揭阳职业技术学院：《线性代数》课程授课教案

揭阳职业技术学院师范教育系《线性代数》教案(2024-2025学年第2学期）教师姓名：章慧芬所授专业：小学教育授课班级：241

1 师范教育系 《线性代数》教案 (2024-2025 学年第 2 学期) 教师姓名: 章慧芬 所授专业: 小学教育 授课班级: 241

周授课时间第1-3课次第1-3次章节第一章行列式H称授课教学10理论课（）、实践课（）、习题题（）、其它（时数方式1.会用对角线法则计算2阶和3阶行列式；2.知道n阶行列式的定义：教学3.知道n阶行列式的性质；目的要求4.知道代数余子式的定义和性质；5.会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式；思政育1、培养科学精神与严谨态度人目标2、强化逻辑思维与问题解决能力教学讲解法、练习法方法教学1.理解行列式的定义；重点2.行列式的计算，要注重学会利用行列式的性质及按行（列)展开等方法来简化行列式难点的计算。教学步骤及内容：首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。强调数学公理化背后的科学精神，联系中国科学家华罗庚在数学领域的成就，增强学生的民族自豪感和使命感。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。最后知道克拉默法则，了解数学家克拉默的故事，调动学生学习的积极性和创造性。简要知识点与例题：1.计算排列的逆序数的方法设p，P2p,是1,2，gg，n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比p大的数排在p前面，记为t：2

2 授课时间 第 1-3 周 课 次 第 1-3 次 章 节 名 称 第一章 行列式 授 课 方 式 理论课（ ✓ ）、实践课（ ）、习题题（ ✓ ）、其它（ ） 教学 时数 10 教 学 目 的 要 求 1.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 2.知道 n 阶行列式的定义； 3.知道 n 阶行列式的性质； 4.知道代数余子式的定义和性质； 5.会利用行列式的性质及按行(列)展开计算简单的 n 阶行列式； 思政育 人目标 1、培养科学精神与严谨态度 2、强化逻辑思维与问题解决能力 教 学 方 法 讲解法、练习法 教 学 重 点 难 点 1.理解行列式的定义； 2.行列式的计算，要注重学会利用行列式的性质及按行(列)展开等方法来简化行列式 的计算。 教学步骤及内容： 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列 及其逆序数的知识，引出n 阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学 生了解行列式的三种等价定义。以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。强 调数学公理化背后的科学精神，联系中国科学家华罗庚在数学领域的成就，增强学生的民族自豪感 和使命感。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化 行列式的计算。 最后知道克拉默法则，了解数学家克拉默的故事，调动学生学习的积极性和创造性。简要知识点与 例题： 1. 计算排列的逆序数的方法 设p1 p2 ggg pn是1,2, ggg ,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比p1大的数排在p1前面，记为t1；

再看有多少个比pa大的数排在pz前面，记为t2；.最后看有多少个比p,大的数排在p,前面，记为t。；则此排列的逆序数为t=t，+t+gg=t。2.n阶行列式aua2..aina2a22..aaD=E(-1)'apa2pap....anan2am其中pPp,为自然数1,2，"，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。对角线法则：只对二阶和三阶行列式适用。aa2D==aia22—a221[a21 a2a12a13D=a21a22a23=aa223+a2122-a21-22-a2g2L[a31 a32a33例：写出4阶行列式中含有aα23的项。解：1a233442和a123324400010200例：计算行列式D=03004000解：D=(-1)0+++3×1×2×3×4=243.行列式的性质(1)行列式D与它的转置行列式D’相等。(2)对换行列式的两行列)，行列式变号。(3)行列式的某一行（列)中所有元素都乘同一个数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式中某一行（列）的所有元素有公因子k，则k可以提到行列式记号的外面。（4)行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。3

