东北财经大学：《概率论与数理统计》课程教学设计（教案讲义，任课教师：于洋）

概率论与数理统计教案于洋任课教师：授课班级：3课程学分：54课程总学时：3课程周学时：上课周次：18

概率论与数理统计教案 任课教师： 于 洋 授课班级： 课程学分： 3 课程总学时： 54 课程周学时： 3 上课周次： 18

《概率论与数理统计》教学设计学时课程名称概率论与数理统计（第1周）3《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共54学时，18周，每周3学时。学情分析大学二年级学生，第1次学《概率论与数理统计》课程，让学生了解本课程的研究对象、教学目标以及考核形式和方法等。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的基本知识，有能力学习本周课程。1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在经济、金融和管理等领域的应用。2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。教学目标3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。课堂教学以学生为中心，从实际问题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程教学思想思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。教科书：《概率论与数理统计》（第5版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2019。参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第5版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2020。②《概率论与数理统计教程》（第3版），苑诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育课程资源出版社2019。③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社2006。电子资源：《概率论与数理统计习题册》（第一章）pdf、教科书pdf、参考书pdf。网络资源：https：//www.icourse163.org/中国大学M00c平台“国家精品”课程。第1周：第一章概率论的基本概念第一节随机试验第二节样本空间、随机事件第三节频率与概率1.理解随机试验、样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的概念；2.掌握事件的关系和运算；教学内容3.了解频率的概念、频率具有稳定性、概率的统计定义：4.了解几何型概率；5，在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点：互不相容事件和对立事件的区别；完备事件组；概率的统计定义。教学重点与难点教学难点：会用事件的关系和运算表示一些较复杂的事件。从实际问题出发，理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论教学方法与工具法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体投银幕。教学安排教学环节教师行为预设学生行为设计意图【口头介绍】【认真聆听】课程介绍让学生了解课程特点、学目视学生，声音清晰，语速关注教师一言一行，思考如何学（5分钟）习目标以及考核形式等。适中。习本课程

《 概率论与数理统计 》教学设计 课程名称 概率论与数理统计（第 1 周） 学时 3 学情分析 《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务 是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握 概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共 54 学时，18 周，每周 3 学时。 大学二年级学生，第 1 次学《概率论与数理统计》课程，让学生了解本课程的研究对象、教 学目标以及考核形式和方法等。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的基本 知识，有能力学习本周课程。 教学目标 1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在 经济、金融和管理等领域的应用。 2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。 3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识 题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰 的责任感和使命感。 教学思想 课堂教学以学生为中心，从实际问题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主 动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程 思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习 相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀 科学高峰的责任感和使命感。 课程资源 教科书：《概率论与数理统计》（第 5 版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社 2019。 参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第 5 版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编， 高等教育出版社 2020。 ②《概率论与数理统计教程》（第 3 版），茆诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育 出版社 2019。 ③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社 2006。 电子资源：《概率论与数理统计习题册》(第一章)pdf、教科书 pdf、参考书 pdf。 网络资源：https://www.icourse163.org/ 中国大学 MOOC 平台“国家精品”课程。 教学内容 第 1 周：第一章 概率论的基本概念 第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 1.理解随机试验、样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的概念； 2.掌握事件的关系和运算； 3.了解频率的概念、频率具有稳定性、概率的统计定义； 4.了解几何型概率； 5.在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生 正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。 教学重点与难点 教学重点：互不相容事件和对立事件的区别；完备事件组；概率的统计定义。 教学难点：会用事件的关系和运算表示一些较复杂的事件。 教学方法与工具 从实际问题出发，理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论 法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用 于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体投银幕。 教 学 安 排 教学环节 教师行为 预设学生行为 设计意图 课程介绍 （5 分钟） 【口头介绍】 目视学生，声音清晰，语速 适中。 【认真聆听】 关注教师一言一行，思考如何学 习本课程。 让学生了解课程特点、学 习目标以及考核形式等

【小组讨论】【口头讲授】激发学生兴趣，唤起学生实际间题导入叙述实际问题，引出本周课课堂与同学一起讨论生活中有趣（10分钟）求知欲望。程的主要知识点。的随机现象。【写板书】注重科学思维方法的训【记笔记】板书理论讲授和例题讲解相结练，培养探索未知、追求真认真听讲，记纸质笔记或电子笔（80分钟）合，恰当处理逻辑严谨性与理、勇攀科学高峰的责任记。生动直觉的关系感和使命感。通过课堂练习检验学生课【出题】【思考与解答】课堂练习堂学习效果，使学生具备布置练习题，预留时间让学思考练习题并给出解答，认真聆（30分钟）运用知识分析和解决问题生做，然后给出详细解答。听教师讲解正确答案并反思。的能力。【总结和布置作业】多做习题是打好数学基础教学巩固对本次课主要知识点进行【记录作业】的必由之路。编发高质量（10分钟）认真聆听，记录作业题目。习题册，让学生对知识的梳理总结，使学生掌握教学重点和难点，并布置作业。掌握更牢固。深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提教学评价问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见，不断改进教学方法，提高教学效果。预习任务预习概率的基本性质、古典概型、排列组合原理。课后作业《概率论与数理统计习题册》（第一章）1#、2#掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。观察新生婴儿的性别，可能是男孩或女孩。这类现象，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预先知道哪一个结果会发生。人们经过长期的实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种规律性。例如，多次重复抛一枚硬币得到正面朝上的次数大致有一半。经过大量统计，新生婴儿中男女婴的比例大约是1：1。这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。课程思政元素：随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性表现在“对随机现象做一次试验，结果具有不可预知性”：必然性则表现在“对随机现象进板书设计行大量重复试验，结果有一定的统计规律性”。在这个“偶然”向“必然”的转变过程中，蕴含着朴素的唯物主义观点，引导学生学习和运用唯物辩证法，不断增强辩证思维能力。确定性现象一一根据存在的条件，事先可断定未来的结果。（实例）随机现象一一事先不能预知其结果是否出现。（实例）概率论和数理统计的发展历史和现状。$1.1随机试验随机试验的特点：可重复性；可观察性；随机性。$1.2样本空间、随机事件一、样本空间与随机事件

