高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）37 第四章 函数的连续性 s04连续函数的整体性质

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质第四讲连续函数的整体性质数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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闭区间上连续函数的反函数的连续函数的局部S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质闭区间上连续函数的基本性质设f在闭区间[a,b上连续.在本节中将研究f在[a,b]上的整体性质定义1设f(x)为定义在数集D上的一个函数．若存在XED,使得对一切 xED，均有f(x)≤ f(xo)(f()≥ f(x))则称 f(x)在D上有最大(小)值，x。称为最大(小)值点，f(x)称为f(x)在D上的最大(小)值数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质例如，符号函数y=sgnx的最大值为1，最小值为-1;正弦函数y=sinx的最大值为1，最小值为-1；函数y=x一[x]的最大值不存在，最小值为零L注意： J=sinx 在(-2)）上既无最大值，又无最小A值(其上确界为1,下确界为-1)定理4.6（最大、最小值定理）若函数f(x)在闭区间[a,bl上连续，则f(x)在[a,b]上有最大、最小值这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的内涵，在今后的学习中有很广泛的应用数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质为了更好地证明定理，我们先证明一个引理引理（有界性定理）若函数f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上有界若不然,不妨设 f(x)在[a,b]上无界.则存在证xnE[a,b]，使得f(xn) > n, n = 1,2,...由此得到limf(xn)= +0. 因为(x,}([a,bl)是有界数列，所以由致密性定理,{x,}有收敛子列(αx}设limxn=Xo，由于 ≤xm≤b,由极限的不等式得k->o0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性a≤x≤b，故f(x)在xo上连续由归结原则推得+oo = lim f(xn) = lim f(xn )= f(xo),k-00n>00矛盾。所以f(x)在[a,b]上有界。定理4.6的证明由引理和确界原理，存在上确界sup f(x) = M.xe[a,b]下面说明:存在ε[a,b]，使 f(s)=M．若不然,对一切x E[a,b]都有f(x)< M. 令1g(x) :x e[a,b].M- f(x)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性易见函数g(x)在[a,b]上连续，且取正值.由引理g(x)有上界J，即有10 <g(x)≤ J,xe[a,b].M- f(x)1从而推得f(x)≤M,xe[a,b].J但这与M是,f(x)在[a,b]上的上确界矛盾。所以存在e[a,b],使f()=M. 即f(x)在[a,b]上取最大值,同理，f(x)在[a,b]上取最小值数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质定理4.7（介值性定理）设函数f(x)在闭区间[a,b] 上连续且f(a)≠ f(b). 若u是介于 f(a)与 f(b)之间的任一数(f(a)<u< f(b)或 f(b)<μ< f(a)则(至少)存在一点x E(a,b),使得f(xo) = μu.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质从几何上看，当连续曲线y=f(x)从水平直线=μ的一侧穿到另一侧时，两者至少有一个交点yf(a)y=f(x)uf(b)0xoab x数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质推论（根的存在性定理）若f(x)在[a,bl上连续，f(a)f(b)<0则至少存在一点xo，使f(x）=0.应当注意，此推论与定理4.7是等价的.于是，只要证明了推论，也就完成了定理4.7的证明，下面用确界定理来证明上述推论，大家要注意学习确界定理的使用方法数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质连续性基本性质证 不妨设 f(a)>0,f(b)<0，并设E=(xlxe[a, b],f(x)≥0}y(E为图中x轴上的红线部分）从几何上看，E的最大值就是函数的零点．证明如下：因为 aEE,所以E≠の，又E是有界的,故由确界定理，x。=supE存在，显然a≤x≤b.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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