北京大学：《古今数学思想》课程教学资源（讲义）第二讲 亚历山大时期

亚历山大时期亚历山大大帝是希腊马其顿部族的首领菲利普二世的儿子，在公元前332年（统治了希腊之后）建设了亚历山大利亚城，并使得该城市成为文化、工艺、商业中心。此时期的数学包含了众多的分支（数论、几何、力学、天文学、光学、测地学、声学、实用算术等），与哲学断了交，与工程结盟。1.几何i）前期阿基米德（Archimedes）（公元前87-212）被认为是最伟大的数学家。在理论和实用上都有非凡的才能。造水动天象仪、螺旋水泵、投石炮、聚焦烧罗马战船、测定王冠的含金量“不过是他的研究几何之余的消遣”（Plutach语）。实际上除了几何方面的著作外，他写过一些关于力学、光学、天文学的书。他的书都不是大部头，而且写得简洁，不易看懂。《论球和圆柱》中证明了球面积是大圆面积的4倍，球的外切正圆柱的体积是球体积的3/2，球缺的表面积等于以定点到边的距离为半径的圆的面积（用穷竭法）。用平面截球使得两部分体积之比为给定的数（实际上是解三次方程）（用等轴双曲线和一条抛物线的交点)。《论劈锥曲面体与球体》中证明了旋转抛物体的截断体积是同底同轴圆锥体积的2倍。（柱是锥体积的3倍早已被他人证明）。等等。《方法》中用杠杆原理处理抛物线弓形的面积。（将面积看作无穷多线段求和，猜出结论，再用穷竭法严格证明)。此方法有普遍性《论螺线》用穷竭法证明螺线第一圈的面积是第一个圆面积的1/3（用扇形穷竭）。由此可见他处理的问题是前人没有作过的，且难度很大。海伦（Heron）（公元前150？）《量度》、《测地术》、《体积求法》、《几何》证明了海伦公式。蚌线、蔓叶线等也有人研究。ii）后期（公元一世纪后）的几何。开始衰落，主要是一些评论家整理汇集性的著作，研究阐述以前的大数学家的成就，也增添一些新的定理。以帕普斯（Pappus）（？-？）的《数学汇编》（公元3世纪）为代表。共8篇。第5篇讲到兹诺多罗斯（Zenodorus）（公元前200?-100？）：面积与体积的极值问题（等周多边形中正多边形面积最大，边数越多面积越大，园面积最大，等面积的立体中球的体积最大）。增添了一个定理：周长相等的弓形中半圆面积最大。第6篇中证明了：过同一点的4条直线被任意直线所截交比不变第7篇中证明了：四边形的一条对角线被另一条对角线和“两组对边的交点的连线”所截得到调和点列（即交比为1的四个点）；以及Pappus定理（有的称为Pappus公理）：在给定二直线上分别取3个点A,B,C和A',B'C"，则AB与A'B的交点、AC与A'C的交点、BC与B'C的交点三点共线（点的顺序要对应）（Pascal定理的特例：Pascal用二次曲线代替这里的“二直线”）；以及断言“到给定的二直线的距离乘积等于到另外给定的二直线距离的乘积的常数倍的点的轨迹是二次曲线”。未加证明地给出另一个Pappus定理：平面图形绕一周旋转得到的旋转体体积等于图形面积乘以重心划出的圆的周长。1