实际问题导入 （10 分钟） 【口头讲授】 叙述实际问题，引出本周课 程的主要知识点。 【小组讨论】 课堂与同学一起讨论生活中有趣 的随机现象。 激发学生兴趣，唤起学生 求知欲望。 板书 （80 分钟） 【写板书】 理论讲授和例题讲解相结 合，恰当处理逻辑严谨性与 生动直觉的关系 【记笔记】 认真听讲，记纸质笔记或电子笔 记。 注重科学思维方法的训 练，培养探索未知、追求真 理、勇攀科学高峰的责任 感和使命感。 课堂练习 （30 分钟） 【出题】 布置练习题，预留时间让学 生做，然后给出详细解答。 【思考与解答】 思考练习题并给出解答，认真聆 听教师讲解正确答案并反思。 通过课堂练习检验学生课 堂学习效果，使学生具备 运用知识分析和解决问题 的能力。 教学巩固 （10 分钟） 【总结和布置作业】 对本次课主要知识点进行 梳理总结，使学生掌握教学 重点和难点，并布置作业。 【记录作业】 认真聆听，记录作业题目。 多做习题是打好数学基础 的必由之路。编发高质量 习题册，让学生对知识的 掌握更牢固。 教学评价 深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提 问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见， 不断改进教学方法，提高教学效果。 预习任务 预习概率的基本性质、古典概型、排列组合原理。 课后作业 《概率论与数理统计习题册》(第一章)1#、2# 板书设计 掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。观察新生婴儿的性别， 可能是男孩或女孩。这类现象，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果， 而在试验或观察之前不能预先知道哪一个结果会发生。人们经过长期的实践并 深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种 规律性。例如，多次重复抛一枚硬币得到正面朝上的次数大致有一半。经过大量 统计，新生婴儿中男女婴的比例大约是 1:1。这种在个别试验中其结果呈现出不 确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象。概 率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。 课程思政元素：随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性表现在“对 随机现象做一次试验，结果具有不可预知性”；必然性则表现在“对随机现象进 行大量重复试验，结果有一定的统计规律性”。在这个“偶然”向“必然”的转变过 程中，蕴含着朴素的唯物主义观点，引导学生学习和运用唯物辩证法，不断增强 辩证思维能力。 确定性现象——根据存在的条件，事先可断定未来的结果。（实例） 随机现象——事先不能预知其结果是否出现。（实例） 概率论和数理统计的发展历史和现状。 §1.1 随机试验 随机试验的特点：可重复性；可观察性；随机性。 §1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间与随机事件

对随机现象的观察或试验，称为随机试验，简称试验1.试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间1基本事件空间，用S或Q表示．试验的每一个可能结果称为样本点，用の表示注①每次试验必然出现1个且只能出现1个样本点②样本空间是集合，并且是研究对象的全集：样本点是集合中的元素③样本点是今后抽样的最基本单元④我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，认识随机现象一般首先要列出样本空间例（1）掷一枚tou殷子，观察出现的点数S={=1,2,3,4,5,6)=(1,2,3,4,5,6)S含有有限个样本点（2）记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数含有可数/可列（无穷多）个样本点S=0,1,2,3,..（3）在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命（小时）S=1≥0=(00≥0=[0,+)不可数无穷多个样本点（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标（直角坐标系下）。S=(x,y)|x2 +y2 <1)2维样本点の=(x,J）+例掷一枚殷子，观察出现的点数.S={1,2,3,4,5,6)如何表示“点数大于4”这件事？用集合A=56表示“点数大于4”，则A是S的子集，这件事可能发生也可能不发生，称A是随机事件掷出5点或6点，就称A发生，否则称A不发生今后A=“点数大于4”={点数大于4)={5,6)cS;即随机事件可以用集合表示，也可用明白无误的语言描述用子集B=(5)cS表示“掷出5点”即B=“掷出5点”=点数为5={5)cS例在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命（小时）S=(t|1≥0|=(0|0≥0|=[0,+0)用子集C={tt≥500cS表示“灯泡寿命不少于500小时”即C=灯泡寿命不少于500小时=(tt≥500cS随机事件是样本空间的子集2.定义样本空间S的满足某些条件的子集称为随机事件，简称事件，用A，B，C等表示，①在一次试验中，事件A可能发生，也可能不发生事件A发生，当且仅当子集A中某个样本点出现.②①cS，由于①中没有样本点，永远不会发生，称①是不可能事件③S是S的子集，包含了所有样本点，总会发生，称S是必然事件④形如(5),由一个样本点组成的单点集,称为基本事件，所以样本空间也称基本事件空间.③当S只含有限个或可数无穷多个元素时，S的子集为随机事件二、事件间的关系和运算（板书画图演示）1.事件的包含：事件A出现，必然导致事件B的出现，称A包含于B，记作ACB。2.事件的相等：若BCA且ACB，则称A与B相等，记作A=B。3.事件的和(并)：事件A、B中至少有一个出现的事件，记作AUB

