广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第八章 假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系

第八章假设检验第四节置信区间与假设检验之间的关系一、置信区间与双边检验之间的对应关系二、 置信区间与单边检验之间的对应关系三、小结概率论与数理统计（第4版）

第四节 置信区间与假设检验之间 的关系 一、置信区间与双边检验之间的对应关系 二、 置信区间与单边检验之间的对应关系 三、小结

8.4置信区向与假设检验之向的关系一、置信区间与双边检验之间的对应关系设 X,Xz,,X,是一个来自总体的样本,XiX2，,xn是相应的样本值，是参数的可能取值范围设(@(X, X2,..", X,), 0(X, X2,..", Xn))是参数的一个置信水平为1一α的置信区间，则对于任意的 E①,有Pe10(X, X2, ..., Xn)<0<0(X, X2,..., Xn))≥1-α,K

一、置信区间与双边检验之间的对应关系 设 , , , , X1 X2  Xn 是一个来自总体的样本 x1 , x2 ,  , xn 是相应的样本值,  是参数 的可能 ( ( , , , ), 设  X1 X2  Xn 参 数的一个置信水平为1 − 的置信区间 , 对于任意的  , 则 有 ( , , , ))  X1 X2  Xn 取值范围. 是 { ( , , , ) ( , , , )} P  X1 X2  Xn     X1 X2  Xn  1 −

8.4置信区向与假设检验之向的关系考虑显著水平为α的双边检验：H,:0=0, H:0+0.因为Pe, (0(X1, X2, ..., Xn) <0, <0(X1, X2, .*, Xn))≥1-α,即有Pe, ((0 ≤(X1, X2, ..*, Xn)U(0, ≥0(X1, X2, .., Xn)))≤α.按显著性水平为α的假设检验的拒绝域的定义K

考虑显著水平为 的双边检验: { ( , , , ) ( , , , )} P 0  X1 X2  Xn  0  X1 X2  Xn  1−, {( ( , , , )) ( ( , , , ))} P0 0   X1 X2  Xn  0   X1 X2  Xn . 因为 : . H1    0 : , H0  =  0 即有 按显著性水平为的假设检验的拒绝域的定义

8.4置信区向与假设检验之回的关系, ≤(x1, x2,..",xn) 或 9, ≥0(xi, x2,"", xn);接受域为E(x1, X2,..., xn)<0, <0(xi, X2, ..., xn)当我们要检验假设H。:0=0，H,：0±,时先求出0的置信水平为1一α的置信区间(①,)若 , E(,),则接受H,;若 , 史(E,可),则拒绝 H反之,对于任意的E①考虑显著性水平为α的假设检验问题

( , , , ) ( , , , ). 1 2 n 0 1 2 n  x x  x     x x  x ( , , , )  0   x1 x2  xn 或 ( , , , );  0   x1 x2  xn 接受域为 先求出 的置信水平为1 − 的置信区间( ,  ), ( , ), 若  0    ( , ), 若  0    ; 则接受 H0 . 则拒绝 H0 , 对于任意的 0   考虑显著性水平为 的假设检验问题: 反之, : , : , 当我们要检验假设H0  =  0 H1    0时

8.4置信区向与假设检验之回的关系H:0+0..H, :0=0,假设它的接受域为E(x, X2, ..., xn)<, <0(x, X2,..., xn)即有Pe, (0(X1, X2,..*, Xn) <0, <0(X1, X2, ..., Xn))由, 的任意性,有Pe(0(X1, X2, .., Xn)<0<0(X, X2,..*, Xn)因此((X1, X2, .., X,), 0(X1, X2,, X,)是参数的一个置信水平为一α的置信区间

: , H0  =  0 假设它的接受域为 { ( , , , ) ( , , , )} P0  X1 X2  Xn  0   X1 X2  Xn , 由0 的任意性 { ( , , , ) ( , , , )} P  X1 X2  Xn     X1 X2  Xn ( , , , ) ( , , , ).  x1 x2  xn   0   x1 x2  xn : . H1    0 即有 有 数 的一个置信水平为1 − 的置信区间. 因此( ( , , , ),  X1 X2  Xn  (X1 , X2 ,  , Xn )) 是参

8.4置信区向与假设检验之向的关系这就是说，为要求出参数θ的置信水平为1-α的置信区间，要先求出显著水平为α的检验假设H。:0=，H,:0±0,的接受域：(xi,x2,..,xn)<0, <0(x, x2,..., xn)那么, (①(X,X2,.., X,), (X1, X2,., X,) 是参数0的一个置信水平为1一α的置信区间

