高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）56 第五章导数和微分 s12 微分的概念，微分的运算法则

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第五章数学分析S5微分导数和微分一若在有限增量公式一、微分的概念Ay= f'(xo)Ax +o(x)二、微分的运算法则中删去高阶无穷小量项，则三、高阶微分得y关于x的一个线性近似式，这就是“微分”；四、微分在近似计算中其中的线性因子f（xo）即的应用为导数所以，微分和导数是一对相辅相成的概念*点击以上标题可直接前往对应内容

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微分在近似计算高阶微分55微分微分的概念微分的运算法则中的应用第十二讲微分的概念及运算法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分高阶微分微分的概念微分的运算法则中的应用微分的概念微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的线性部分.先从有限增量公式看看函数增量的构成设函数y=f(x)可导，则有有限增量公式Ay= f(xo +△x) - f(xo) = f'(xo)x +o(△x).公式说明，在函数y=f(x)可导的条件下，当△x很小时，△y与f(xo)△x只相差一个比△x高阶的无穷小量或者说当△x很小时，△y可以用△x的线性部分(主要部分）f(x)△x来近似地代替。这蕴含着一个非常重要的思想一微分的思想数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分微分的概念高阶微分微分的运算法则中的应用定义1设函数 y= f(x)在 U(xo)上有定义.如果函数的增量 △y=f(xo+△x)-f(xo）可以表示成(1)Ay = AAx+o(x),其中A是与△x无关的常数，则称函数f在x.可微，并称A△x为f在xo处的微分，记作(2)dy= A△x，或 df(x)x=xo = A△x.x=xo由定义,在xo处函数的微分与增量只相差一个关于△x的高阶无穷小量，而dv是^x的线性函数.通俗地讲dy是△的线性近似．可导与可微之间有如下关系。数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分微分的概念高阶微分微分的运算法则中的应用定理5.9函数f在点x.可微的充要条件是f在点。可导,且df(x)|x=x= f'(xo)Ax.证(必要性）如果f在点xo可微，据(1)式有Ay= A + 0(1).(1)Ay=Ax+o(Ax)△xAy= lim (A+o(1)= A,于是 f'(xo)= limAx-0 AxAx-→0即f在点x可导，且f(xo)= A.充分性就是定义前的那段说明，请大家课后整理完成数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分高阶微分微分的概念微分的运算法则中的应用微分的实例.设一边长为x 的正方形，它的面积S=x是x的函数.如果给边长x一个增量^x，正方形面积的增量△S=(x+△x)2x2=2x△x+(△x)2由两部分组成：△x的线性部分2x△x和△x的高阶部分(△x)2因此，当边长x增加一个微小量Ax时，△S可用△x线性部分（微分）2x△x来近似）xAx由此产生的误差是一个关于X△x的高阶无穷小量(△x)2.2xAxAx数学分析第五章！导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分高阶微分微分的概念微分的运算法则中的应用结论：去掉相对复杂的平方.可简化计算、方便研究y微分概念的几何解释：Qf在点xo的增量为y= f(x)Ay0diPAy = RQ,R微分dy=RQ'是点P处x0Xo+AxXo切线相应于△x的增量当|△x |很小时，两者之差[△ydy|=Q'Q 相比于[△x|将是更小的量（高阶无穷小）.当f(xo)0 时，dy= f'(xo)Axg'Ay-dy从 limf'(xo) | = 0,= lim△xAx-→>0 RQ△x→0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分高阶微分微分的概念微分的运算法则中的应用yQ可得到y= f(x)Ay0dyq'QPlim=0.RAx-→0 RQ这说明当△x→0时0Xo +xxxoQ'Q还是RQ的高阶无穷小量若函数f在区间I上每一点都可微，则称f是上的可微函数。f(x）在I上的微分记为(3)dy= f'(x)Ax, xe I,它既依赖于△x，也与x有关数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算55微分微分的概念高阶微分微分的运算法则中的应用习惯上喜欢把Ax写成dx，于是(3)式可改写成(4)dy= f'(x)dx, xe I.这相当于y=x的情形，此时显然有dy=dx=△x。(4)式的写法会带来不少好处，首先可以把导数看成函数的微分与自变量的微分之商，即d=f'(x),(5)dx所以导数也称为微商这个记号的更多好处将体现在后面积分学部分中数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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微分在近似计算高阶微分55微分微分的概念微分的运算法则中的应用d(x~) = αxα-1 dx ;例1d (sinx) = cosx dx :d(a")= a*Ina dx .数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）56 第五章 导数和微分 s12 微分的概念，微分的运算法则

高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）56 第五章导数和微分 s12 微分的概念，微分的运算法则