对随机现象的观察或试验, 称为随机试验, 简称试验. 1.试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间 \ 基本事件空间，用 S 或 Ω 表示. 试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示. 注 ①每次试验必然出现 1 个且只能出现 1 个样本点. ②样本空间是集合,并且是研究对象的全集;样本点是集合中的元素. ③样本点是今后抽样的最基本单元. ④我们是通过研究随机试验来研究随机现象的， 认识随机现象一般首先要列出样本空间. 例 （1）掷一枚 tóu 骰子，观察出现的点数. S 含有 有限个样本点 （2）记录某城市 120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数. 含有可数 /可列（无穷多）个样本点 （3）在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命（小时）. 不可数无穷多个样本点 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标（直角坐标系下）. 2 维样本点 例 掷一枚骰子，观察出现的点数. 如何表示“点数大于 4”这件事？ 用集合 表示“点数大于 4”，则 A 是 S 的子集， 这件事可能发生也可能不发生，称 A 是随机事件 掷出 5 点或 6 点，就称 A 发生，否则称 A 不发生. 今后 即随机事件可以用集合表示,也可用明白无误的语言描述. 用子集 表示“掷出 5 点” 即 例 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命（小时） 用子集 表示“灯泡寿命不少于 500 小时” 即 随机事件是样本空间的子集. 2.定义 样本空间 S 的满足某些条件的子集称为随机事件， 简称事件，用 A，B，C 等表示. ①在一次试验中，事件 A 可能发生，也可能不发生. 事件 A 发生，当且仅当子集 A 中某个样本点出现. ② S，由于 中没有样本点，永远不会发生，称 是不可能事件 ③ S 是 S 的子集，包含了所有样本点，总会发生，称 S 是必然事件 ④形如 ,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件. 所以样本空间也称基本 事件空间. ⑤当 S 只含有限个或可数无穷多个元素时,S 的子集为随机事件. 二、事件间的关系和运算（板书画图演示） 1.事件的包含：事件 A 出现，必然导致事件 B 的出现，称 A 包含于 B， 记作 A B。 2.事件的相等：若 B A 且 A B，则称 A 与 B 相等，记作 A = B。 3.事件的和(并)：事件 A、B 中至少有一个出现的事件，记作 A B。 S = = =   1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6    S =0,1,2,3,  S t t =  =  = +  0 0 0,      ) ( )  2 2 S x y x y = +  , 1  = ( x y, ) S =1,2,3,4,5,6 A = 5,6 A = “点数大于4” =点数大于4 5,6  =    S B S =  5 B S = = =  “掷出5点” 点数为5 5    S t t =  =  = +  0 0 0,      ) C t t S =    500 C t t S = =   灯泡寿命不少于500 500 小时      5   

4.事件的积（交）：事件A、B同时发生的事件，记作ANB或AB5.事件的差：事件A出现而事件B不出现的事件，记作A-B。6.互不相容事件：事件A与B不可能同时出现，称A和B互不相容。7.对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记为A。8.完备事件组：如果n个事件A,A2，,A,互不相容，并且它们的和是必然事件，则称A,A2，,A,构成一个完备事件组。三、随机事件的运算律1.交换律：AUB=BUA；ANB=BNA2.结合律: AU(BUC)=(AUB)UC; AN(BNC)=(ANB)NC练 (AB)(AB)= ABBA=AOA=)注结合律仅适用于“事件的并、交”，不能套用到“事件的差”上练讨论事件AUB-C与事件AU(B-C)是否相等3.分配律：AU(BNC)=(AUB)N(AUC) 或 AUBC=(AUB)(AUC);AN(BUC)=(ANB)U(ANC) 或 A(BUC)=ABUAC(UB, )-UABA(B,UB, U..)= AB, UAB, U...,4.德摩根律（对偶律）：AUB-ANB; AUAU..UA, -ANAN..NA.;ANB-AUB;ANAN...NA,-AUAU...UA.P5例2、例3P6例1、例2练用事件的运算律证明A-B=A-AB证 A-AB=A(AB)=A(AUB)=AAUAB=OUAB=AB=A-BP25-2设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件（3）（A,B,C中至少有一个发生)=AUBUC；（4）（A,B,C都发生)=ABC;（5）（A,B,C都不发生)=ABC=AUBUC（至少有一个发生的逆事件）；（7）（A,B,C中不多于两个发生)=ABC=AUBUC（至少有一个不发生）；（8）（A,B,C中至少有两个发生)=ABCUABCUABCUABC=ABUACUBC（AB,AC,BC中至少有一个发生）(8)证法1 (ABCUABC)U(ABCUABC)U(ABCUABC)=ABUACUBC.证法2 ABCU ABCU(ABCUABC)= ABCUABCUBC= ABCU[(ABUB)C=ABCU[(AUB)C)= ABCUACUBC=A(BCUC)UBC=A(BUC)UBC=ABUACUBC.课程思政元素：①（5）和（7）是运用对立事件”来求解问题。体现了马克思主义哲学中的对立统一规律（矛盾规律）。对立统一规律是唯物辩证法的根本规律，矛盾分析法（分析对立事件）是认识世界和改造世界的根本方法。②（5）和（7）两道题检验了事件运算律中的“德摩根律”，体现了实践是检验真理的唯一标准。③事件的表示方法不唯一，问题的证明和计算方法不唯一。这表明，解决实际问题的方法可能不同，但殊途同归，不分轩轻。P25-4（1）已知AB=AB，证明A=B证 A=AS=A(BUB)=ABUAB=ABUAB=(AUA)B=SB=B

