揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案

《高等数学》教案揭阳职业技术学院师范教育系《高等数学》教案(2024-2025学年第2学期）教师姓名：邢林燕所授专业：小学教育授课班级：241

《高等数学》教案 1 师范教育系 《高等数学》教案 (2024-2025 学年第 2 学期) 教师姓名: 邢林燕 所授专业: 小学教育 授课班级: 241

《高等数学》教案授课时间第1-3周课次第1-5次章节第五章定积分名称教学授课10理论课（V)、实践课（）、习题题（）、其它（）时数方式1.理解定积分的概念。教学2.掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。目的3.理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。要求4.了解广义积分的概念并会计算广义积分。5.思政教育：讲述“微元法”的思想，增强学生中国自信、爱国情怀。教学讲授方法教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。教学3、牛顿一莱布尼茨公式。点重教学难点：难点1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。教学步骤及内容：第一节定积分概念与性质曲边梯形的面积1.曲边梯形：设函数y=/(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边2.曲边梯形面积：设函数y=/(x)在区间[a,b]上非负、连续：求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a=xo<xi<X2<...<Xn-/<X=b把区间[a,b]分成n个小区间：[x0, xi], [x, x2], [x2, x3], .,[xn-1, Xn], 记Ax=X-x-1 (i-1, 2, , n).(2)任取;e[xi-1,x]，以[xi-1,x]为底的小曲边梯形的面积可近似为f()Ax(i=1,2,.,n);；所求曲边梯形面积A的近似值为Zf(5)Ax,A~i=l(3)记=max(Ax1,Ax2.,Axa)，所以曲边梯形面积的精确值为2

《高等数学》教案 2 授课时间 第 1-3 周 课 次 第 1-5 次 章 节 名 称 第五章 定积分 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题题（ ）、其它（ ） 教学 时数 10 教 学 目 的 要 求 1.理解定积分的概念。 2.掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3.理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4.了解广义积分的概念并会计算广义积分。 5.思政教育：讲述“微元法”的思想，增强学生中国自信、爱国情怀。 教 学 方 法 讲授 教 学 重 点 难 点 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 教学步骤及内容： 第一节 定积分概念与性质 一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形 设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围 成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 2.曲边梯形面积： 设函数 yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点 ax0x1x2   xn1xn b 把区间[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1 (i1 2     n) (2)任取 i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 i i f ( )x (i1 2     n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为    n i i i A f x 1 ( )  (3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

《高等数学》教案A=lim Z f(5)Ax,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就抽象出下述定积分的定义1.定积分的定义设函数(x)在[a,b]上有界，用分点a=xo0时，上述和式的极限存在，且极限值与区间[a,b]的分法和;的取法无关，则称这个极限为函数(x)在区间[a,b)上的定积分，记作["f(x)dx，即f(x)dx=limZf(5)Ax, i=其中f()叫做被积函数，(x)dx叫做被积表达式，叫做积分变量，α叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间根据定积分的定义，曲边梯形的面积为A=f(x)dx注：：(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即f(x)dx-ff()dt-f()du(2)和f(5)Ax,通常称为f(x)的积分和.1=1(3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间[a,b]上可积2.定积分的几何意义：在区间[a,b]上，当(x)≥0时，积分[f(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；当Jx)<0时，由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；[' f(x)dx= lim Z f(5,)Ax=-lim Z(-f(5,)Ax,=-"1-f(x)]dx10020元=当f(x)既取得正值又取得负值时，函数x)的图形某些部分在x轴的上方，而其它部分在x轴的下方，如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分(x)dx的几何意义为：它是介于x轴、函数(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.函数(x)在[a,b]上满足什么条件时,f(x)在[a,b]上可积呢?3.定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积.4.定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积3

《高等数学》教案 3     n i i i A f x 1 0 lim ( )   二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述 定积分的定义 1.定积分的定义 设函数 f(x)在[a b]上有界 用分点 ax0x1x2   xn1xnb 把[a b]分成 n 个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n) 任 i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和    n i i i S f x 1 ( )  记max{x1 x2   xn} 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法 和 i的取法无关 则称这个极限为函数 f(x)在区间[a b]上的定积分 记作  b a f (x)dx  即      n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )   其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为   b a A f (x)dx  注： (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即      b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du  (2)和    n i i i f x 1 ( ) 通常称为 f (x)的积分和 (3)如果函数 f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间[a b]上可积 2.定积分的几何意义 在区间[a b]上 当 f(x)0 时 积分  b a f (x)dx 在几何上表示由曲线 yf (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边 梯形位于 x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值                b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0      当 f (x)既取得正值又取得负值时 函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上方 而其它部分在 x 轴的 下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负 号 则在一般情形下 定积分  b a f (x)dx 的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条直线 xa、 xb 之间的各部分面积的代数和函数 f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 3.定理 1 设 f (x)在区间[a b]上连续 则 f (x) 在[a b]上可积 4.定理 2 设 f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在[a b]上可积

