高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）83 第七章 实数的完整性 s39 区间套定理

第七章数学分析s1关于实数集完备性的实数的完备性基本定理在第一章与第二章一、区间套定理中，我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理，致二、聚点定理与有限覆盖密性定理和柯西收敛准则：上述定理反映了实数的一种特性定理这种特性称为完备性.而有理数集是不具备这种性质的：在三、实数完备性基本定理本章中，将着重介绍与上述定之问的等价性理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石

中, 我们已经证明了实数集中 在第一章与第二章 一、区间套定理 的确界定理、单调有界定理,致 密性定理和柯西收敛准则. 上 述定理反映了实数的一种特性, 这种特性称为完备性. 而有理 数集是不具备这种性质的. 在 本章中, 将着重介绍与上述定 理的等价性定理及其应用.这些 定理是数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的 基本定理 数学分析 第七章 实数的完备性 二、聚点定理与有限覆盖 定理 三、实数完备性基本定理 之间的等价性

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理的等价性第一讲区间套定理数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理的等价性 区间套定理 第一讲 区间套定理

实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性区间套定理定义1设闭区间列{a.,b.I满足如下条件：1. [an, b,]-[an+1, bn+il , n=1, 2, ",2. lim(b, -a,)= 0 ,n→80则称{[a,,b,为闭区间套,简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件ai≤a,≤...≤an≤...≤b,≤...≤b, ≤b,数学分析第七章实数的完备性福高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} a b : 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , nn n n ab a b n ⊃ = + +  2. lim( ) 0 , n n n b a →∞ − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 1 2 2 1 . n n aa a b bb ≤≤≤≤≤≤≤≤  区间套定理 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理

实数完备性基本区间套定理51关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性定理7.1（区间套定理）若{[a,,b,J是一个区间套,则存在唯一的实数，使 e[an, b,], n=l, 2,...,或者80{5] = O[an, bn].n=1[[Saa, ..anan+i...burb,....b,b.证 由定义1 的条件1 可知,数列(a,递增,有上界b1所以由单调有界定理，可知{α,}的极限存在设 lima,=，从而由定义1 的条件2 可得n-00数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 定理7.1（区间套定理） [ ]                                                                                           12 1 n n aa aa  + n n 1 21   b b bb + {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 [ , ], 1, 2, , n n ξ ∈ = ab n  或者 1 { } [ , ]. n n n ξ a b ∞ = = 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在. [[ ]]                                   x ξ 则存在唯一的实数ξ , 使 有上界b1. 区间套定理 lim = , n n a ξ 设 →∞ 从而由定义1 的条件2 可得

实数完备性基本区间套定理61关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性limb, = lim(b, -a,)+ liman = 5.nn->00n-0n→>80因为{a递增，{b递减，所以an≤<bn,这样就证明了的存在性下面来证明唯一性.设也满足an ≤i ≤bn,那么b,a→0.即=,唯一性得证数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 lim n n b →∞ 因为 {an} 递增, {bn} 递减, , an ≤ ξ ≤ bn 设 ξ 1 也满足 , an ≤ ξ 1 ≤ bn 这样就证明了 ξ 的存在性. = ξ . 1 即ξ ξ = , . 唯一性得证 1 0. n n 那么 ξ ξ − ≤−→ b a 下面来证明唯一性. 区间套定理 所以 lim( ) lim nn n n n ba a →∞ →∞ = −+

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性推论+设 {[an,b,} 是一个区间套，[an,b,l, n=1, 2,….则任给ε>0,存在 N，当 n≥N时.[a,,bn]cU(5; )证，由区间套定理的证明可得：lima, = limb, = .n-→00n-由极限的保号性，对于任意正数 ε，存在N当n≥N时,有 -ε<a,,b,<+.即-<a<b,,这就是说[an, bnlc(-ε, +),数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 推论 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b ξ →∞ →∞ = = 由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 N, [ , ] ( ; ). n n ab U ⊂ ξ ε 则任给ε > 0, 存在 N, 当 n ≥ N 时, 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, ξ ∈[ , ], a b n n n = 1, 2, .  区间套定理 当 时有 n N ≥ , , n n 即 ξε ξε −< < <+ a b 这就是说 , − < a n ξ ε . n b < + ξ ε n n [ , ] ( , ). a b ⊂− + ξ εξ ε

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性注1 i该推论有着很强的应用价值.请大家务必牢记注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结论不一定成立显然例如对于开区间列n=1, 2, :一-02.=0lim1n8但是定理1中的不存在，这是因为「1=数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 注1 该推论有着很强的应用价值, 请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n             ， 论不一定成立. 区间套定理 1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n       ⊃ =    +  1 2. lim 0 0. n→∞ n     − =   但是定理1中的ξ 不存在, 1 1 0, . n n  ∞ =     = ∅   这是因为

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性0大家可以思考一下,对于按照定理1的证过程，哪一步通不过?数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理之间的等价性 过程, 哪一步通不过?             1 0, 1 n 大家可以思考一下,对于 ， 按照定理 的证 区间套定理

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性例1用区间套定理证明连续函数根的存在性定理证设f在[a,b]上连续，f(a)f(b)< 0,记[a,b,]=[a,b]令=+h,不妨设f(c)≠0，则f(a)f(c)与2f(c)f(b)有一个小于零(设f(a)f(c)<0),记[a,b,] =[a,G]. 再令c, = +b,,同样设f(c2)±0,2又得[a3,b,].无限重复这个过程，得到{[a,,b,，满足(1) [an, b,]2[an+1, bn+i] , n=1, 2, "..,b-a=0.(2) lim(b, - an) = lim2n-1n-00n8数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 区间套定理 定理之间的等价性 例1 证 设 f ab 在[,]上连续，fafb () () 0 < ， 1 1 记[ , ] [ , ]. a b ab = 1 1 1 , 2 a b c + 令 = 1 不妨设 f c() 0 ≠ ， 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理. 1 1 则 fa fc ( )()与 1 1 fc fb ()()有一个小于零 1 1 ( ( ) ( ) 0), 设 fa fc < 2 2 2 , 2 a b c + [ , ] [ , ]. ab ac 22 11 = 再令 = 记 2 同样设 f c() 0 ≠ ， 又得 3 3 [ , ]. a b 无限重复这个过程, 得到{[ , ]}, n n a b 满足 1 1 (1) [ , ] [ , ] , 1, 2, nn n n ab a b n ⊃ = + + ， (2) lim( ) n n n b a →∞ − 1 lim 0, 2n n b a →∞ − − = =

实数完备性基本区间套定理S1关于实数集完备性的基本定理聚点定理与有限覆盖定理定理之间的等价性(3) f(a,)f(b,) 0n>00f在ε[a,b]的连续性，得f(5) = lim f(an)f(bn) ≤ 0.n→于是必有 f()=0.数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社

数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 区间套定理 定理之间的等价性 [ , ], 1,2,3 , n n ξ ∈ = ab n  由此可知 {[ , ]} a b n n 是一个区间套，因此存在唯一的 且lim lim . n n →∞ →∞ a b n n = = ξ 由(3)及 2 ( ) lim ( ) ( ) n n n f fa fb ξ →∞ = f ab 在ξ ∈[,]的连续性，得 ≤ 0. 于是必有 f ( ) 0. ξ = (3) ( ) ( ) 0 1,2,3 . n n fa fb n < = ， 