (x-2)y于是J'= (" + 1)°(x -2)/4126x(5x - 9)2/54(x-2) 5x-9x+1数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج 䀓 ݸሩ࠭ᮠє䗩ਆሩᮠ, ᗇ ޽ሩкᔿє䗩≲ x ሬᮠ, Ҿᱟ ln(5 9). 5 2 ln( 2) 4 1 ln 3ln( 1) 2 y x   x   x  2 6 1 25 . 1 4 ( 2) 5 5 9 y x y xx x c      23 1 4 2 5 ( 1) ( 2) (5 9) x x y x   c  ֻ9 23 1 4 2 5 ( 1) ( 2) , . (5 9) x x y y x   c  䇮 ≲ ݤجࣩݤ՟Ӡו ࡠᗇ 2 6 12 . 1 4( 2) 5 9 x x x x ª º «   »    ¬ ¼

导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式S2求导法则基本求导法则与公式求导法则：(1)(u±v)'=u'±v';(2)(uv)'=u'v+uv', (cu)"= cu'(c 为常数);u'v-uv(3)22VV121dy(4)反函数的导数dxdxdydydy du(5）复合函数的导数dxdu dx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ˖ࡉ⌅ሬ≲ (2) (uv)c ucv  uvc , (cu)c cuc(c Ѫᑨᮠ); d 1 (4) ; d d d y x x y ৽࠭ᮠⲴሬᮠ ; 1 (3) , 2 2 v v v v u v uv v u c  c ¸ ¹ · ¨ © c  c § c ¸ ¹ · ¨ © § (1) (u r v)c uc r vc; ڔөЊҸࡣحࡌߎׂ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ d dd (5) . d dd y yu x ux ༽ਸ࠭ᮠⲴሬᮠ