高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）42 第四章 函数的连续性 s07初等函数的连续

第四章数学分析S3初等函数的连续性函数的连续性在学习了连续函数一、指数函数的连续性的定义及其一系列基本性质后，现在可以证明一个二、初等函数的连续性重要结论：初等函数在其有定义的区问上总是连续的。*点击以上标题可直接前往对应内容

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53初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性第七讲初等函数的连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性指数函数的连续性在第一章中，我们已经定义了指数函数y=a, xeR,a>0,a±l并指出它在R内是严格单调的.所以，若能证明指数函数是连续函数，那么它的反函数对数函数在其定义域内也是连续函数首先证明指数函数的一个重要性质前进退出后退自录数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性定理4.10设a>0,a≠1,α,β为任意实数，则有α"aβ=aα+β, (a")β =αβ.证当α,β是有理数时，这是我们熟知的结果先设a>1，由定义，a*=sup(a"|r为有理数}>0(a-ε, a'2 >aβ-,于是有(a~ -)(aβ-)<a" .a"=a'i+r ≤aα+β数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性因为ε是任意的，所以a~.aβ≤aα+β反之,存在有理数(raa+β -8.再取有理数α,β,使ai .a =aitr >a" >aα+β-6,仍因ε是任意的，又得a~.aβ ≥aα+β这就证明了a~.aβ=aα+β数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性对于0<<1的情形，只要令 b=-，就有0a~ .aβ = b(-α).b(-β)=b-(α+β) =αα+β第二个等式的证明留作习题数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性定理4.11指数函数y=α(a>0,α≠1)在R上是连续的.证我们仍旧先假设a>1.首先证明指数函数在x=0处连续,即 lima*=1=f(0)-0这是因为对于任意的正数ε(0<ε<1)，取S = min(log a(1 + ), / loga(1 - 8) 当|x|<时,就有|a*-1|<ε.所以a*在x=0处连续数学分析第四章图函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性对于一般的点xER，由定理4.10得到Arlim a* = lim a -a*-xo = a" lim a^r= a*0Ar-→>0x-→>xox→xo所以f(x)=α在R上连续对于0<a<1情形，只要设b==，由a16tb就可得到相应的结论注当a=1时，y=a＊=1显然是连续函数，数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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S3初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性+推论1对数函数 y=logx(a>0,a≠1)在定义域(0,+8)上是连续的推论2幂函数 =x~=eαlnx在定义域(0,+8)上也是连续的例1设 lim u(x)=a>0, lim v(x)=b. 证明x-→Xox-→xolim u(x)(x) = ab.x-→xo证设 u(x)=a,v(x)=b,则u(x),v(x)在点xo连续，从而v(x)lnu(x)在点xo也连续，于是证得数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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53初等函数的连续性指数函数的连续性初等函数的连续性lim v(x)lnu(x)lim u(x)(x) = lim e'(x)Inu(x)= e+-rox-→>xox→xobinab=a=e注例1的结论可改写为lim v(x)x-→x0lim u(x)(x) = ab =lim u(x)x-→xox-→xo数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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