4.事件的积（交）：事件 A、B 同时发生的事件，记作 A B 或 AB。 5.事件的差：事件 A 出现而事件 B 不出现的事件，记作 A–B。 6.互不相容事件：事件 A 与 B 不可能同时出现，称 A 和 B 互不相容。 7.对立事件：事件“A 不发生”称为 A 的对立事件，记为 。 8.完备事件组：如果 n 个事件 互不相容，并且它们的和是必然事件， 则称 构成一个完备事件组。 三、随机事件的运算律 1.交换律: ; . 2.结合律: ; 练 注 结合律仅适用于“事件的并、交”,不能套用到“事件的差”上. 练 讨论事件 与事件 是否相等. 3.分配律: 或 或 . 4.德摩根律（对偶律）: ; ; ; . P5 例 2、例 3 P6 例 1、例 2 练 用事件的运算律证明 证 P25-2 设 为三个事件, 用 的运算关系表示下列事件. （3） ; （4） ; （5） （至少有一个发生的逆事件）; （7） （至少有一个不发生）; （8） （ 中至少有一个发生） （8）证法 1 证法 2 . 课程思政元素：①（5）和（7）是运用“对立事件”来求解问题。体现了马克思主 义哲学中的对立统一规律（矛盾规律）。对立统一规律是唯物辩证法的根本规律， 矛盾分析法（分析对立事件）是认识世界和改造世界的根本方法。 ②（5）和（7）两道题检验了事件运算律中的“德摩根律”，体现了实践是检验真 理的唯一标准。 ③事件的表示方法不唯一，问题的证明和计算方法不唯一。这表明，解决实际问 题的方法可能不同，但殊途同归，不分轩轾。 P25-4（1） 已知 , 证明 证 A A A An , , , 1 2  A A An , , , 1 2  A B B A = A B B A = A B C A B C ( ) = ( ) A B C A B C ( ) = ( ) ( AB AB ABB A A A )( ) = =  = . A B C− A B C ( − ) A B C A B A C ( ) = ( ) ( ) A BC A B A C = ( )( ); A B C A B A C ( ) = ( ) ( ) A B C AB AC ( ) = A B B AB AB ( 1 2 1 2 ) = ; 1 1 i i i i A B AB   = =   =     A B A B = A A A A A A 1 2 1 2 n n = A B A B = A A A A A A 1 2 1 2 n n = A B A AB −=− . A AB A AB A A B AA AB AB AB A B − = = = =  = = − ( ) ( ) . A B C , , A B C , ,  A B C A B C , , 中至少有一个发生 = A B C ABC , , 都发生 =  A B C ABC A B C , , 都不发生 = =  A B C ABC A B C , , 中不多于两个发生 = =  A B C ABC ABC ABC ABC , , 中至少有两个发生 = = AB AC BC AB AC BC , , ( ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB AC BC ) ( ) ( ) = . ABC ABC ABC ABC ABC ABC BC ABC AB B C ( ) = =   ( )   = = = ABC A B C ABC AC BC A BC C BC   ( ) ( )   = = A B C BC AB AC BC ( ) AB AB = A B = . A AS A B B AB AB AB A = = = = = = = ( ) A B ( A B S B B )

81.3频率与概率一、频率A出现的次数称f,(A)=为事件A发生的频率在相同条件下进行了n次试验频率f,（A)越大，事件A在一次试验中发生的可能性就越大.大量试验证实，当试验次数增加时，频率具有稳定性逐渐稳定于某个常数（如抛硬币），这是一种统计规律性见P6-7的表.证明见P120-121伯努利大数定律在处理实际问题时，我们通常是用试验次数n足够大时的频率f,（A)来表示（“估计"）事件A的概率（确切地说，用试验次数n足够大时的频率f（A)作为A的概率的一个近似值），这样计算的概率称为统计概率例如，一个射手射击500次，中靶200次，我们就说他中靶的概率是2/5：新生的婴儿10000人中死亡4人就说婴儿的死亡率（死亡的概率）是万分之四统计概率具有理论上和应用上的缺点，因为我们没有理由认为，取试验次数为n+1来计算频率，总会比取试验次数为n来计算频率更准确、更逼近所求的概率，在实际应用上，我们不知道n取多大才行，如果n要很大，我们不一定能保证每次试验的条件都完全一样（如射手射击1000次，很难保证每次射击时的条件都完全一样）。另外有些破坏性试验不可大量进行，如核试验，常用统计概率对将要发生的事件（未来）进行预测.例如已发射卫星113次，111失败2次，问下一次发射成功的概率为=0.98113教学流程图上课讲解、证明实际问题概念、定义、定理、性质典型例题课后作业学生课堂练习教师答疑

