浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的幂级数表示 §4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第四章解析函数的级数表示结运回束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第四章 解析函数的级 数表示

第2页第四童解析函数的级数表示第四章角解析函数的幂级数表示4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第2页 2 4.1 复 数 项 级 数 第四章 解析函数的幂级数表示 4.2 复 变 函 数 项级 数 4.3 泰 勒 级 数 4.4 洛 朗 级 数

第3页第四童解析函数的级数表示84.1复数项级数复数列的极限复数数列一列无穷多个有序的复数a =a +ibi,α, =a, +ib,,..,αn =an +ibn9.称为一个复数数列，简称为复数列，记为{α,}结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第3页 3 1、 复数列的极限 §4.1 复 数 项 级 数 1 1 1 2 2 2 , ,., ,. n n n    = + = + = + a ib a ib a ib 复数数列 一列无穷多个有序的复数 { }. 称为一个复数数列，简称为复数列，记为 n

第4页第四童解析函数的级数表示设{α,(n=1,2,)为一复数列其中定义4.1α,=an+ibn,α=a+i为一复常数若V>0,3N>0,当 n> N,恒有α,-α<8,那么α称为复数列α,当n→时的极限，记作或 α,→α,(n→o),limα, =α,n-8o此时，也称复数列α.收敛于α.不收敛的数列称为发散数列结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第4页 4 定义4.1 , { }( 1,2, ) , n n n n a i b n + = ＝ 设 为一复数列其 中    若     −      0 0 , , , N n N 当 恒有 n ， 记作  = a + ib为一复常数. 不收敛的数列称为发散数列. 那么  称为复数列{ }n 当n → 时的极限， 此时，也称复数列{ } .   n 收敛于 lim ( ) n n , , 或 ， n     n →  = → → 

第5页第四童解析函数的级数表示例1求 lim2n>02l+i+分析：因为 1,所以lim:0.222n→0Vε>0,3N>0,当n>N2于是0.2n-定理4.1limb, = b.limα, =α lima, =a,n→0n→8￥8n-结回H束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第5页 5 例 求 1 lim 2 1 . n n i →    +     0, 2 1 1, lim 2 2 2 1 = + =  + → n n i i 分析：因为 所 以0. 2 1 lim  =      + → n n i 于 是 4.1 lim lim , lim . n n n n n n   a a b b → → → 定理 =  = = 当 1 1 0, 0, , ( ) 0 2 2 n n i i   N n N + +      = − 

第6页第四童解析函数的级数表示证明“→”已知limα,=α，即n-→0>0,N>0,当 n>N,恒有α,-α8V>0,N>0,当n>N,恒有|a,-a00结束返回00

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第6页 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , lim , lim . n n n n n n n n n n n n n a a i b b a a b b a a b b a a b b         → → − = − + − = − + −  −  −  −  −  故 = = lim , lim , n n n n a a b b → → “ = = ”已知 即 证明 lim , 0, 0, , . n n N n N n       →   =      −  “ ”已知 即 当 恒有 0, 0, , 2 2 N n N a a b b n n        −  −   当 恒有 ， ， ( ) ( ) , lim . n n n n n n n a a i b b a a b b      →  − = − + −  − + −  = 故

第7页第四童解析函数的级数表示该定理说明：可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。课堂练习：下列数列是否收敛？如果收敛求出其极限1+ni1(2) zn =(-1)" +(1) zn1-nin+1n元i(3) z,Dn结回DO束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第7页 7 该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商 仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. ; 1 1 (1) ni ni zn − + = ; 1 (2) ( 1) + = − + n i z n n . 1 (3) 2 n i n e n z  − =

第8页第四童解析函数的级数表示2、复数项级数定义4.2设复数列 {α,}={a,+ib,}(n=1,2,,)8Z--无穷级数αn=α,+α,+..+αn+.n=l级数前n项的和$, -α++α, .+α, -2级数的部分和α;1i=1定义4.3如果级数的部分和数列s，收敛，则称此级数收敛，并称极限lim s，=s为级数的和n>记作s=Zαk.否则称级数发散.k=1结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第8页 8 2、 复数项级数  = + ++ +  = n n  n 1  2  1 = = + + + = n i n n i s 1 1  2    级数前n项的和 -级数的部分和 -无穷级数 定义4.2 { } = {a + ib }(n = 1,2,  ,), 设复数列  n n n { } lim 4.3 n n n s s s →  = 如果级数的部分和数列 收敛，则 称此级 定 数收敛，并称极限 义 为级数的和， 1 k k s   = 记作 =  .否则称级数发散

第9页第四童解析函数的级数表示说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散性的基本方法是：利用极限lims,S=nn-008Z例如,级数n=07(z ± 1),S,=1+z+z2+1-z1lim s, = lim由于当<1时,n→01- zn801-z所以当z<1时级数收敛结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第9页 9 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: lim s s. n n = → 利用极限 , : 0   n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z  1时, ( 1), 1 1  − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z  1时级数收敛

第10页第四童解析函数的级数表示判断级数是否收敛，实际上比较困难事实上，由于 S,=α=a+ibk=1k=1k=1根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法888ZM定理4.2a,和级数α,收敛←6都收敛bn=1n=1n=18若则αn=an+i,收敛，bα.nn=1n=1n=1n=1结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第10页 10 根据实数项级数收敛的有关结论，可以得 出判断复数项级数收敛的简单方法. 1 1 1 n n n n k k k k k k S a i b  = = = 事实上，由于 = = +    判断级数是否收敛，实际上比较困难. . 1 1 1 级 数 收 敛  和 都收敛  =  =  =  n n n n n 定理4.2  n a b . 1 1 1 1      =  =  =  = = + n n n n n n n 若  n 收敛，则  a i b