广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第八章 假设检验 8.1 补充例题

8.1假设检验补充1某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 N(u,α2),μ= 40cm / s, α = 2cm / s. 现用新方法生产了一批推进器，随机取n=25只，测得燃烧率的样本均值为x=41.25cm/s.设在新方法下总体均方差仍为2cm/s，问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著水平α=0.05

取显著水平 = 0.05. 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服 ( , ), 2 从正态分布 N    = 40cm/s,  = 2cm /s. 现 用新方法生产了一批推进器,随机取 n = 25只, 测 得燃烧率的样本均值为x = 41.25cm/s. 设在新方 法下总体均方差仍为2cm/s,问用新方法生产的 推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃 烧率有显著的提高? 补充1

8.1假设检验解#根据题意需要检验假设H：μ≤u=40（即假设新方法没有提高燃烧率)H：μ>（即假设新方法提高了燃烧率），这是右边检验问题x-μo拒绝域为z= ≥ 0.05 = 1.645 .g/nx-uo=3.125>1.645，z值落在拒绝域中因为Z=a//n故在显著性水平α=0.05下拒绝H。.即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高K

: ( ), H1   0 即假设新方法提高了燃烧 率 这是右边检验问题, 1.645 . / 0.0 5 0  = − = z n x z   拒绝域为 3.125 1.645 , / 0 =  − = n x z   因 为 z值落在拒绝域中, 0.05 . 故在显著性水平 = 下拒绝H0 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 解 根据题意需要检验假设 : 40 ( ), H0   0 = 即假设新方法没有提高燃烧率

8.1假设检验补充2设（X,Xz,,X）是来自正态总体N(u,100)的一个样本,要检验H,:μ=0(H,:μ≠0),在下列两种情况下，分别确定常数d，使得以W.为拒绝域的检验犯第一类错误的概率为0.05。(1) n =1, W =(x/ / x > d);(2) n = 25, W = ((xi,",x25) / x /> d),s1其中x=X25i=1Xi1 ~ N(0,1),解(1)n=1时,若H,成立,则10

(2) 25, {( , , ) | | }, 1 1 2 5 n = W = x  x x  d 解 (1) 1 , , n = 时 若 H0 成立 ~ (0,1), 10 1 N X 则 ( , , , ) ( ,100) 设 X1 X2  Xn 是来自正态总体N  的一个样本, : 0 ( : 0), 要检验 H0  = H1   在下 列两种情况下, 分别确定常数d, 使得以W1为拒绝 域的检验犯第一类错误的概率为0.05 . (1) 1, { | | }; n = W1 = x1 x1  d . 25 1 25 1 = = i 其中 x xi 补充2

8.1假设检验P(X eW}= P[X|>d)-(-1+(-)-()-2(1-()= 0.05,dd = 19.6;= 0.975,= 1.96,10K

PX1 W1= PX1  d       =  10 10 1 X d P        −       = +  − 10 10 1 d d             = − 10 2 1 d  = 0.05, 0.975, 10 =      d  1.96, 10 = d d = 19.6;

8.1假设检验X~ N(0,1),(2) n =25时,若H,成立 则 /2510P((Xi,..,X25)e W} = P[X>d)-(-1+(-2)-()-2(1-α()= 0.05,d() 0.975.d = 3.92.= 1.96,福2K

(2) n = 25时, 10 25 X 则 P(X1 ,  , X25 )W1       =  2 2 X d P        −       = +  − 2 2 1 d d             = − 2 2 1 d  = 0.05, 0.975, 2  =      d  1.96, 2 = d d = 3.92 . , 若H0成立 ~ N(0,1), = PX  d

8.1假设检验补充3设(X,X,,,X,）是来自正态总体N(u,9)的一个样本,其中μ为未知参数, 检验 H。:μ= μo(H, : μ± μo),拒绝域W =((xi,.,x,)/ x-μ ≥C},(1)确定常数C,使显著性水平为0.05;(2)在固定样本容量n=25的情况下，分析犯两类错误的概率α和β之间的关系 n(X - μo) ~ N(0,1),解(1)若H,成立,则3P((Xi,...,X,)eW)) = P(X- μo| ≥C)

~ (0,1), 3 ( ) 0 N n X −  则 错误的概率 和  之间的关系. 解 (1) , 若H0成立 P(X1 ,  , Xn )W1 ) ( , , , ) ( , 9) 设 X1 X2  Xn 是来自正态总体N  的一个样本, 其中为未知参数, 0 0 检验 H :  =  ( : ), H1   0 {( , , ) | | }, 拒绝域W1 = x1  xn x − 0  C (1) 确定常数C, (2) 在固定样本容量n = 25的情况下, 分析犯两类 补充3 = PX − 0  C 使显著性水平为0.05;

8.1假设检验X-μoInnC-2-()P>= 0.05,33nC5.88nC= 1.96,= 0.975,3n(2)n=25时，若H,成立α = P((Xi,... Xn)eW)-2(1-α()-2(1-α()K

         − = 3 3 n X 0 nC P              = − 3 2 1 nC  = 0.05, 0.975, 3  =      nC  1.96, 3 = nC ; 5.88 n C = (2) n = 25时, (( , ) )  = P X1 Xn W1             = − 3 2 1 nC  . 3 5 2 1             = − C  , 若H0成立

8.1假设检验若H,不成立，不妨假设 μ= μ= ,β= P((Xi,..X,)EW) = P(X- μo|<C)= P(-C+ μ, <X<C+μ)5(-C+ μ -μ)<(X-μ)<(C+ Mo -M)=P30(8(C+ A4-m)-((-C+μ4-)=当C较小时,α较大，β较小;当C较大时，α较小，β较大，由于μ是任取的,所以对所有μ≠u上面的关系成立K

, 若H0不成立(( , ) )  = P X1 Xn  W1 ( ) = P X − 0  C ( ) = P −C + 0  X  C + 0       = − + −  −  ( + − ) 3 5 ( ) 3 5 ( ) 3 5 P C 0  X  C 0  ( ) , 3 5 ( ) 3 5 0 1 0 1        − − + −      = C +  −   C   当C 较小时, 较 大,  较 小; , 不妨假设  = 1 = 0 由于  是任取的， 当C 较大时, 较 小,  较 大 . . 所以对所有  0 上面的关系成立