§1.3 频率与概率 一、频率 称 为事件 发生的频率. 频率 越大, 事件 在一次试验中发生的可能性就越大. 大量试验证实, 当 试验次数增加时, 频率具有稳定性, 逐渐稳定于某个常数（如抛硬币）. 这是一 种统计规律性. 见 P6-7 的表. 证明见 P120-121 伯努利大数定律 在处理实际问题时, 我们通常是用试验次数 足够大时的频率 来表 示（“估计”）事件 的概率（确切地说, 用试验次数 足够大时的频率 作 为 的概率的一个近似值）, 这样计算的概率称为统计概率. 例如, 一个射手射击 次, 中靶 次, 我们就说他中靶的概率是 ; 新 生的婴儿 人中死亡 人就说婴儿的死亡率（死亡的概率）是万分之四. 统计概率具有理论上和应用上的缺点. 因为我们没有理由认为, 取试验次 数为 来计算频率, 总会比取试验次数为 来计算频率更准确、更逼近所求 的概率. 在实际应用上, 我们不知道 取多大才行, 如果 要很大, 我们不一定 能保证每次试验的条件都完全一样（如射手射击 次, 很难保证每次射击时 的条件都完全一样）. 另外有些破坏性试验不可大量进行, 如核试验. 常用统计概率对将要发生的事件（未来）进行预测.例如已发射卫星 113 次, 失败 2 次,问下一次发射成功的概率为 . 教学流程图 n ( ) A f A n = 出现的次数 在相同条件下进行了 次试验 A f A n ( ) A n f A n ( ) A n f A n ( ) A 500 200 25 10000 4 n +1 n n n 1000 111 0.98 113 =

《概率论与数理统计》教学设计学时课程名称概率论与数理统计（第2周）3《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握学情分析概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共54学时，18周，每周3学时。大学二年级学生，第2次上本课程。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的基本知识，并且已经学习了《概率论与数理统计》第1周的课程，有能力学习本周课程。1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在经济、金融和管理等领域的应用。2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。教学目标3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识间题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。课堂教学以学生为中心，从实际间题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程教学思想思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。教科书：《概率论与数理统计》（第5版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2019。参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第5版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社2020。②《概率论与数理统计教程》（第3版），苏诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育课程资源出版社2019。③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社2006。电子资源：《概率论与数理统计习题册》（第一章）pdf、教科书pdf、参考书pdf。网络资源：https：//www.icourse163.org/中国大学Mo0C平台“国家精品”课程。第2周：第一章概率论的基本概念第五节条件概率第三节频率与概率第四节等可能概型（古典概型）1.掌握概率的公理化定义、概率的基本性质；2.掌握等可能概型（古典概型）的计算公式、排列组合原理：教学内容3.能运用等可能概型（古典概型）的计算公式计算有关间题的概率；4.掌握条件概率的概念和计算方法；5.在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。教学重点：概率的公理化定义及其性质：等可能概型（古典概型）的计算公式和典型问题：教学重点与难点条件概率的定义和计算。教学难点：能利用概率的性质计算相关题目；等可能概型的计算、抽签原理。让学生讨论抽签是否公平，通过实例引出条件概率的概念和定义式，理论讲授、例题讲解、课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元教学方法与工具素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体投银幕。教学安排教学环节教师行为设计意图预设学生行为【口头叙述】【学生回忆】简要复习温故而知新。（5分钟）叙述上周课程主要知识点。回忆上周课程的重点和难点

《 概率论与数理统计 》教学设计 课程名称 概率论与数理统计（第 2 周） 学时 3 学情分析 《概率论与数理统计》是一门面向全校本科学生开设的大学数学基础课程，这门课的任务 是以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使学生在浓厚的兴趣中学习和掌握 概率论与数理统计的基本概念、方法和理论。本课程共 54 学时，18 周，每周 3 学时。 大学二年级学生，第 2 次上本课程。学生大一时已学过《高等数学》，普遍掌握了微积分的 基本知识，并且已经学习了《概率论与数理统计》第 1 周的课程，有能力学习本周课程。 教学目标 1.知识目标：掌握研究随机现象统计规律性的方法和工具，熟悉概率论与数理统计知识在 经济、金融和管理等领域的应用。 2.能力目标：对随机现象进行建模和统计决策，洞察和揭示数据背后的统计规律性。 3.素质目标：具有随机观念和统计思维，具有跨学科知识融合和创新意识，具有正确认识问 题、分析问题和解决问题的能力，具有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的 责任感和使命感。 教学思想 课堂教学以学生为中心，从实际问题出发，引导学生积极思考和相互讨论，激发学生学习主 动性，加强师生互动，让学生在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计知识。挖掘课程 思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。理论讲授、例题讲解、课堂练习 相结合，注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育，培养学生探索未知、追求真理、勇攀 科学高峰的责任感和使命感。 课程资源 教科书：《概率论与数理统计》（第 5 版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社 2019。 参考书：①《概率论与数理统计习题全解指南（浙大第 5 版）》，盛骤，谢式千，潘承毅编， 高等教育出版社 2020。 ②《概率论与数理统计教程》（第 3 版），茆诗松，程依明，濮晓龙编著，高等教育 出版社 2019。 ③《概率论与数理统计》，李博纳，赵新泉编著，高等教育出版社 2006。 电子资源：《概率论与数理统计习题册》(第一章)pdf、教科书 pdf、参考书 pdf。 网络资源：https://www.icourse163.org/ 中国大学 MOOC 平台“国家精品”课程。 教学内容 第 2 周：第一章 概率论的基本概念 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型（古典概型） 第五节 条件概率 1.掌握概率的公理化定义、概率的基本性质； 2.掌握等可能概型（古典概型）的计算公式、排列组合原理； 3.能运用等可能概型（古典概型）的计算公式计算有关问题的概率； 4.掌握条件概率的概念和计算方法； 5.在课程教学中把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生 正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。 教学重点与难点 教学重点：概率的公理化定义及其性质；等可能概型（古典概型）的计算公式和典型问题； 条件概率的定义和计算。 教学难点：能利用概率的性质计算相关题目；等可能概型的计算、抽签原理。 教学方法与工具 让学生讨论抽签是否公平，通过实例引出条件概率的概念和定义式，理论讲授、例题讲解、 课堂练习相结合。选择问题导向型教学法、讨论法、讲授法、练习法，并挖掘课程思政元 素，有机融入课程教学，以润物细无声的形式作用于学生。使用黑板写板书，并使用多媒体 投银幕。 教 学 安 排 教学环节 教师行为 预设学生行为 设计意图 简要复习 （5 分钟） 【口头叙述】 叙述上周课程主要知识点。 【学生回忆】 回忆上周课程的重点和难点。 温故而知新

