高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）79 第六章 微分中值定理及其应用 s35 凸函数的等价条件，例

55函数的凸性与拐点第二十一讲凸函数的等价条件，例数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 凸函数的等价条件，例 第二十一讲

55函数的凸性与拐点定理6.14设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：(i)f(x)为I上的凸函数;(i)f'(x)为I上的增函数;(iii对于I上的任意两点 xi，x2，有f(x)≥ f(x)+ f'(x)(x, -x)注(iii)中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定理6.14 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述论断互相 (i) ( ) fx I 为 上的凸函数 ; 1 2 (iii) 对于 上的任意两点 有 I x x , , (ii) ( ) fx I ′ 为 上的增函数 ; 2 1 12 1 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). ≥+ − ′ 注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方. 等价:

S5函数的凸性与拐点证(i)=→(ii) 任取 xj,x, I 和正数 h, 使X 0tJ(x, +h) - f(x) = f(x2)= f(x2),limhh-→0(x)≤ ()-f()≤ f'(x2),所以X, -Xi故f'(x)递增数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 12 1 2 x x x h Ix h I < −∈ +∈ , , . 且 2 2 ( ) () . fx fx h h + − ≤ 11 21 2 1 fx x x x () ( ) () () f h f f h x x − − − ≤ − 已知 是凸函数，由(4)式 f 令h → 0+ ,因为 1 1 1 1 0 () ( ) lim ( ) ( ), h fx x f h fx fx + h − → − − = = ′ ′ 2 2 2 2 0 ( ) () lim ( ) ( ), h fx fx h fx fx + h + → + − = = ′ ′ 所以 故 递增 f x ′() . 2 1 1 2 2 1 () () ( ) ( ), fx fx f x f x x x − ′ ′ ≤ ≤ − 证 1 2 (i) (ii) ⇒ 任取 xx I h , ∈ 和正数 , 使

55函数的凸性与拐点XiX2x,-hx,+h0x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 x h − 1 x 2 x h + y O 2 x x

55函数的凸性与拐点(ii)→(iii)对于任意 xi,x I,不妨设 xix2，仍可得到相同的结论。(ii)f'(x)为I上的增函数;(iii)对于I上的任意两点 xi，x2，有f(x,)≥ f()+ f'(x)(x, -x)数学分析第六章行微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 2 1 2 (ii) (iii ⇒ ) 对于任意 xx I x x , ∈ ,仍可得到相同的结论

65函数的凸性与拐点(iii)=(i) 仍设x, <xz, x = x +(1-a)x(0 < 元<1), 则(6)f(x) ≥ f(x)+ f'(x)(x -x),(7)f(x2) ≥ f(xo)+ f'(xo)(x2 - xo).将(6)式乘以,(7)式乘以(1-2)作和，并注意到ax, +(1-)x -x= 0, 得af(x)+(1-a)f(x,) ≥ f(x,) = f(ax, +(1-a)x,)(iii）对于I上的任意两点 xi，x2，有f(x)≥ f(x)+ f(x)(x, -x)(i)f(x)为I上的凸函数;数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 1 20 1 2 (iii) ( ⇒ i) 仍设x xx x x < = +− ， λ λ (1 ) (0 1), < < λ 则 1 0 01 0 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ), (6) ≥+ − ′ 2 0 02 0 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). (7) ≥+ − ′ 将(6) (7) (1 ) 式乘以λ λ ， 式乘以 − 作和， 1 20 λ λ x xx +− − = (1 ) 0, 1 2 (iii) 对于 上的任意两点 有 I x x , , 2 1 12 1 fx fx f x x x ( ) ( ) ( )( ). ≥+ − ′ (i) ( ) fx I 为 上的凸函数 ; 0 λ λ fx fx ( ) (1 ) ( ) 1 2 + − ≥ f x( ) 得 1 2 = +− fx x ( (1 ) ) λ λ 并注意到

S5函数的凸性与拐点我们在这里再一次强调，1函数f是凸函数的几何意B义是:曲线 y=f(x)的弦位于相应曲线段的上方;而它o的切线位于曲线的下方x我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质．对于凹函数也有类似的性质，请大家写出相应的定理.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 A B x y O 我们在这里再一次强调， 的切线位于曲线的下方. 于相应曲线段的上方;而它 义是:曲线 y = f (x) 的弦位 函数 f 是凸函数的几何意 我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对 理. 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定

55函数的凸性与拐点定理6.15设 f(x)在区间I 上二阶可导,则 f(x)在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：f"(x)≥0 (f"(x)≤0)证由定理6.14立即可得数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 定理6.15 证 由定理 6.14 立即可得. 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导, 则 f (x)在区间I上 fx fx ′′ ′′ ( ) 0 ( ( ) 0). ≥ ≤ 是凸(凹)函数的充要条件为：

55函数的凸性与拐点例2讨论函数f(x)=arctanx的凹凸区间解 因为1f'xx E (-80, + 80)1+x2,-2x(1+ x")2, x E (-0, + 0).(x)r:所以当xE(-0,0)时,f"(x)>0，f(x)为凸函数;当x E(0,+)时，f"(x)<0,f(x)为凹函数数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 所以当 x ∈ −∞ ( , 0) , ( ) 0 , ( ) 时 f x fx ′′ > 为凸函数； 当 ， 时 x ∈ +∞ < (0 ) , ( ) 0, ( ) . f x fx ′′ 为凹函数 解 因为 例 2 讨论函数 fx x ( ) arctan = 的凹凸区间. 2 2 2 ( ) , ( , ). (1 ) x fx x x − ′′ = ∈ −∞ + ∞ + 2 1 () , 1 f x x ′ = + x ∈ −∞ + ∞ ( , )

55函数的凸性与拐点例3 设函数f(x)为 (a, b)上的可导凸(凹)函数则f(x)=0的充要条件是x为f(x)的极值点(本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的极值点与稳定点是等价的）证，充分性是显然的(费马定理)．下面证明必要性设f(x)是凸函数,xo是f(x)的稳定点，即f'(x)=0.由定理 6.14 的 (i),f'(x)是递增的.所以(i)当xE(a,x)时，f'(x)≤0,f(x)是递减的，故f(x) ≥ f(x,), x e(a, x,);数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §5 函数的凸性与拐点 (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的 极值点与稳定点是等价的.) 例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数. 0 0 则 ( ) 0 f x ′ = 的充要条件是 x fx 为 () . 的极值点 证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性. 由定理 6.14 的 (ii), f x ′( )是递增的. 0 设 f (x)是凸函数, x 即f x ′( ) 0. = 0 是 f (x) 的稳定点, 0 0 fx fx x ax ( ) ( ), ( , ); ≥ ∈ 0 (i)当x ax f x fx ∈ ≤ ( , ) ( ) 0, ( ) 时， ′ 是递减的， 所以 故