陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.5 柯西积分公式

陕西师聚大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERS第五节柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考

第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考

陕西师報大學陈数学与信息科学学院SHAANXINOOMA问题的提出设B为一单连通域，z为B中一点。f(z)在 z.不解析.如果f(z)在B内解析,那末Z - Zo所以(2)dz一般不为零，JCz. - ZoC为B内围绕z的闭曲线根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线C的变化而改变，求这个值

一、问题的提出 , . 设 B 为一单连通域 z0 为 B中一点 d , ( ) 0 C  z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B  根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线

陕品师報大學陈数学与信息科学学院HANXN积分曲线C取作以z.为中心,半径为很小的的正向圆周-zo=S,由f(z)的连续性,在C上函数 f(z)的值将随着 S的缩小而逐渐接近于它在圆心 Z处的值f(z)f(z)dz. (8 缩小)dz将接近于61OZ-ZoZ-Zo(20) z= f(z0)fe 2-zo)dz2元if(z0）7.-Z0

, , 0 0   z  z  C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z  d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0  将接近于   缩小 C  C  z z z f z z z z f z C  z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C     

陕品师聚大學乐数学与信息科学学院SHAANXINORMAL柯西积分公式定理如果函数 f(z)在区域 D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，Z为C内任一点，那末f(z)f(zo) =dz2元 iJc z - ZoD证因为f(z)在z连续.f则V>0,S()>0

二、柯西积分公式 定理    C z z z f z i f z D z C f z D C D d . ( ) 2π 1 ( ) , , , ( ) , 0 0 于 0 为 内任一点 那末 内的任何一条正向简单 闭曲线 它的内部完全含 如果函数 在区域 内处处解析 为 z0  D 证 因为 f (z)在 z0 连续, C 则   0,  ( )  0

陕西师報大學陈数学与信息科学学院HAN当z-zl<时, f(z)- f(zo)<ε.设以z为中心,半径为R(R<)的正向圆周K:z-zo= R全在C的内部.1(2) dz=f 1(2)则dzYz- Zoz - Zof(z)- f(zo)f(z0) dz + fk=kdz.- ZoZ-ZoRD= 2nif(20)+ f, (2)- I(20)dzZ-Zo

z0  D C K , 当 z  z0   时 ( ) ( ) . 0 f z  f z   , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K     R C  z z z f z d ( ) 0 则    K z z z f z d ( ) 0        K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0       K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0

陕西师報大學陈数学与信息科学学院SHAANI12-2f-dsKz - Zoz - zo8ds = 2元 8.RJK上不等式表明，只要R足够小，左端积分的模就可以任意小根据闭路变形原理知，左端积分的值与R无关所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能[证毕]f(z)柯西积分公式f(zo)dz柯西介绍2元iJc z-Zo

    K s z z f z f z d ( ) ( ) 0 0 d 2π  .    K s R 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕]     C z z z f z i f z d ( ) 2 1 ( ) 0 0 柯西积分公式 柯西介绍    K z z z f z f z d ( ) ( ) 0 0

陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMA关于柯西积分公式的说明：(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式。（这是研究解析函数的有力工具）(3）一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。如果C是圆周z=zo+R·eiJe"f(zo +R.eio)de.2元！f(zo) =

关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 的平均值. , 0 i 如果 C 是圆周 z  z  R e ( )d . 2π 1 ( ) 2π 0 0  0     i f z f z R e

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXE三、典型例题例1求下列积分sinzdz;(2)dz.Z2元1+=4sinz解dz.(12元z=4因为f(z)=sinz在复平面内解析z=0位于z<4内

三、典型例题 例1 解               4 4 d . 3 2 1 1 d ; (2) sin 2 1 (1) z z z z z z z z i 求下列积分    4 d sin 2 1 (1) z z z z i 因为 f (z)  sin z 在复平面内解析, z  0 位于 z  4内

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N由柯西积分公式1sinV2元i.sin zdz.7-0 = 0;.2元i2元i722)dz.+17.=42dz +dz=2元i.1+2元i.217-31z-47+1=6元i

           4 d . 3 2 1 1 (2) z z z z         4 4 d 3 2 d 1 1 z z z z z z  2i 1  2i  2  6i.    4 d sin 2 1 z z z z i  0; 由柯西积分公式 0 2 sin 2 1       z i z i

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMALUNIVER:e例2计算积分dz.[z/=2 Z - 1解因为 f(z)=e"在复平面内解析,z=1位于z<2内，由柯西积分公式dz=2元i.ez=2e元i.-7=12-2-

例2    2 d . 1 z z z z e 计算积分 解 因为 ( ) 在复平面内解析, z f z  e z  1位于 z  2内, 由柯西积分公式 1 2 d 2 1        z z z z z i e z e  2ei