【口头讲授】【小组讨论】实际间题导入激发学生兴趣，唤起学生叙述实际问题，引出本周课课堂与同学一起讨论生活中有趣（10分钟）求知欲望。程的主要知识点。的随机现象。【写板书】注重科学思维方法的训【记笔记】板书理论讲授和例题讲解相结练，培养探索未知、追求真认真听讲，记纸质笔记或电子笔（80分钟）理、勇攀科学高峰的责任合，恰当处理逻辑严谨性与记。生动直觉的关系感和使命感。通过课堂练习检验学生课【出题】【思考与解答】课堂练习堂学习效果，使学生具备布置练习题，预留时间让学思考练习题并给出解答，认真聆（30分钟）运用知识分析和解决问题生做，然后给出详细解答。听教师讲解正确答案并反思。的能力。【总结和布置作业】多做习题是打好数学基础教学巩固对本次课主要知识点进行【记录作业】的必由之路。编发高质量（10分钟）梳理总结，使学生掌握教学认真聆听，记录作业题目。习题册，让学生对知识的掌握更牢固。重点和难点，并布置作业。深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提教学评价问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见，不断改进教学方法，提高教学效果。预习任务预习乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等。课后作业《概率论与数理统计习题册》（第一章）3#一15#S1.3频率与概率二、概率的概念1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）首次提出了概率的公理化定义，这是概率论发展史上的一个里程碑，概率论从此确立了它作为一门严格的数学分支的地位.有了这个公理化定义后，概率论得到了迅速发展，课程思政元素：介绍前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的生平和业绩，对概率论的卓越贡献，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。定义设S为样本空间，对于S中的每一个随机事件A，有一个实数P(A)与之板书设计对应，如果实值集函数P(A)满足公理1（非负性）对每个事件A，有P(A)≥0：公理2（规范性）P(S)=1:公理3（可列/完全可加性）对于任意可列无穷多个两两互不相容的事件(U4 |-ZP(4);A,A.A..,即AA,=O,i+j,i,j=1,2,.,有P则称P(A)为事件A的概率三、概率的基本性质性质1. P(@)=0

实际问题导入 （10 分钟） 【口头讲授】 叙述实际问题，引出本周课 程的主要知识点。 【小组讨论】 课堂与同学一起讨论生活中有趣 的随机现象。 激发学生兴趣，唤起学生 求知欲望。 板书 （80 分钟） 【写板书】 理论讲授和例题讲解相结 合，恰当处理逻辑严谨性与 生动直觉的关系 【记笔记】 认真听讲，记纸质笔记或电子笔 记。 注重科学思维方法的训 练，培养探索未知、追求真 理、勇攀科学高峰的责任 感和使命感。 课堂练习 （30 分钟） 【出题】 布置练习题，预留时间让学 生做，然后给出详细解答。 【思考与解答】 思考练习题并给出解答，认真聆 听教师讲解正确答案并反思。 通过课堂练习检验学生课 堂学习效果，使学生具备 运用知识分析和解决问题 的能力。 教学巩固 （10 分钟） 【总结和布置作业】 对本次课主要知识点进行 梳理总结，使学生掌握教学 重点和难点，并布置作业。 【记录作业】 认真聆听，记录作业题目。 多做习题是打好数学基础 的必由之路。编发高质量 习题册，让学生对知识的 掌握更牢固。 教学评价 深入挖掘课程思政元素，有机融入课程教学，达到润物无声的育人效果。通过课堂观察、提 问、练习等方式对学生学习效果进行评价，及时调整语速和课程进度。收集学生反馈意见， 不断改进教学方法，提高教学效果。 预习任务 预习乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等。 课后作业 《概率论与数理统计习题册》(第一章)3#—15# 板书设计 §1.3 频率与概率 二、概率的概念 1933 年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）首次提出了概率的公理 化定义, 这是概率论发展史上的一个里程碑. 概率论从此确立了它作为一门严 格的数学分支的地位. 有了这个公理化定义后, 概率论得到了迅速发展. 课程思政元素：介绍前苏联数学家柯尔莫哥洛夫的生平和业绩，对概率论的卓越 贡献，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当。 定义 设 为样本空间, 对于 中的每一个随机事件 , 有一个实数 与之 对应, 如果实值集函数 满足 公理 1（非负性） 对每个事件 , 有 ; 公理 2（规范性） ; 公理 3（可列/完全可加性） 对于任意可列无穷多个两两互不相容的事件 即 有 则称 为事件 的概率. 三、概率的基本性质 性质 1. S S A P A( ) P A( ) A P A( )  0 P S( ) =1 1 2 , , , , , A A A n , , , 1, 2, , A A i j i j i j =   = ( ) 1 1 ; i i i i P A P A   = =   =      P A( ) A P( =) 0

