高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）51 第五章 导数和微分 s07 反函数导数，复合函数导数

$2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式第七讲反函数的导数复合函数的导数数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ރحङރՆӡ ރحङރӡՠז আЄઔ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ

导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数$2求导法则基本求导法则与公式反函数的导数定理5.7设 =f(x)为x=@(y)的反函数，在点yo的某邻域内连续、严格单调，且(yo)≠0,则f在点xo=Φ(yo）可导，且1(6)f'(xo) =p'(yo)或dy1(6')dxdxIx=Xodyy=Jo数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ࣂؓ 0 0 1 ( ) . (6) ( ) f x M y c c ރحङރՆӡ ࡉ f ൘⛩ x y 0 0 M ( ) ਟሬ, ф ฏ޵䘎㔝ǃѕṬঅ䈳, 䇮 y fx ( )Ѫ x y M ( )Ⲵ৽࠭ᮠˈ ݤجࣩݤՅӠ 0 0 d d d 1 . (6 ) d x x x y y y y x c ᡆ M ൘⛩ y0ⲴḀ䛫 0 ф Mc( ) 0, y z

导数的四则运算S2求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式证 设 △x=x-Xo,△y= y-yo,则Ax = Φ(yo+ay)-p(yo), y =f(xo+△x)-f(xo) .由假设,f =@-1在x,的某邻域内连续且严格单调从而有△x=0y=0; x→0y→0;注意到β（yo）≠0，便可证得Ay11f'(xo) = limAxAx-→0 △xp'(yo)limAy-0△y1(6)f'(xo) =y=f(x)x=@(y)p(yo)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج x y 0 0; œ 0 0 ( ) lim x y f x o x c    ( ) 0, ⌘᜿ࡠMc y0 z Ӿ㘼ᴹ 0 1 lim y x o y    0 1 . M ( ) y c ݤجࣩݤՅӠ 䇱 0 0 x yy y M ( ) ( ), ˇ M ⭡ۇٴ䇮൘ 1 f M 0 x ⲴḀ䛫ฏ޵䘎㔝фѕṬঅ䈳 0 0 y fx x fx ( ) ( ).   0 0 䇮 x xx y yy  , ,   ࡉ 0 0 1 ( ) . (6) ( ) f x M y c c y fx ( ) x y M ( ) x y o 0 0; œ o ਟ䇱ᗇׯ

导数的四则运算S2求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例4求下列函数的导数：(i) arcsin x和 arccos x ;解(i) =arcsinx，x e(-l, 1)是 x= siny在（一元/2，元/2)上的反函数，故111(arcsinx) =(sin y)"1-sin’ ycos y1x e(-1,1)12V1-x21同理,(arccos x) =xe(-1, 1)1-x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج 䀓 (i) arcsin , ( 1, 1 ) y xx   ᱟ 2 1 , (arccos ) , ( 1, 1) . 1 x x x c     ਼⨶ кⲴ৽࠭ᮠˈ᭵ 1 (arcsin ) (sin ) x y c c 1 cos y 2 1 , ( 1,1). 1 x x    ֻ4 ≲лࡇ࠭ᮠⲴሬᮠ˖ (i) arcsin arccos ; x x ઼ ݤجࣩݤՅӠ y 2 1 1 sin  (  ʌ 2 2 , ʌ ) x y sin ൘

导数的四则运算62求导法则反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式(ii) arctanx 和 arccotx .y=arctanx是x=tany在（一元/2，元/2)上的反函数111(arctanx)'sec? y1+ tan’y(tan y)"1x e (-00, +00),1+x2,同理有1(arccotx)' :x E(-00, +0)6291+ x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج 1 (arctan ) (tan ) x y c c 2 1 , ( , ). 1 x x  f f  ਼⨶ᴹ 2 1 (arccot ) , 1 x x c   x ( , ). f  f y xx y arctan tan ᱟ ൘ ( ʌ 2 2 , ʌ )кⲴ৽࠭ᮠˈ 2 1 sec y 2 1 1 tan y  ݤجࣩݤՅӠ (ii) arctan arccot . x x ઼

导数的四则运算反函数的导数52求导法则复合函数的导数基本求导法则与公式复合函数的导数定理5.8设u=Φ(x)在点x,可导，= f(u)在点uo=(xo)可导，则复合函数fβ在点x可导，且(fop)(xo) = f'(uo)p(xo)= f'(0(xo))'(xo). (7)我们用有限增量公式来证明这个定理在第二讲讨论过有限增量公式：Ay=f'(xo)Ax+α(Ax)△x,lim α(△x)= 0 Ax-→0并且，公式对△x=0也是成立的数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

h࠭ࡄجӨ Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ړӨЉҷࡄج࠭ޯׁ ݤجࣩݤ՟Ӡו ݤجࣩݤՅӠ ॠ૜Өࣩ֙ݤج ࣂؓ 0 00 䇮 u x x y fu u x M () () ( ) ൘⛩ ਟሬˈ ൘⛩ M ࡉ༼ਸ࠭ᮠ f DM ൘⛩ x0ਟሬˈф ᡁԜ⭘ᴹ䲀໎䟿ޜᔿᶕ䇱᰾䘉њᇊ⨶. 0 00 ( ) ( ) ( ) ( ) (7) f x fu x DM c c Mc ރحङރӡՠז ݤجࣩݤ՟Ӡו 0 y fx x x x c() ( ) ,  D   ൘ㅜҼ䇢䇘䇪䗷ᴹ䲀໎䟿ޜᔿ˖   0 lim ( ) 0 . x D x o ᒦфˈޜᔿሩ 'x 0 ҏᱟᡀ・Ⲵ. ਟሬˈ fx x cM( ) ( ). 0 0 Mc

导数的四则运算反函数的导数52求导法则复合函数的导数基本求导法则与公式证 因f(u)在u,=β(x)可导，由有限增量公式，得(*)lim α(△u)= 0 .Ay = f'(u)Au+ α(△u).AuAu-→0且公式对 △u=0 也成立.又因u=β(x)在x可导,lim Au = lim (p(xo + Ax) -p(xo) = 0.Ar-0Ax>0用^x≠0 除以(*)式两端，得到AuAuAy+αAuArAxAx于是就有AuAyuJimlimf'(uo+α(△u)AxAx-→>0 AxAxAx-→0= f'(uo)p'(xo) = f'(p(xo))p'(xo)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S2求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式链式法则”复合函数求导公式（7）又称为6若将公式(7)改写为dudydydxdudx其中 y=f(u),u=(x)，这样就容易理解“链”的意义了.在链式法则中一定要区分f'(p(x))= f'(u) lu=p(x)与 (f(β(x)'=(fop) (x) = f'(p(x)p'(x)不同的含义(fop)'(xo) = f'(uo)p'(xo) = f'(@(xo))'(xo). (7)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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