浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 §3.1 复积分的概念

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第三章复变函数的积分8 3.1 复积分的概念结运回、束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 1 第三章 复变函数的积分 §3.1 复积分的概念

第三章复变函数的积分第三章复变函数的积分本章主要内容：1.复积分的概念及基本计算方法2、柯西-古萨积分定理3.复合闭路定理4.柯西积分公式与高阶导数公式结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 2 2 1、 复积分的概念及基本计算方法 2、 柯西-古萨积分定理 3、 复合闭路定理 4、 柯西积分公式与高阶导数公式 第三章 复变函数的积分 本章主要内容：

第三章复变函数的积分81复变函数积分的概念1、有向曲线x = x(t)设(α≤t≤β)y= y(t)x'(t) y'(t)在[α,β]上连续, 且[x'(t)} +Ly'(t)}2 ± 0C: z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β)z'(t)连续,且z'(t)≠ 0C一一z平面上的一条光滑曲线今后所说的曲线总是指光滑或逐段光特别申明滑曲线，特别说明的例外。结回-束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 3 3 1、有向曲线 、 在 上连续 且 ， 设 '( ) '( ) [ , ] , [ '( )] [ '( )] 0 ( ) ( ) ( ) : 2 2 +       = = x t y t x t y t t y y t x x t C     C : z(t) = x(t) + i y(t) (  t   ) z'(t)连续,且z'(t)  0. C − −z平面上的一条光滑曲线. §1 复变函数积分的概念 特别申明 今后所说的曲线总是指光滑或逐段光 滑曲线,特别说明的例外

第三章复变函数的积分曲线方向的说明一般：曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C闭曲线正向的定义：闭曲线：正方向一一观察者顺此方向沿C前进一周.C的内部直在观祭者的左边0与之相反的方向就是曲线的负方向。对周线而言，逆时针方向为正方向,顺时针方向为负方向结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 4 4 闭曲线正向的定义: x y o P P P P 与之相反的方向就是曲线的负方向. 曲线方向的说明: 一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向. 那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C - 对周线而言,逆时针方向为正方 向,顺时针方向为负方向 : C C, 闭曲线 正方向− −观察者顺 此方向沿 前进一周 的内部 一直在观察者的左边。 C

第三章复变函数的积分2、 积分的定义V设w= f(z)在C上有定义C为从点A一点BB的一条光滑有向曲线Z.k-Az(1）分割将AB任意分划成n个.0小弧段: A= Zo,Z,,zn= BX(2)取近似作乘积f(Sk)△zkVSk EZk-iZk(3)作和式S, =f(S)△zk求和k=1结回DO束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 55 2、 积分的定义 A z z z B AB n 小弧段: = 0 , 1 ,, n = 将 任意分划成 个 ⌒ k k k k k z z f ( )z  1 作乘积  ⌒   − 1 ( ) n n k k k S f z  = 作和式 =   设w = f (z)在C上有定义. 的一条光滑有向曲线. C为从点A → 点B A B x y o 1  1 z k−1 z  k k z n−1 z k z （1）分割 （2）取近似 （3）求和

第三章复变函数的积分△z = zzk-1,记AS,为zk-iz的长度, =max[△S,]1≤k≤n（4）取极限若Zf(S)Az存在,lim8>0k=1n-0无论如何分割C,S,如何取则称f(z)在C上可积，上述极限值 I为f(z)沿曲线C从A→B的积分,记作f(z)dz.nZf(5r)Azk.i.e.,fc f(z)dz = limS-→>0k=1被积函数积分路径结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 6 6 0 1 0 lim ( ) n k k k n f z   → → = 若   存在， , C k 无论如何分割  如何取 . ., ( ) lim ( ) . 1  0 = → = n k k k C i e f z dz f  z  , ( ) . ( ) ( ) →  C C A B f z dz f z C I f z 从 的积分 记作 则称 在 上可积，上述极限值 为 沿曲线 积分路径 被积函数 1 1 1 , , max{ } k k k k k k k k n z z z S z z S  − −    = −  =  ⌒ 记 为 的长度 （4）取极限

第三章复变函数的积分注记作Φ f(z)dz;(1)若C是闭曲线，eb(2)如果(f(z)dz存在,一般不能写成)f(z)dz:(3）用[-f(z)dz表示f(z)沿着曲线C的负向的积分(4) C : t e [a,bl, f(z) = u(t), 则 [c f(z)dz = " u(t)dt.---一元函数定积分的定义结运回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 7 7 (1) ( ) C f z dz 若  C是闭曲线， 记作 ；   b C a (2)如 果 f (z)dz存 在,一般不能写成 f (z)dz; (4) : [ , ], ( ) ( ), ( ) ( ) .    = = b C a C t a b f z u t 则 f z dz u t dt -一元函数定积分的定义. (3) ( )d ( ) C f z z f z 用 − 表示 沿着曲线C的负向的积分 注

第三章复变函数的积分3、积分存在的条件1.必要条件( f(z)dz 存在仁f(z) 沿C有界。如果积分2.充分条件将各函数代数化设 =X+iykzk = Zk-Zk-1 = X +iyk-(Xk-1 +iyk-1)=(xh -Xk-1)+i(yk - yk-1) = Axk +iykSh = Sk +ink,f(S) =u(,n)+iv(k,) uk +iv结00回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 8 8 3、积分存在的条件 1. 必要条件 ( )d ( ) . C 如果 积分  f z z f z C 存在 沿 有界 2. 充分条件 , k k k    = + i 1 1 1 ( ) k k k k k k k z z z x iy x iy  = − = + − + − − − ( ) ( ) = k − k−1 + k − k−1 x x i y y , k k = x + iy 将各函数代数化 , k k k 设 z x iy = + ( ) ( , ) ( , ) k k k k k k k f u iv u iv      = + +

第三章复变函数的积分S, =Zf(S)AzkE[u(5k,nk)+ iv(5k,nk)(Axh + iAyk)k=1E[u(5k,nk)Ax, -v(5e,nk)Aye]S.=k=1E[v(5,n)Ax, + u(5k,nk)Ay]k=1因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x,y),v(x,J)均在C上连续即可，且极限分别为udx -vdyvdx + udy结回束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 9 9 1 ( ) n n k k k S f z  = =   = = +  +  n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( ) 1 1 [ ( , ) ( [ ( , ) ( , ) ] , ) ] n n k k k k k n k k k k k k k k k v u x x u y S v i y         = =  = +  +    −   因此积分存在的条件问题，归为寻求右端两个式子极 限存在的条件问题，由分析可知，这只需u(x, y), v(x, y)均在C上连续即可，且极限分别为  − C udx vdy  + C vdx udy

第三章复变函数的积分定理3.1 如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线 C连续,则f(z)沿C可积,且[cf(z)d = J,udx-vdy +ilvdx +udy记忆这是实的第二型曲线积分f(z)=u+iv与dz=dx +idy相乘后求积分得到:f(z)dz = J.(u + iv)(dx + idy) = udx+ivdx+iudy-vdyI udx - vdy + if vdx + udy.结回D束

结 束 返回 第三章 复变函数的积分 10 10 定理 如果 沿曲线 连续,则 沿 可积 且 3.1 ( ) ( , ) ( , ) ( ) , . f z u x y iv x y C f z C = + ( ) C C C f z dz udx vdy i vdx udy = − + +    f (z) = u + iv 与dz = dx + idy 相乘后求积分得到: C f (z)dz  = + + C (u iv)(dx idy)  = + + − C udx ivdx iudy vdy d d d d .   = − + + C C u x v y i v x u y 记忆 这是实的第二型曲线积分