证 因=UQU.., 由公理 3, P()=P(),又 P()≥0,故 P()=0.性质2.（有限可加性）设事件A，A，，A,两两互不相容，则 P(U4 -ZP(4)证在公理3中，令A+=A==①，则P(U4)=P(U4)-ZP(4)=2P(4)+2 P(0)=P(4)特别地，若 AB=O,则P(AUB)=P(A)+P(B)性质 3. P(A)=1-P(A)证 1=P(S)=P(AUA)=P(A)+P(A)图设P(4)=, P(B)=232(1) 当 P(AB)=时, P(AB)=P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=号8（2）当A与B互不相容时，P(AB)=（3）当AcB时，P(AB)=设A,B是两个事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P(AB)=解P(A-B)=P(A)-P(AB),得 P(AB)=0.4, 故P(AB)=1-P(AB)=0.6.性质4. （单调性）若BA,则P(B)≤P(A)可以想象，当B发生必然导致A发生时，说明A比B更容易发生，那么B的概率不应该比A的概率大.证 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(B)≥0.例如 P(ABC)≤P(AB)≤ P(A); P(A,UA, U4, UA)≥P(A),P36 例 4性质 5. 对每个事件A, 有0≤P(A)≤1. 证因AcS,故0≤P(A)≤P(S)=1.性质6.（加法公式）P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)（一般加法公式）-ZP(4)- Z P(AA,)+ Z P(AA,A)-.+(-1)" P(A,A ..A.)IJA.i=l81.4等可能概型（古典概型）一、古典概型等可能概型满足1.有限性：试验的所有基本事件总数有限；2.等可能性：每次试验中各个基本事件出现的可能性都相同，这一类试验模型称为等可能概型。等可能概型计算公式P(A)="_A中包含的基本事件数nS中的基本事件的总数二、基本计数原理1.加法原理；2.乘法原理；3.排列；4.组合练考察有两个小孩的家庭，其样本空间为S=（男男,男女，女男,女女).则P{家中一个男孩，一个女孩}P[家中大的是男孩,小的是女孩}=4P10例1、例2，P11例3

证 因 由公理 3, 又 故 性质 2.（有限可加性）设事件 两两互不相容, 则 证 在公理 3 中, 令 则 特别地, 若 则 性质 3. 证 练 设 （1）当 时, （2）当 与 互不相容时, （3）当 时, 练 设 是两个事件, 且 , 则 . 解 得 故 . 性质 4.（单调性） 若 则 可以想象, 当 发生必然导致 发生时, 说明 比 更容易发生, 那么 的概率 不应该比 的概率大. 证 例如 P36 例 4 性质 5. 对每个事件 有 证 因 故 性质 6.（加法公式） （一般加法公式） §1.4 等可能概型（古典概型） 一、古典概型 等可能概型满足 1.有限性：试验的所有基本事件总数有限；2.等可能性：每次 试验中各个基本事件出现的可能性都相同，这一类试验模型称为等可能概型。 等可能概型计算公式 二、基本计数原理 1.加法原理；2. 乘法原理；3.排列；4.组合 练 考察有两个小孩的家庭, 其样本空间为 . 则 P10 例 1、例 2， P11 例 3  =   , ( ) ( ) 1 , i P P  =  =   P( ) 0, P( =) 0. 1 2 , , , A A A n ( ) 1 1 . n n i i i i P A P A = =   =      1 2 , A A n n + + = = =  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 . n n n i i i i i i i i i i n i P A P A P A P A P P A    = = = = = + =     = = = +  =             AB =, P A B P A P B ( ) = + ( ) ( ). P A P A ( ) = −1 . ( ) 1 . = = = + P S P A A P A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , . 3 2 P A P B = = ( ) 1 8 P AB = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . 8 P AB P B A P B A P B P AB = = − = − = A B ( ) 1 . 2 P AB = A B  ( ) 1 . 6 P AB = A, B P A P A B ( ) = − = 0.7, 0.3 ( ) P AB ( ) = P A B P A P AB ( − = − ) ( ) ( ), P AB ( ) = 0.4, P AB P AB ( ) = − = 1 0.6 ( ) B A  , P B P A ( )  ( ). B A A B B A P A B P A P AB P A P B ( − = − = −  ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. P ABC P AB P A ( )   ( ) ( ); P A A A A P A ( 1 2 3 4 1 )  ( ). A, 0 1.   P A( ) A S  , 0 1.   = P A P S ( ) ( ) P A B P A P B P AB ( ) = + − ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 1 . n n n i i i j i j k n i i i j n i j k n P A P A P A A P A A A P A A A − = =          = − + − + −        A ( ) S m P A n = = 中包含的基本事件数 中的基本事件的总数 S =男男, , , 男女 女男 女女   2 , ; 4 P 家中一个男孩 一个女孩 =   1 , . 4 P 家中大的是男孩 小的是女孩 =

