高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）48 第五章 导数和微分 s04 函数极值与费马定理

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义第四讲函数极值与费马定理数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义函数的极值定义3如果函数 f 在点xo的某个邻域 U(xo）上对一切xeU(x) 有f(x)≤ f(xo) (或 f(x)≥ f(xo))则称函数f在xo处取得极大(或极小)值，称点xo为极大(或极小)值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点，数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义如图，函数 =f(x)在 Xi,X2,x4 处取极小值，在x3，Xs处取极大值由于极值是一个局部性概念，因此如果出现某一极大值反而小于另一极小值的现象,那是不y足为奇的．此y=f(x)外,在x处虽然也有水平切线，但它不a 0x1 x2 x6x3x4xs b x是极值点数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ྲമˈ࠭ᮠ y fx ( ) ൘ xxx 124 , , ༴ਆᶱሿ٬ 1x 2x 3 a O x x4 b x y ƻ · y fx ( ) 5 x 6x ཆ, ൘ x6 ༴ ᱟᶱ٬⛩. ࠷㓯, նᆳн 㲭❦ҏᴹ≤ᒣ 䏣ѪཷⲴ. ⧠䊑, 䛓ᱟн ഐ↔ྲ᷌ࠪ⧠Ḁаᶱབྷ٬৽㘼ሿҾਖаᶱሿ٬Ⲵ 3 5 x x, ༴ਆᶱབྷ٬. ൘ ⭡Ҿᶱ٬ᱟањተ䜘ᙗᾲᘥ, ↔ ТڿӘѽࣩݤج

S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义例11 证明：若f"(x)>0,则存在 8>0，使对任何 xE(xo,X,+S), 有(9)f(x)> f(xo).证由右导数的定义：f(x)- f(xo)f(xo)= lim>0.x-→>xx-Xo及极限保号性，可知存在8>0，使得Vx e(xo o+ 8), J(x)-f(x0) >0.x-xo再由 x>xo,得 f(x)-f(xo)>0,于是(9)式成立数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ֻ11 () , , 0 f x 0 0 G  䇱᰾˖㤕 c ! ࡉᆈ൘ ! ֯ሩԫ ( , ), 0 0 օ x xx   G ᴹ 䇱⭡ਣሬᮠⲴᇊѹ: 0 0 () ( ) 0 . fx fx x x  !  0 0 0 0 () ( ) ( ) lim 0 , x x fx fx f x x x   o  c !  ৺ᶱ䲀؍ਧᙗˈ 0 fx fx ( ) ( ). ! (9) ޽⭡x x !0ᗇ 0 fx fx ( ) ( ) 0,  ! ТڿӘѽࣩݤج ਟ⸕ᆈ൘ G ! 0,֯ᗇ 0 0 x xx ( , ), G Ҿᱟ (9) ᔿᡀ・

S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义类似地，若f(x)>0，则存在 S>0，使得Vxe(x-S, xo), f(x)0,则存在 S>0,使对任何xe(xo,x +8), 有 f(x)> f(xo).数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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51导数的概念导函数导数的定义导数的几何意义费马定理定理5.3（费马定理）设函数f在点x的某邻域内有定义，且在点x可导.如果xo是的极值点，则必有f'(xo) = 0.上述定理的几何意义：如果f在极值点x=x处可导，则该点处的切线平行于x轴数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义称满足方程f'(x)=0的点为 f的稳定点（驻点）。注稳定点不一定都是极值点，如x=0是V=x3的稳定点，但不是极值点．反之，极值点也不一定都是稳定点，如 x=0 是 =「x」的极小值点，但不是稳定点（因为它在x=0处不可导）费马（Fermat，P.1601-1665，法国）数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh 〠┑䏣ᯩ〻f c(x) 0 Ⲵ⛩ѪfⲴっᇊ⛩˄傫⛩˅ ྲ x 0 ᱟ y x3 нᱟっᇊ⛩ ྲx = 0ᱟy = | x | Ⲵᶱሿ٬⛩ , ն Ⲵっᇊ⛩նнᱟᶱ٬⛩ 䍩傜 ( Fermat, P. 1601-1665, ⌅ഭ ) ⌘っᇊ⛩наᇊ䜭ᱟᶱ٬⛩ˈ ৽ѻᶱ٬⛩ҏнаᇊ 䜭ᱟっᇊ⛩, ( ഐѪᆳ൘ x = 0 ༴нਟሬ ). ТڿӘѽࣩݤج

复习思考题1.给出函数f(x)在点xo可导的“ε-”定义与“&-8”定义2. 给出函数 f(x)在点xo不可导的3.举出一个函数y=f(x)，它满足f(xo +△x)- f(xo)lim=8,AxAx-→0但 x=x不是它的垂直切线4.举出一个函数 f(x)，要求它可导，但f'(x)不连续．试想：这种不连续的导函数是否仍有介值性？数学分析第五章！导数和微分高等教育出版社

ৰொۃЮז Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ 0 0 0 ( ) () lim , x fx x fx ' o x  '  f ' 3. Ѯࠪањ࠭ᮠ , y fx ( ) ᆳ┑䏣 նx x 0нᱟᆳⲴ඲ⴤ࠷㓯 4. Ѯࠪањ࠭ᮠ , f x( ) 㾱≲ᆳਟሬ, ն f x c( ) н䘎 㔝. 2. 㔉ࠪ࠭ᮠ f (x) ൘⛩ x0нਟሬⲴ ĀH – G ” ᇊѹ. 1. 㔉ࠪ࠭ᮠ f (x) ൘⛩ x0ਟሬⲴ ĀH – G ” ᇊѹ. 䈅ᜣ˖䘉⿽н䘎㔝Ⲵሬ࠭ᮠᱟ੖ӽᴹӻ٬ᙗ?