《高等数学》教案例1.利用定义计算定积分x2dx解把区间[0,11分成n等份，分点为和小区间长度为(i=1, 2,., n-1), Ax,=I(i=1, 2, , n).t.n取(i=1,2，,n),作积分和x=(ip.12(5)4t=25A1=2台nni=l“-1(+-)(2+1n(n+I)(2n+1)=6n6n因为=，当→0时,n-0,所以nx2dx=lim≥(5,)Ax=lim((+1(2+l)=}3n-061710=l利定积分的几何意义求积分例2.用定积分的几何意义求Vi-xdx=元(1-x)dx和「4解：函数y=1-x在区间[0,1]上的定积分是以J=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积。因为以y=1-x为曲边，以区间[0,1]为底的曲边梯形是一直角三角形，其底边长及高均为1，所以S(1-x)dx=→x1xl=号-22三、定积分的性质两点规定：(1)当a=b时，[f(x)dx=0.(2)当 a>b 时,[,(x)dx=-J~ f(x)dx性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差）即['L(x)±g(x)]dx= "r(x)dx+['g(x)dx证明: "L(x)±g(x)x =limf(5)±g(5)Ax,10,=limZf(E)Ax,±limg(5,)Ax,X0=10ml-I (x)dx+J,g(r)dx性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即k(x)dx=k"(x)dx4

《高等数学》教案 4 例 1. 利用定义计算定积分 x dx 2 1 0  解 把区间[0 1]分成 n 等份 分点为和小区间长度为 n i xi  (i1 2   n1) n xi 1   (i1 2   n)  取 n i i  (i1 2   n) 作积分和            n i i n i i i n i i n n i f x x 1 2 1 2 1 1 ( )  ( ) ( 1)(2 1) 6 1 1 1 3 1 2 3        n n n n i n n i ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n     因为 n 1    当0 时 n 所以 3 1 ) 1 )(2 1 (1 6 1 lim ( ) lim 1 0 2 1 0            n n x dx f x n n i i i   利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的几何意义求   1 0 (1 x)dx 和 4 1 x dx 1 0 2     . 解: 函数 y1x 在区间[0 1]上的定积分是以 y1x 为曲边 以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边 以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以 2 1 1 1 2 1 (1 ) 1 0       x dx  三、定积分的性质 两点规定 (1)当 ab 时 ( )  0  b a f x dx  (2)当 ab 时    a b b a f (x)dx f (x)dx  性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即       b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx  证明:   b a [ f (x) g(x)]dx       n i i i i f g x 1 0 lim [ ( ) ( )]            n i i i n i i i f x g x 1 0 1 0 lim ( ) lim ( )       b a b a f (x)dx g(x)dx  性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即    b a b a kf (x)dx k f (x)dx 

《高等数学》教案这是因为[k(x)dx=lm(5)A,=klim(5)A,(x)d)元0日80=l性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即[(x)dx=I()dx+f()dx.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式(x)dx=(x)d+"(x)dx成立。例如，当a<b<c时，由于Jf(x)dx=If(x)dx+,(x)dx,于是有f(x)dx=f(x)dx-(x)dx =J(x)dx+J(x)dx性质4如果在区间[a b]上f(x)=1 则'idx=f'dx=b-a.性质5如果在区间[a,b]上(x)≥0,则 f(x)dx≥0 (a<b)推论1如果在区间[a,b)上(x)≤g(x)则1'(x)dx≤Jg(x)dx(a<b).这是因为g (a)-f(x)≥0, 从而g(x)dx-1f(x)dx=I'tg(x)-f(x)]dx≥0,所以"()dx≤Jg(x)dx.推论 2 (x)dx(x)]dx (a<b)这是因为-I(x)/≤f(a)≤(x),所以-(x)dx(x)dx(x)ldx, (x)dx1(x)ldx1 :即性质6设M及m分别是函数x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m(b-a)≤J" f(x)dx≤M(b-a)(a<b).证明因为 msf(x)≤M，所以