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第8篇讲力学。定义了物体的重心，讨论了物体沿斜面运动的问题2.三角术．以球面三角为出发点（用于天文学）。希帕恰斯（Hipparchus）（公元前190-125）引入概念。在梅内劳斯（Menelaus）（98）达到顶点。著有《球面学》（三篇）第一篇中讲述球面三角形（即由大圆的小于半圆的弧围成的三角形）平行于平面三角形的结果，例如两边之和大于第三边，等边对等角。证明了不能与平面三角形类比的结果：三内角之和大于二直角，两个球面三角形如果三个角对应相等则全等。梅内劳斯定理（用大圆截球面三角形六段弧的正弦值的乘积关系）是他的第二篇（天文学）基础。若一球面三角形ABC被一大圆所截，在A、B、C所对的弧上的交点为A'B'、C'，则定理说 sin AB'sin BC'sin CA'=sin AC'sinBA'sin CB'（A',B',C'的保序轮换对应放在A，B,C之后）)。该定理平行于平面几何中的梅内劳斯定理。第三篇讲三角函数的比例关系。得到的结果平行于射影儿何中的交比的性质（球面粘合对径点就是射影平面）托勒枚（Ptolemy）（85-168）（埃及人）地心说的奠基者，将数学在天文学中的应用推到顶点。他想把天文学建立在不容置疑的算术和几何的方法之上。《大汇编》共13篇，三角与天文混在一起。计算了36°、72°的正弦值，给出了从已知正弦值出发求二角差的正弦和半角正弦的方法，在此基础上给出了第一个三角函数表（以1/2度为单位。3.算术与代数i）计数（记数与求无理数的近似值）阿基米德在《数沙法》中应用当时的记数法（远不是我们现在的十进制的写法），给出了一个写大数的方案，得出1016到1024之间的一系列数。他估计世间的沙粒数，说明沙粒数小于他写出的数。这里蕴含着数可以大到不受限制的思想，（伯拉图时代求V2：用号代替2，得到近似值号。用代替3，得到近似值至。）阿基米德在《圆的度量》中得到>V3>（没有说明是怎样得到的）。用内接和外切正多边形逼近圆的方法求元，得到3兴<元<3号。亚历山大时代后期人们（例如托勒枚）已经知道现代基于（α+b)2=α2+2ab+2的求平方根近似值的方法。ii）算术与代数由于V2不能等于两个整数的比，算术与代数只是在有理数（整数与分数）的范围内进行，超出这个范围就只好求助于几何。从欧多可索斯（Eudoxus）引入“量”开始，严格的数学只能用儿何的语言叙述。关于量的所有运算都应当有几何的解释。但是到了亚历山大时期，阿基米德、托勒枚等用算术计算几何量，其逻辑基础仍是来自与儿何。但是海伦、尼科马修斯、丢番图等人则使算术和代数成为一门独立于几何的学科而发展。例如海伦提出这样的问题：设正方形的面积与周长之和为896，求其边长。问题本身是无法用几何解释的。他的（算术和代数）算法是（用语文叙述的）：α2十4c=896两端加上4后在开方得到二30。他还说“一个正方形乘以一个正方形”之类的话（指的是数量)。尼科马修斯（Nichomachus）（公元100年前后）编写了《算术入门》（两篇）是完全脱离儿何讲法的算术书，成为其后1000年间算术的标准教科书。除了系统地整理当时算术（关于整数和比）的成果之外，书中还有与现在一样的九九表；给出了4个完全数（6，2

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28，496，8128）；介绍了埃拉托斯特尼（Eratosthenes）（公元前275-194）筛。丢番图（Diophantus)(246?-330？）使得希腊的代数达到顶峰。他的多数著作都已失传。巨著《算术》有13篇，但只保存下来6篇手抄本（费马曾读此书.·）。据说此书是供学生练习之用。此书第一次在代数中采用一系列符号。以△表示2（是“方幂”的第一个字母），表示3（是“立方”的第一个字母），△△表示，△表示a5，KYK表示α。在当时出现高于3次的方幂是不可想象的（没有几何意义）。他做运算完全不用几何解释，就象我们现在用结合律、分配律等一样。他处理的问题是全新的，即求整系数不定方程的有理解，例如“把一个平方数分成两个平方数”。他不是对于一般的平方数解决这个问题，而是处理个别的平方数。他取平方数16，结果得到和。又例如“把一个数分成两个立方数，并使其边之和为给定的数”。他取“一个数”为370，“边之和”为10，结果是这两个立方数为243和27。（费马？）注意：这里“一个数”实际上不可能是立方数（否则与费马大定理矛盾）。因此此问题无法用当时的儿何解释。再例如“把一个给定的数表为四个平方数与其各边之和”，他取给定的数为12，得到的四个边为、、%、。这更没有几何解释了。他解决问题的方法是用适当的变量替换将原来的方程化为可解的形式，例如c?+y2=16，令=，代入得2=16，即得到结果。他的技巧极高，后人不知道他是怎样找到变量替换的，189个题每个题都各自的解法。不定方程问题（称为“丢番图分析”）至今仍是有个别问题组成的一堆乱麻。只有少数结果有一般性，例如形如4n十3的素数不能标为两个平方数的和。整个希腊数学的一个大缺陷是没能用学母符号表示一类数（例如方程的系数）。亚历山大时期的代数缺乏清晰的演绎结构，不象欧几里德的几何那样。数（整数、分数、无理数）都没有定义过，也没有公理作为推导的基础。所有人的代数都只是告诉你应该怎样做而已。可以看出它带有埃及和巴比伦的数学的熔印4.算术、几何、三角代数之外的（与数学相关的）学科i数理（相对于观测）关文学：（毕达格拉斯学派后期就已经相信地球是球形的）欧多可索斯用来自几何的圆周运动的想法说明天体运动。为解释天体运行（由观测得知它们不是绕地球作匀速圆周运动），有三的一地球为中心的同心球，每个球秘摄：都绕其某条直径匀速转动专轴是固定在它外面的球面上的，外层的求得转动带动里层的球的轴运动天体在最里面的球面上。用三层球就可以解释日、月的运动，用四层球可以解释行星的运动。最外层球每24小时绕一周。他一共精心构造了27个球和球的旋转轴、转速，使得计算结果尽量符合观测结果。但他的结果不能解释太阳运动速度的变化，与实际路线也有小的差别，与火星运动完全不符等等（可能由于当时缺乏更详细的观测数据，他本人并没有发现这些不合理之处）。另一个致命的问题是：他说不清是什鹰使得这些球转动。亚里士多德寻求让一个球推动另一个球旋转的结构，在欧多可索斯的27个球之间有加了29个球，使得球之间能有接触。所有的动力来自最外面的球。亚历山大时期第一的大天文学家是阿里斯塔克（Aristarchus）公元前310？-230？）。他学问广博。他计算了日、月到地球的距离的比例。方法是在月亮恰好为半月时测量太阳的仰角，他的结果是该比例为18-20（仰角为89°52'）（正确的应约为346）。再根据日轮和月轮的大小算出太阳（体积）是月亮的7000倍（正确的应约为8000）。他是第一个提出日心说的人：恒星不动、地球绕日、月绕地球。因为它与亚里士多德的力学不符而遭到驳斥。该力学认为重物趋向于宇宙的中心。如果不承认地球是宇宙中心，就无法解释重物落向3