P12-例5抽签原理袋中有a个白球，b个黑球，现不放回地从袋中一次一次地取1个球α-At-b- =-aP(第i次取到的是白球)=9i=l,2,.,a+b;Aaba+b"一个盒中有4个黄球，5个白球，按下列取球方式：（1）有放回地从袋中取三次，每次取1个球（2）不放回地从袋中取三次，每次取1个球（3）从袋中一次同时任取3个球某班有学生50人，一教师对该班学生并不了解，但是却敢于预测说这个班至少有两个人的生日相同，问该教师的依据何在？A365P[50人中至少有两人生日相同)=11-0.03=0.9736550人们在长期的实践中总结得到：概率很小的事件（小概率事件）在一次试验中实际上几乎是不发生的，谓之实际推断原理（小概率原理），因为50个人生日全不相同概率仅为0.03，随机选取一个50人的班，几乎不会发生课程思政元素：介绍小概率原理时，引入“黑天鹅”事件，增强学生的忧患意识，激发爱国主义情怀。忧患意识是中华民族精神的重要品质，是防范化解各种风险的思维方式，越是取得成绩的时候，越要有如履薄冰的谨慎，越要有居安思危的忧患。今年以来的新冠疫情防控，也再次证明了忧患意识的重要性。练一种福利彩票称为幸运35选7，其规则为购买时从数字1，2，…，35中任意选取7个号码，在开奖时这35个数字中不重复的选出一个特殊号码和7个基本号码，其中7个基本号码全中时可中一等奖。求中一等奖的概率。解用古典概率的方法计算，可得中一等奖的概率为0.149×10-°，即两千万个人中约有3人中一等奖。课程思政元素：告诉学生买彩票要有一颗平常心，不能寄予太高期望。$1.5条件概率一、条件概率的概念P(AB)为在事件A发生定义对于两个事件A与B,如果P(A)>0，称P(BIA)=PP(A)的条件下，事件发生B的条件概率。注条件概率的性质与概率的性质类似，满足概率的公理和基本性质。,P(C)=练设A,B,C是三个事件，A与C互不相容,P(AB)==323则P(A4P14例1、P15例2

P12-例 5 抽签原理 袋中有 a 个白球, b 个黑球, 现不放回地从袋中一次一次地取 1 个球. 练 一个盒中有 4 个黄球, 5 个白球. 按下列取球方式: （1）有放回地从袋中取三次, 每次取 1 个球; （2）不放回地从袋中取三次, 每次取 1 个球; （3）从袋中一次同时任取 3 个球. 练 某班有学生 人, 一教师对该班学生并不了解, 但是却敢于预测说这个班至 少有两个人的生日相同, 问该教师的依据何在？ . 人们在长期的实践中总结得到: 概率很小的事件（小概率事件）在一次试验中实 际上几乎是不发生的, 谓之实际推断原理（小概率原理）. 因为 个人生日全不 相同概率仅为 , 随机选取一个 人的班, 几乎不会发生. 课程思政元素：介绍小概率原理时，引入“黑天鹅”事件，增强学生的忧患意识， 激发爱国主义情怀。忧患意识是中华民族精神的重要品质，是防范化解各种风险 的思维方式，越是取得成绩的时候，越要有如履薄冰的谨慎，越要有居安思危的 忧患。今年以来的新冠疫情防控，也再次证明了忧患意识的重要性。 练 一种福利彩票称为幸运 35 选 7，其规则为购买时从数字 1，2，.，35 中任意选取 7 个号码，在开奖时这 35 个数字中不重复的选出一个特殊号码和 7 个基本号码，其中 7 个基本号码全中时可中一等奖。求中一等奖的概率。 解 用古典概率的方法计算，可得中一等奖的概率为 ，即两千万个 人中约有 3 人中一等奖。 课程思政元素：告诉学生买彩票要有一颗平常心，不能寄予太高期望。 §1.5 条件概率 一、条件概率的概念 定义 对于两个事件 A 与 B, 如果 P(A)>0，称 为在事件 A 发生 的条件下，事件发生 B 的条件概率。 注 条件概率的性质与概率的性质类似，满足概率的公理和基本性质。 练 设 是三个事件, 与 互不相容, 则 P14 例 1、P15 例 2   1 1 , 1, 2, , ; a b a b i i a A a P i i a b A a b − + − +  = = = + + 第 次取到的是白球 50   50 365 50 50 1 1 0.03 0.97 365 A P 人中至少有两人生日相同 = − = − = 50 0.03 50 6 0.149 10−  ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = A B C , , A C ( ) ( ) 1 1 , , 2 3 P AB P C = = P AB C ( ) = 3 4