《高等数学》教案 5 这是因为      n i i i b a kf x dx kf x 1 0 ( ) lim ( )         b a n i k lim f ( i) xi k f (x)dx 1 0    性质如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即      b c ca b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx  这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式      b c ca b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 成立 例如 当 a<b<c 时 由于      cb b a ca f (x)dx f (x)dx f (x)dx  于是有      cb ca b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx     b c ca f (x)dx f (x)dx  性质 4 如果在区间[a b]上 f (x)1 则 dx dx b a b a b a      1  性质 5 如果在区间[a b]上 f (x)0 则   b a f (x)dx 0 (ab) 推论 1 如果在区间[a b]上 f (x) g(x) 则    b a b a f (x)dx g(x)dx (ab) 这是因为 g (x)f (x)0 从而        b a b a b a g(x)dx f (x)dx [g(x) f (x)]dx 0  所以    b a b a f (x)dx g(x)dx  推论 2    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx (ab) 这是因为|f (x)|  f (x)  |f (x)| 所以       b a b a b a | f (x)|dx f (x)dx | f (x)|dx  即    b a b a | f (x)dx| | f (x)|dx |  性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则      b a m(b a) f (x)dx M (b a) (ab) 证明 因为 m f (x) M  所以

《高等数学》教案['mdx≤J' (x)dx≤"Mdx从而m(b-a)≤ff(x)dx≤M(b-a)性质7（定积分中值定理）如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：(x)dx= ()(b-a) .这个公式叫做积分中值公式。证明由性质6m(b-a)≤[ f(x)dx≤M(b-a)各项除以b-a得f(x)dxb，积分中值公式都成立第二节微积分基本公式一、积分上限函数及其导数设函数(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数(x)在部分区间[a,x]上的定积分f(x)dx称为积分上限的函数。它是区间[a，b)上的函数，记为p(x)=f(x)dx，或p(x)- f'f(t)dt 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数0(x)=ff(x)dx在[a,b]上具有导数，并且它的导数为()=()dt=()(as<b),dx"a简要证明若xe(a,b),取Ar使x+Are(a,b)A=0(x+x)-0(x)=J(0)dt-I'(d="rod+fr(od-rodt

《高等数学》教案 6      b a b a b amdx f (x)dx Mdx  从而      b a m(b a) f (x)dx M (b a)  性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 则在积分区间[a b]上至少存在 一个点  使下式成立    b a f (x)dx f ()(b a)  这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6      b a m(b a) f (x)dx M (b a)  各项除以 ba 得     b a f x dx M b a m ( ) 1  再由连续函数的介值定理 在[a b]上至少存在一点  使    b a f x dx b a f ( ) 1 ()  于是两端乘以 ba 得中值公式    b a f (x)dx f ()(b a)  积分中值公式的几何解释 应注意 不论 ab 积分中值公式都成立 第二节 微积分基本公式 一、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x)在部分区间[a x]上的 定 积分 f x dx xa ( )  称 为积 分上 限 的函 数  它 是区 间 [a  b]上 的函 数  记 为  (x) f x dx xa ( )    或 (x) f t dt xa ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx xa ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d xa    (ax<b) 简要证明 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt xa x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt xa x x x xa ( ) ( ) ( )       

《高等数学》教案-+"f(0dt=f()Ax,应用积分中值定理，有△D=f()Ax,其中在x与x+△x之间，Ax→0时，5→x。于是= lim (5)=lim (5)=f(x).0(x)= lim 4Ar-0 AxAr-0若x=a，取△r>0，则同理可证Φ(x)=a)；若x=b，取Ar<0，则同理可证Φ-(x)=(b).定理2如果函数(x)在区间[a,b]上连续，则函数D(x)=f'f(x)dx就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，二、牛顿一莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则f(x)dx= F(b)-F(a) .此公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和d(x)=[f(0)dt都是(x)的原函数，所以存在常数C，使F(x)-(x)=C(C 为某一常数).由 F(a)-Φ(a)=C 及(a)=0, 得 C=F(a), F(x)-Φ(x)=F(a).由 F(b)-(b)=F(a),得d(b)=F(b)-F(a),即"f(x)dx=F(b)-F(a)证明：已知函数F(x）是连续函数x）的一个原函数，又根据定理2，积分上限函数D(x)="f()dt也是(x)的一个原函数。于是有一常数C，使F(x)-(D(x)=C (a≤x≤b)当x=a时，有F(a)-d(a)=C,而(a)=0,所以C=F(a);当x=b时,F(b)-Φ(b)=F(a),所以Φ(b)=F(b)-F(a)，即["f(x)dx=F(b)-F(a) .为了方便起见，可把F(b)-F(a)记成[F(x))，于是["f(x)dx=[F(x)=F(b)-F(a) 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算(xdx解：由于x3是x2的一个原函数，所以7