3 再看有多少个比p2大的数排在p2 前面，记为t2； ⋯ ⋯ 最后看有多少个比pn大的数排在pn前面，记为tn ； 则此排列的逆序数为t= t1 +t2+ ggg= tn。 2. n 阶行列式 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p np n n nn a a a a a a D a a a a a a             其中 1 2 n p p  p 为自然数1,2,  ，n的一个排列，t为这个排列的逆序数。 对角线法则：只对二阶和三阶行列式适用。 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a    11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a        例：写出4阶行列式中含有 11 23 a a 的项。 解： 11 23 34 42 a a a a 和 11 23 32 44 a a a a 。 例：计算行列式D= 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 。 解： 0 1 2 3 D ( 1) 1 2 3 4 24           . 3.行列式的性质 (1)行列式 D 与它的转置行列式 T D 相等。 (2)对换行列式的两行(列)，行列式变号。 (3)行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一个数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式中某一行 (列)的所有元素有公因子k,则k可以提到行列式记号的外面。 (4)行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零

(5)若行列式的某一行（列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。(6)把行列式的某一行（列)的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变4.行列式的按行(列)展开(1)在n阶行列式中，把(i,j)元a，所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a的余子式，记作M,；记A,=(-1)"Mg，则称A,为（i,j)元a,的代数余子式。(2)行列式等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即可以按第i行展开：D=a,A, +ajz2A2 +gg+amAn(i =1,2,ggn)可以按第j列展开：D=aijA2,+ai2A2+8gamA(j = 1,2,gg,n)(3）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a1A, +ai2Aj2 +8+amAm= 0(ij)或(ij)arA, +a2;A2, +g8g+amA, = 05.克拉默法则含有n个未知数X,x2，",x，的n个线性方程的方程组a,+ai2x2+..+ainxn=ba21 +a22x2 +...+a2nxn=b,aX,+an2X2+...+amX,=b.当b，b,，…,b，全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。D((i=1,2,…,n)，其中(1)如果方程组的系数行列式D+0，那么它有唯一解：予=告D,(i=1,2",n)是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式。(2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D=0。（3）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，那么它只有零解：如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件：（1)方程组个数等于未知元个数：（2)系数行列式不等于零。6.一些常用的行列式4

4 (5)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 (6)把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 4.行列式的按行(列)展开 (1)在n阶行列式中，把(i,j)元 ij a 所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元 ij a 的余子式，记作 Mij ；记 ( 1) i j Aij Mij    ，则称 Aij 为(i,j)元 ij a 的代数余子式。 (2)行列式等于它任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即可以按第i行展开： 1 1 2 2 ( 1,2, , ) D i i i i in in  a A  a A ggga A i  ggg n 可以按第j列展开： 1 2 2 2 ( 1,2, , ) D j j i i nj nj  a A  a A ggga A j  gggn (3)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 1 1 2 2 0 ( ) i j i j in jn a A  a A ggga A  i  j 或 1 1 2 2 0 ( ) i j i j ni nj a A  a A ggga A  i  j 5.克拉默法则 含有n个未知数 1 2 , , , n x x  x 的n个线性方程的方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                       当 1 2 , , , n b b  b 全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。 (1) 如 果 方 程 组 的 系 数 行 列 式 D  0 ， 那 么 它 有 唯 一 解 ： i i D D x  (i 1,2,,n) ， 其 中 Di (i 1,2,,n) 是把系数行列式 D 中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行 列式。 (2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式 D  0 。 (3)如果齐次线性方程组的系数行列式 D  0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那 么它的系数行列式必定等于零。 用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程组个数等于未知元个数；(2)系数行列式不等于零。 6.一些常用的行列式

(1)上、下三角形行列式等于主对角线上个元素的乘积。(课本P7)特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积。（课本P7)(2)范德蒙行列式（课本P18例12)计算行列式常用方法：（(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。例：课本P12例7-例9例：课本P17例7(续)例：课本P20例13复习思考题、作业题：P21 习题一1,2,4,5,6(1),8,9下次课预习要点第二章矩阵及其运算教学记后 授课时间第4-6周课次第4-6次章节第二章矩阵及其运算名称授课教学10理论课（v）、实践课（）、习题题（v）、其它（时数方式1、理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵的定义及其性质。教学2、掌握矩阵的运算，即矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的行列式的运算规律。目的要求3、理解逆矩阵的概念，知道逆矩阵存在的条件并会求逆矩阵。4、熟悉矩阵分块及利用矩阵分块法对矩阵进行运算。思政育1、强调矩阵运算的严格定义，引导学生理解数学的精确性人目标2、强化科技报国与实际问题解决能力，例北斗卫星定位等教学讲解法、练习法方法