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地面科出勒已据此他由小拉地球在是烙物体下落求就会落向运是方向相求面派正斯u人批判，此表求相他法科出勒已以他运是相地球会把云彩抛阳u面科落腊天定学相顶点斯落代恰斯出勒已相：作科落代恰斯相很多：作写进现出勒已相巨著《大当时》我们发现了地球旋转轴0对恒62球的运列（称为差”）（地轴永远指向拉极，但是以56000年为3期旋转）我改进一年所没的有间为36525多有55分15秒（比现代数据约多6分半），算出整地只分是地球半径的67.74E（现代数据为60.3），整球半径是地球的1/3（现代数据为57/100）我托“枚”《大当时》中完善了地心说的理论，”运都解的释但深远我i）地理来．埃拉托尼特尼（马数丢的发明番）成著而的工如有计算地球大问的3长我题法是：选择一9夏至本，算出4一的太阳直射的地点到另一9同有观h太阳（a射）的地点的只分，”a射公h元太阳的仰角（”太阳前两完的假设书该仰角等两9观h点所夹的问3角的余角），4而计算出结；为43405介绍我们特计算r很多城市筛间的只分我们”《地理来》一D中p？了们的计算题法和结；我们特绘希r腊达地峰我托”枚的《两球法》P？著球极作释绘希地峰的题法，《地理来》一D是失一传地峰巨和地而存下，手出了费00多9地题的曾读据，供生练著了习次年我ii），号来.△理Y多示”《S理来》一D中手出了一幂运列理论，字为K腊号来的成高字K我们把运列分为两类：2高运列和象发运列我高运列的意义是做律向们配的处高新即，每92做程哟般决处的处高新即，而重5的处高新即是取又的中心（地球），一的处高新即是解我象发运列是数问3运列和直立运列方字的我运列的做程，到号和阻号：2高运列有号K是做的重元，阻号义来处运列有做通r的媒介；象发运列有的号来处1练做或某种机构，阻号义来处做的重元（重元约大义阻号越大）。运列速据与号和阻号的比值字正比。因此没有阻号的做运列速据是无穷大，所以真空不存”。们不能？释做书降有越来越快。们说这是因为做越接近般处高新即K越欢乐，1是K越快。K腊有期的成大的数来5理来家是阿基米示。”《两板的重心》一D中们以介理的题式手出简单两面峰形的重心新即、两衡条件等（程是正确的）。高生推导较复杂峰形的重心，例如抛弓形的重心”I底边中点的与抛立对称轴两完的立段的1:5的分点处（与三角形类似）。们”流做静号来中手出了两9介理，数此推出浮号定律（h元王冠的没金元）。证明了一些复杂的结论，例如正旋转抛。做”水中的静止新即是轴垂直水两面。iv）前来．欧习绍示”《前来》中说练配能够看家做是有与练的眼晴发出的前焰直立运完照射到。做解。（直立运完符合近代说法），著以？释同样的做”较远的新即是看起来较多。”《镜面反射》中”一些介理书证明了反射定律（入射角等出射角）。应著曲面有著切两面。海伦”《镜面反射》中P到反射前立走成短路曾。阿波罗纽尼”《点火镜》中P到了旋转抛镜面的聚焦性质。托“枚发现了折射现象，注意到了太阳前和完‘前，大气折射的释但，但没有找到规律。他的《前来》一直流传到今2。5.K腊练研究数来的目的：他配有了？处高达的迫切愿望，而数来是了？取又的钥匙：因为取又是按数来规律布局的。数来不是孤立的来科。2文、前来和音乐的研究启发他配提出数来问题。例如毕达格拉斯学派称天文学为“球面”（sphaeric）。托勒枚说它是为天文学而创立三角术的。4