《高等数学》教案 7 f t dt f x x x x      ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                若 xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若 xb  取x<0 则同理可证(x) f(b) 定理 2 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx xa ( )   就是 f (x)在[a b]上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中 的定积分与原函数之间的联系 二、牛顿莱布尼茨公式 定理 3 如果函数 F (x)是连续函数 f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 f (x)dx F(b) F(a) b a     此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 这是因为 F(x)和(x) f t dt xa ( )  都是 f(x)的原函数 所以存在常数 C 使 F(x)(x)C (C 为某一常数) 由 F(a)(a)C 及(a)0 得 CF(a) F(x)(x)F(a) 由 F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     证明 已知函数 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数 又根据定理 2 积分上限函数 (x) f t dt xa ( )  也是 f(x)的一个原函数 于是有一常数 C 使 F(x)(x)C (axb) 当 xa 时 有 F(a)(a)C 而(a)0 所以 CF(a) 当 xb 时 F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     为了方便起见 可把 F(b)F(a)记成 b a [F(x)]  于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a      进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例 1. 计算  1 0 2 x dx  解 由于 3 3 1 x 是 2 x 的一个原函数 所以

《高等数学》教案[x2dx=[x36=1-13-1-03=34V3dx例2计算1 1+x2解由于arctanx是的一个原函数，所以+X[actan=rcanarctan()元（元J-1 1+x2123例3.计算[dx解: [,dx=[n|x- =In 1-In 2=In 2. 2 X例4.计算正弦曲线y=sinx在[0,元]上与x轴所围成的平面图形的面积.解：这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积A= [" sinxdx=[-cosx) =-(-1)-(-1)=2.'if()dt例5.设f(x)在[0,+0)内连续且(x)>0.证明函数F(x)r(od在(0,+o)内为单调增加函数.证明：()d=()，(0)dt=(x)。故dxJoF(r-r_ a-( f(0)d)?( r(0)dry?按假设，当00,(x-t)f()>0，所以[f()dt>0,(x-t)f(t)dt>0从而F(x)>0(x>0)，这就证明了F(x)在(0,+o0)内为单调增加函数'e'dt例6.求limJcosr→0x2解：这是一个零比零型未定式，由罗必达法则，e-r'dtse-r'dt=lim Sin xe~cos*x1lim cos.xlimx22eX2xx-0x-0x-0提示：设(x)="e-dt,则p(cosx)=fcosre-rdt- l=a(cos)=%()= (-sin)-sin x- ,drJdxdudx8

《高等数学》教案 8 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2        x dx x  例 2 计算 2 3 1 1 x dx    解 由于 arctan x 是 2 1 1  x 的一个原函数 所以 3 2 1 3 1 [arctan ] 1      x x dx arctan 3 arctan(1)    12 7 ) 4 ( 3      例 3. 计算   1 2 1 dx x  解 1 2 1 2 [ln| |] 1       dx x x ln 1ln 2ln 2 例 4. 计算正弦曲线 ysin x 在[0 ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积   0 0 A sin xdx [cos x]  (1)(1)2 例 5. 设 f(x)在[0, )内连续且 f(x)>0 证明函数    x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0 )内为单调增加函数 证明 ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x    ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x    故 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )     x x f t dt f x x t f t dt  按假设 当 0tx 时 f (t)>0 (xt)f (t) 0  所以 ( ) 0 0   f t dt x  ( ) ( ) 0 0    x t f t dt x  从而 F (x)>0 (x>0) 这就证明了 F (x) 在(0 )内为单调增加函数 例 6. 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x     解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 x e xe x e dt x e dt x x x t x x t x 2 1 2 sin lim lim lim 2 2 2 cos 0 2 cos 1 0 2 1 cos 0             提示 设     x t x e dt 1 2 ( )  则     x t x e dt cos 1 2 (cos )  u x x t e x x e dx du u du d x dx d e dt dx d 2 2 2 cos cos 1 (cos ) ( ) ( sin ) sin               