为要求出参数  的置信水平为1 −  的 要先求出显著水平为 的检验假设 ( ( , , , ), ( , , , ))  X1 X2  Xn  X1 X2  Xn 是参数 这就是说, ( , , , ) ( , , , ). 1 2 n 0 1 2 n  x x  x     x x  x 那么,  的一个置信水平为 1 −  的置信区间 . : , : H1   0 的接受域 置信区间 , : , H0  =  0

8.4置信区向与假设检验之向的关系二、置信区间与单边检验之间的对应关系(1）置信水平为1-α的单侧置信区间(-80, 0(Xi,X2，·,Xn))与显著水平为α的左边检验问题H,:θ≥，H :<.有类似的对应关系若已求得单侧置信区间(-0,(X,X2,X,))则当, E (-00, 0(xi,X2,,xn)时接受Ho;当, 史(-00, 0(xi,X2,…,xn)时拒绝H。R

: , : . 验问题 H0   0 H1   0 有类似的对应关系 ( , ( , , , )), 若已求得单侧置信区间 −  X1 X2  Xn （1）置信水平为1 − 的单侧置信区间 与显著水平为 的左边检 二、 置信区间与单边检验之间的对应 关系 ( , ( , , , )) −  X1 X2  Xn ( , ( , , , )) ; 则 当 0  −  x1 x2  xn 时接受H0 ( , ( , , , )) . 当 0  −  x1 x2  xn 时拒绝 H0

8.4置信区向与假设检验之回的关系反之,若已求得检验问题H.:0≥,H,:0<0的接受域为：- 00 <0, ≤ (x, x2, , xn),则可得e的一个单侧置信区间(-00, 0(Xi, X2, ..", Xn)(2）置信水平为1-α的单侧置信区间((Xi,X2,,X,),+0)与显著水平为α的右边检验问题：K

: , : 若已求得检验问题 H0    0 H1    0 ( , , , ), 0 1 2 n −      x x  x 的接受域为: 反之, ( , ( , , , )). −  X1 X2  Xn 则可得 的一个单侧置信区间 ((X1 , X2 ,  , Xn ), + )与显著水平为 的右边检 （2）置信水平为1 − 的单侧置信区间 验问题:

84置信区向与假设检验之向的关系H.:0≤0，H:0>0.也有类似的对应关系若已求得单侧置信区间(①(X,X，,Xn),+0),则当, E ((xi,X2, ,xn), +00)时接受Ho;当9 史(0(X1, X2, ,xn), + 00)时拒绝 H。.反之,若已求得检验问题H:0≤，H,:>0的接受域为：0(x1, x2, ..", x,) ≤0, < +0,则可得θ的一个单侧置信区间(①(Xi, X2, ..., Xn), +00)

: . H1   0 也有类似的对应关系 ( ( , , , ), ), 若已求得单侧置信区间  X1 X2  Xn +  : , H0    0 ( ( , , , ), ) ; 则 当0   x1 x2  xn +  时接受H0 ( ( , , , ), ) . 当 0   x1 x2  xn +  时拒绝 H0 0 0 1 0 若已求得检验问题 H :   , H :   则可得 的一个单侧置信区间 ( , , , ) ,  x1 x2  xn   0  + 的接受域为: 反之, ( ( , , , ), ).  X1 X2  Xn + 

84采信区向与假设检验之回的关系例1 设 X ~ N(μ, 1), μ未知, α=0.05, n =16,且由一样本算得x=5.20.于是得到参数u的一个置信水平为0.95的置信11区间(x - 示 202, + Z0.025/16= (5.20-0.49, 5.20 + 0.49)= (4.71, 5.69),考虑检验问题 H。：μ=5.5，H ：μ±5.5,因为 5.5 =(4.71,5.69),所以接受H。R

例1 考虑检验问题 : 5.5, H1   因为 5.5(4.71, 5.69), . 所以接受H0 且由一样本算得x = 5.20, 于是得到参数 的一个置信水平为0.95的置信 n = 16, (5.20 − 0.49, 5.20 + 0.49) (4.71, 5.69). ) 16 1 , 16 1 ( 0.025 0.025 区 间 x − z x + z = = : 5.5, H0  = 设 X ~ N(, 1),  未知,  = 0.05