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6.希腊人的自然观在希腊时代之前（公元前600年前）人们认为自然界是有天神操纵的。希腊的绝大多数人也是如此。但是希腊的知识分子则对与自然界采取了全新的态度：他们相信自然界是有秩序的，按照始终如一的规律运行。爱奥尼亚学派是最早断定自然界有其自身实质的人。认为宇宙由本质始终不变的原始物质组成。表面上千变万化的各种物质形态都可以用原始物质来解释（当然他们并没有解释清楚）。把自然界中的杂乱无章的混乱现象归结为井然有序地可以理解的格局的第一步是毕德格拉斯学派的数学哲理性的自然观。“数”是他们解释自然的第一原则：所有物体都由“点”或“存在单元”适当组合而成，而“数”就是“点”也是物质的“原粒”。他们的哲理是“万物皆数”。他们把音乐、天体运动都用数之间的关系加以解释。从一般的意义上说，现代科学也是如此，只不过我们的数的形式要深奥、细致、准确得多。毕达格拉斯学派关于数的观念公元前5-3世纪希腊哲学家的原子论的观念吻合。后者认为宇宙由终极的不可分的若干种简单的质点（原子）组成（尽管几何上没有不可分的东西）。（atom在希腊文中的意思是“不可分”）（我们今天的观点如何？）原子的大小、形状、次序、位置可以多种多样，于是形成不同的物体。形状、大小、硬度是原子本身的性质，而其他性质（如味、色、热）是人们感觉的结果，因人而异，所以感性知识不可靠。但是希腊哲学不涉及数。由于没有（也不可能有）较多的实验手段和结果，他们有许多观念是不准确的甚至是错误的。他们把音乐归结为数之间的关系的原因是弦的长度与谐音的有关（我们现在知道声音的高低是有声波的频率所决定的）。进一步，他们把行星运动归结为数之间的关系，认为运动的物体会发出声音，越快则声音越高，根据他们的天文学，行星离我们越远就运动越快，所有的行星发出的声音就配成地球上的谐音（不过人们因为习惯而听不到它们）。他们想找出天体运动的规律，自然地认为天体都是在作匀速圆周运动。他们是最早认为地球是球形的人。由于10是个理想的数，所以他们断定有10个运动着的星体：中心是一个不动的火球（指的不是太阳），再有（由天文观测）当时已经知道的五个行星、日、月、所有恒星所附着的一个天体，此外还应当有一个“反地球”（始终被中心火球挡住而看不见），它们都围绕中心火球作匀速圆周运动。对于“数”“至上”的这种看法使得他们不能接受不可共度的长度，因为他们认为线是由有限多个点（几何点等同于物理点）组成的。伯拉图比毕德格拉斯走得更远，他们干脆用数学取代自然界本身。认为只要能够从自然界中抽象出几条基本真理，然后就可以单凭理性思维推断整个自然界（就象几何学一样）。亚理士多德批评伯拉图归于数学的想法。他相信物质是客观世界的主体。真正的知识是从感性经验经过抽象的结果。他认为物理是研究自然的基本科学，数学则通过描述形状、数量的方式帮助物理。数学是从现实世界总抽象出来的，不能独立于或先于经验而存在。单靠数学决不能完全确定物质，物质的有些性质上的差异（例如颜色的不同）不是能归结为几何上的差异。世界不是由一种原质组成，而是由四种基本元素，即四象（火、土、水、气），组成。四象具有各自的物理性质。评论：成就：抽象化使得数学成为科学（一个三角形或代数方程适用于无穷多个对象）；演绎证明这一数学独有的方法被创造出来；罕见的细致性（严格性），发现定理并给予证明的能力极强，他们所作的数学内容广泛，穷竭法已经蕴含着微积分的萌芽。5

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缺陷：由于不能理解无理数而使得数量与图形分离、算术（代数）与几何分离；严格的数学证明只能用几何去做导致证明越来越复杂（与微积分比较即知）；出于严格性和优美性的原因将儿何限定在直线、圆及圆锥曲面、圆锥截线狭隘了人们的研究范围，不能接受无穷大（小）的概念使得他们不能解释点与线、离散于连续的关系，由于害怕无穷的步骤而与极限的理论失之交臂，尽管在穷竭法中已经接触严格的极限了。希腊数学的衰落主要原因是罗马帝国的入侵和宗教的迫害。罗马帝国对于数学基本上没有贡献。他们蔑视数学。公元前47年凯撒大帝焚毁了亚历山大港的埃及舰队。大火蔓延烧毁了图书馆的藏书和约50万份手稿。基督教反对接受任何异教徒的文明。公元400年之前他们焚毁了尚存的约30万份手稿。640年回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉伯占领者焚毁，给了亚历山大文明最后的打击。6

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