《高等数学》教案S5.3定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元积分法定理假设函数(x)在区间[a,b]上连续，函数x=(0)满足条件(1)p(α)=a, p(β)=b;(2)o()在[α,（或[β,α])上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]则有[f(x)dx=o(0)10()dt.这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知,Jx)在区间[a,b]上是连续，因而是可积的;J[p()]p(t)在区间[α,B(或[β,α])上也是连续的，因而是可积的.假设F(x)是(x)的一个原函数，则[f(x)dx =F(b)-F(a).另一方面，因为F=F"()](t)=[()，所以F())是[(]()的一个原函数，从而[/(e(0)]0(1)dt =F[0(β)]-FTαα)=F(b)-F(a).()dx=0(0)0(0dt因此注：应用该方法时要注意换元的同时要换限。例 1 计算[Va2-x dx(a>0)解JVa2-xdx=asinacost.acostdt=acos* idl=号(+cos2)dt=1+sin2ng-ma2提示：Va2-x2=a?-α’sin2i=acost,dx=acost当x=0时t-0，当x=a时t=例2 计算序cosxsinxdx解令=cosx，则cosxinxdx=-cosxdcosxdt=d=提示：当x=0时t=1，当x=号时(=0

《高等数学》教案 9 §5 3 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理 假设函数 f(x)在区间[a b]上连续 函数 x(t)满足条件 (1)( )a  ()b (2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )       这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是 连续的 因而是可积的 假设 F(x)是 f (x)的一个原函数 则 f x dx b a ( )  F(b)F(a) 另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以 F[(t)]是 f [(t)](t)的一个原函数 从 而 f[(t)] (t)dt    F[( )]F[( )]F(b)F(a) 因此 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )       注：应用该方法时要注意换元的同时要换限。 例 1 计算   a a x dx 0 2 2 (a>0) 解      2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t     2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a       提示 a x a a sin t acost 2 2 2 2 2      dxa cos t  当 x0 时 t0 当 xa 时 2  t   例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0  解 令 tcos x 则 cos xsin xdx cos xd cos x 2 5 0 2 5 0     6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  提示 当 x0 时 t1 当 2  x 时 t0

《高等数学》教案cos xsinxdx=-j.cosxdcosxcos-c+cos0-cos2*66例3计算Vsin3x-sin xdx.解Vsinxsin xdx=sinzxcosxldsinz xcosxdx-isin2 xcosxdx=I sin xdsin-Isin xdsinx-m-一--号提示：sinx-sin’x=sin'x(lsin2x)=sin2x|cosx在[0,]上|cos xcos x,在[,]上|cos x=cos x.例 4 计算,2d.0/2x+1+2解[+2. dt=→f(2 +3)dtJo /2x+1+3(+9)+3)提示：x=号，dt=dt当x=0时 =1，当x=4时=3.例5证明：若f(x)在[-a,a]上连续，则1）若f(x)为偶函数[,(x)dx=2ff(x)dx2）若f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0证明因为" (x)dx=。(x)dx+J° (x)dx,L ()dx -T(-0dt= (-1)dt=(-x)d,而所以若f(n)为偶函数[J(x)dx=°(-r)dx+J(x)dx=(-x)+(x)x=,2(x)dx=2° (x)dx若f(n)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0，从而(x)dx=(-x)+(x)dx=0例6若f(x)在[0,1]上连续，证明10

《高等数学》教案 10 或 cos xsin xdx cos xd cos x 2 5 0 2 5 0     6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 2 6 6 0 6       x  例 3 计算    0 3 5 sin x sin xdx  解 sin x sin xdx sin 2 x|cos x|dx 3 0 0 3 5              2 2 3 2 0 2 3 sin xcos xdx sin xcos xdx        2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5         x x  提示 sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x x  x  x  x x  在 ] 2 [0,  上|cos x|cos x 在 , ] 2 [   上|cos x|cos x 例 4 计算 dx x x   4  0 2 1 2  解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3  t  t       提示 2 1 2   t x  dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 例 5 证明 若 f (x)在[a a]上连续 则 1） 若 f (x)为偶函数     a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( )  2） 若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 证明 因为 f x dx f x dx f x dx a a a a ( ) ( ) ( ) 0 0         而             a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令  所以若 f (x)为偶函数        a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( )          a a a a f x f x dx f x dx f x dx 0 0 [ ( ) ( )] 2 ( ) 2 ( )  若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 从而 ( ) [ ( ) ( )] 0 0        a a a f x dx f x f x dx  例 6 若 f (x)在[0 1]上连续 证明