广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.3 补充例题

73信针量的评选标准补充例题

补充例题

7.3估针量的评选标准补充1对于均值μ，方差。20都存在的总体，若1(X; -X)μ,2均为未知,则的估计量=ni-l是有偏的(即不是无偏估计)证 ?=-x, -X= A, -X2,ni=l因为 E(A,) = μ,= α2 + μ2,T又因为 E(X")= D(X)+[E(X)}"= + μ,n所以 E(6)= E(A -X) =E(A)- E(X2)K

证 , 2 = A2 − X 2 2 因为 E(A ) =  , 2 2 =  +  2 2 又因为 E(X ) = D(X) + [E(X)] , 2 2   = + n ( ) ( ) 2 = E A2 − E X 是有偏的(即不是无偏估计). = = − n i Xi X n 1 2 1 2 2  ˆ ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E  = E A − X 对于均值 , 0 , 方 差 2  都存在的总体 若 , ,   2 均为未知 = = − n i Xi X n 1 2 2 2 ( ) 1 则 的估计量 ˆ 补充1

73信针量的评选标准n-1。22, 所以2 是有偏的nn若以乘2，所得到的估计量就是无偏的n-1（这种方法称为无偏化）E(62) =E1,Z(X, -X),因为n-1n-i=l即S是。2的无偏估计，故通常取S作。的估计量

, 1 2 2    − = n n (这种方法称为无偏化). ( ), 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n , 即 S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量 ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , 1 2 若以 乘 n − n       − 2 ˆ 1  n n E 2 2 ˆ 1 S n n = − 因为  所得到的估计量就是无偏的. ( ˆ ) 1 2 E  n n − = . 2 = 

7.3估针量的评选标准补充2设总体X在[0,0上服从均匀分布，参数9>0.X,XX，是来自总体X的样本，试证明2X和n+1max(X,X2,,X,）都是e的无偏估计n0证 因为 E(2X)=2E(X)=2E(X)=2×=0,2所以2X是0的无偏估计量因为X,=max(X,X2,,X,)的概率密度为nxn-0≤x≤0anf(x)=其他[0,K

max( , , , ) . 1 X1 X2 Xn 都 是的无偏估计 n n  + 证 因为 E(2X) = 2E(X) = 2E(X) , 2 2   =  = 所 以2X 是 的无偏估计量. 因 为Xh = max(X1 , X2 ,  , Xn )的概率密度为        = − 0, 其 他 , 0 ( ) 1   x nx f x n n 设总体X 在[0,]上服从均匀分布 ,参数  0, X1 , X2 ,  , Xn 是来自总体X的样本，试证明2X 和 补充2

73信针量的评选标准hrn-1所以 E(X,)=dxXnn0n+1n+故有EXn=0,Yn+1故max(Xi,X2,…,X,)也是0的无偏估计量n结论：一个参数可以有不同的无偏估计量

dx nx E X x n n h  =  0  -1 所 以 ( ) , 1  + = n n , 1  =       + Xh n n 故有 E max( , , , ) . 1 故 X1 X2 Xn 也 是的无偏估计量 n n  + 结论： 一个参数可以有不同的无偏估计量

73信针量的评选标准补充3（续补充1）试证当n>1时，θ的无偏估计量X较θ的无偏估计量nz有效0证 由于 D(X) =°,故有 D(X)=n02故有 D(nZ)=,又因为 D(Z)=n当n >1时, D(nZ)> D(X),故e的无偏估计量X较nz有效

（续补充1） 试证当n  1时, X 较 的无偏估计量nZ 有效.  的无偏估计量 证 D(X) D(X) D(Z) D(nZ) 当n  1时, D(nZ)  D(X), 故 的无偏估计量X 较 nZ 有效. , 2 由于 =  故有 , 2 n θ = 又因为 , 2 2 n  = 故有 , 2 =  补充3

7.3估针量的评选标准补充4（续补充2）在前例中已证明é=2X和 ,= n+1max[X,X2,…,X,}都是e的无偏估n计量,现证当n≥2时，é,较é, 有效0?证 由于 D(é)=4D(X)==D(X)3nnD(a)=D("+1x,)-(μt)D(X,)n+10,又因为 E(X,)=nK

. ˆ ˆ 2 , 现证当n  时  2 较1 有 效 证 ) 4 ( ) ˆ ( 由于 D 1 = D X , 3 ( ) 4 2 n D X n  = =       + = Xh n n D D 1 ) ˆ ( 2 ( ), 1 2 D Xh n n       + = , 1 ( )  n n E Xh + 又因为 = (续补充2) 在前例中已证明 ˆ 1 = 2X 和 max{ , , , } 都 是的无偏估 1 ˆ 2 X1 X2 Xn n n  + = 计量, 补充4

73估针量的评选准nn+E(X)= J°dx1n+2D(X,) = E(X,2)-[E(X,)n02(n+1)(n + 2)102故 D(①,) =n(n + 2)又n ≥ 2, 所以D(,)< D(℃), é, 较é 有效

x x n E X n h n ( ) d 1 0 2 +  =   , 2 2  + = n n 2 2 ( ) ( ) [ ( )] D Xh = E Xh − E Xh , ( 1) ( 2) 2 2  + + = n n n , ( 2) 1 ) ˆ ( 2  2  + = n n 故 D ), ˆ ) ( ˆ 2, ( 又n  所 以D  2  D 1 . ˆ ˆ  2 较 1 有效

7.3估针量的评选标准补充5试证：样本均值X是总体均值u的相合估计量，样本方差s2(X,-X)及样本的二阶n-l中心矩 B,=-(X,-X)都是总体方差2的相合nil估计量证日由大数定律知V6>0, 有 limP[≥x,-μ<6,=-1,1n-00所以X=x,是μ的相合估计量,nil大

估计量. 证 由大数定律知,   0, 1, 1 lim 1 =        −  = →   n i i n X n 有 P . 1 1 所 以  是  的相合估计量 = = n i Xi n X 试证: 样本均值X 是总体均值的相合估计 量, 样本方差 ( ) 及样本的二阶 1 1 1 2 2 = − − = n i Xi X n S 中心矩 ( ) 都是总体方差 的相合 1 2 1 2 2   = = − n i Xi X n B 补充5

73信针量的评选标准又 B, =-(X; -X) =-(X? -2X,X+X3)ni-lni-l12x?-X2- A, -X,ni=l(A,是样本二阶原点矩)由大数定律知A,=}x依概率收敛于 E(X"),ni=lX-12X,依概率收敛于 E(X),ni-1K

= = − n i Xi X n B 1 2 2 ( ) 1 又 = = − + n i Xi Xi X X n 1 2 2 ( 2 ) 1 = = − n i Xi X n 1 1 2 2 , 2 = A2 − X ( ) A2 是样本二阶原点矩 由大数定律知, ( ), 1 2 1 2 2 X E X n A n i  i 依概率收敛于 = = ( ), 1 1 X E X n X n i  i 依概率收敛于 = =