陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.3 初等函数

陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMAIUNIVEF第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂αb与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考

第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANINORMAL指数函数1.指数函数的定义：当函数f(z)在复平面内满足以下三个条件：(1) f(z)在复平面内处处解析:(2) f(z) = f(z);(3)当Im(z)= 0时, f(z)=e',其中x = Re(z)此函数称为复变数z的指数函数，记为expz=e'(cosy+isiny)

一、指数函数 1.指数函数的定义: 当函数 f (z) 在复平面内满足以下三个条件 : (1) f (z)在复平面内处处解析; (2) f (z)  f (z); (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当  时  其中  exp (cos sin ) , z e y i y z x   此函数称为复变数 的指数函数 记为

陕品师聚大學陈数学与信息科学学院SHAANX指数函数的定义等价于关系式：I expz [=e*,(其中k为任何整数)Arg(expz)= y +2kπ,指数函数expz可以用e来表示。e"=e"(cos y+isin y)注意e没有幂的意义，只是代替expz的符号注：(1)f(z)=e的定义域为C;(2)f(z)=e'的值域C\(0};(3) (e)= e

指数函数的定义等价于关系式: ( ) Arg(exp ) 2 , | exp | , 其中k为任何整数 z y k z e x        指数函数 exp 可以用 来表示. z z e e e (cos y isin y) z x   注意 e 没有幂的意义,只是代替 expz的符号. z ( ) . ( ) : ( ) z z z z e e f z e f z e     (3) (2) C \{0}; (1) C; 的值域 注 的定义域为

陕品师乾大学陈数学与信息科学学院HOANXIN2.加法定理expz1 :expz2 = exp(zi + z2)证 设 z=xi+iyi, zz =X,+iy2,左端=expz·expz2= e*(cos y +isin yr).e*2(cos y2 +isin y2)= e*++2[(cos yi cos y2 - sin yi sin y2)]+ i[(sin yi cos y2 + cos yi sin y2)]=e*i+x2[cos(yi + y2)+ isin(yi + y2)]=exp(z+z2)=右端

2. 加法定理 exp exp exp( ) 1 2 1 2 z  z  z  z 证 , , 1 1 1 2 2 2 设 z  x  iy z  x  iy 1 2 左端  expz  expz (cos sin ) (cos sin ) 1 1 2 2 1 2 e y i y e y i y x x     [(sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i y y y y e y y y y x x      [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 e y y i y y x x      exp( ) .  z1  z2  右端

陕西师聚大学乐数学与信息科学学院HAANXIN根据加法定理,可以推出 expz的周期性expz的周期是2k元i，即 ez+2kni =e".e2kri=e．(其中k为任何整数)该性质是实变指数函数e*所没有的。例1 设 z=x+iy,求(1) lei-22; (2)e"; (3)Re(e-);解因为e"=e*+i =e*(cosy+isin y)所以其模e"=e，实部Re(e"）=e*cosy

根据加法定理,可以推出 expz的周期性, expz的周期是2ki, . z 2k i z 2k i z e  e  e  e 即    (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 所没有的. x e 例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e  设   求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x    因为  e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模  实部 

陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMA1N(1) ei-2z = ei-2(x+iy)-2x+i(1-2 y)Ox(x+iy)ez=z(3)e" = ex+yiRe(e")COS

i z e 2 (1)  i 2( x iy ) e    , 2 x i(1 2 y ) e     ; i 2z 2 x e e    2 (2) z e 2 ( x iy ) e   , 2 2 2 x y xyi e    ; 2 2 2 z x y e e    z e 1 (3) x yi e  1 , 2 2 2 2 x y y i x y x e      Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z   

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院T例2 求出下列复数的辐角主值：(1)e2+i; (2)e2-3'; (3)e3+4i; (4)e-3-4i; (5)eiα -eiB(0≤β<α≤2元)解 因为e"=e*+iv =e*(cos y+isin y)的辐角Arge"=y+2k元(k为整数)其辐角主值arge为区间(-元，元内的一个辐角arge?+i = 1;(1) Arge2+i =1+2k元,(2) Arge2-3i = -3 + 2kπ, arge2-3i = -3;

例2 解 求出下列复数的辐角主值: (0 2π). (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 2 2 3 3 4 3 4            i i i i i i e e e e e e 因为e z  e xiy  e x (cos y  isin y)的辐角 Arge y 2k (k为整数) z    其辐角主值 arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2     e k i arg 1; 2  i e (2) Arg 3 2 , 2 3      e k i arg 3; 2 3    i e

陕品师大学陈数学与信息科学学院HOANXINORMAINUE(3)e3+4i,4i =4+ 2kn, arge3+4i =4-2元;23Arge(4)e-3-4i.Arge-3-4i = -4+2kπ, arge-3-4i = -4+ 2元;(5)eiα -eiβ = cosα +isinα-(cos β+isin β)=(cosα -cos β)+i(sinα -sin β)α-βα+βα+βα-β+2icos=-2sinsinsin2222α-βα+βα+β2sin-sinCOS222C

Arg 4 2 , 3 4     e k i arg 4 2 ; 3 4     i e Arg 4 2 , 3 4       e k i arg 4 2 ; 3 4       i e i i (5)e  e (3) ; 3 4i e  (4) ; 3 4i e    cos  isin  (cos   isin  )  (cos  cos  )  i(sin  sin  ) 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2sin                i             2 cos 2 sin 2 2sin       i

陕品师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINα-βπ+α+βπ+α+β=2sincos1S222α-β因为 0≤βπ时,arg(eiα-ei)=2元2

             2 π sin 2 π cos 2 2sin       i 因为 0     2π, 0, 2 sin     上式就是复数 的三角表示式. i i e  e Arg( ) i i 所以 e  e 2 π, 2 π  k      当    π时, arg( ) i i e  e , 2 π     当    π时, arg( ) i i e  e 2π. 2 π      

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXNORMAIUNIVEE例3 求函数 ,f(z)=e5 的周期解e"的周期是2kπi,z+10k元iZ3+2ki5f(z)=e5 =e5=e= f(z+10k元i)Z.故函数f(z）=e5的周期是10k元i

例3 求函数 ( ) 5 的周期. z f z e 解 e 2k i, z 的周期是  5 ( ) z f z e k i z e    2 5 5 z 10k i e    故函数 f (z) e 5 的周期是 10k i. z    f (z  10ki)