5 (1)上、下三角形行列式等于主对角线上个元素的乘积。(课本P7) 特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积。(课本P7) (2)范德蒙行列式(课本P18 例12) 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式 的值。 例：课本P12 例7-例9 例：课本P17 例7(续) 例：课本P20 例13 复习思考题、作业题： P21 习题一 1,2,4,5,6(1),8,9 下次课预习要点 第二章矩阵及其运算 教 学 后 记 授课时间 第 4-6 周 课 次 第 4-6 次 章 节 名 称 第二章 矩阵及其运算 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题题（√）、其它（ ） 教学 时数 10 教 学 目 的 要 求 1、理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵的定义及其性质。 2、掌握矩阵的运算，即矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的行列式的运算规律。 3、理解逆矩阵的概念，知道逆矩阵存在的条件并会求逆矩阵。 4、熟悉矩阵分块及利用矩阵分块法对矩阵进行运算。 思政育 人目标 1、强调矩阵运算的严格定义，引导学生理解数学的精确性 2、强化科技报国与实际问题解决能力，例北斗卫星定位等 教 学 方 法 讲解法、练习法

1、矩阵乘矩阵，让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义，特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因，说明矩阵乘法常态下不满足消去率，通过练习提高学生的计算准确率。教学重点2、逆矩阵的求法中说明通过求伴随矩阵的方式，让学生掌握矩阵求逆，并告知学生下难点一章里还有更简单的求逆方法3、分块矩阵的乘法运算，对于四阶且子块含有零矩阵，单位阵，对角阵的高阶，一般做四块分且尽量分出单位阵，零矩阵教学步骤及内容：讲授为主，练习为辅，主要让学生充分理解矩阵运算的定义、原则，从而掌握矩阵运算，并通过练习提高学生运算的准确率。通过逆矩阵的定义及定理2让学生充分掌握矩阵的求逆运算，并告知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学生掌握分块矩阵的加法运算，数乘运算，矩阵乘矩阵的运算，以及求逆矩阵的运算，并列举了几个典型例子的运算简要知识点与例题：一、矩阵的定义定义1由m×n个数a,(i=1,2,,m,j=1,2,,n)排成的m行n列的数表auai2aina21a22a2nMMMamlam2amm称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵，记作

6 教 学 重 点 难 点 1、矩阵乘矩阵，让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面 矩阵的行的原因，说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确 率。 2、逆矩阵的求法中说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下 一章里还有更简单的求逆方法. 3、分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做 四块分且尽量分出单位阵,零矩阵. 教学步骤及内容： 讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义、原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习提 高学生运算的准确率。 通过逆矩阵的定义及定理2让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告知学生在下一章里还可用更简练的 方法计算逆矩阵. 通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学生掌握分块矩阵的加法运 算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例子的运算. 简要知识点与例题： 一、矩阵的定义 定义1 由 m n 个数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i   m j   n 排成的 m 行n 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a    M M M 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵，记作

anai2ain.a21a22a2nA:MMMam这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元。a,(i=1,2,,m,j=1,2,n）称为矩阵A的第i行第列的元。矩阵A也可记为（a,）或ai)m，或Amxn元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶方阵A也记为A,。只有一行的矩阵A=（αα,Lαn）称为行矩阵，又称行向量。行矩阵也记作：A=(a,,an)b只有一列的矩阵B：称为列矩阵，又称列向量。Mb.两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果A=(α,）与B=（b,）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即a, =b,(i=1,2,,m,j=1,2,.,n)那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作○。注意不同型的零矩阵是不同的。二、矩阵的加法定义2设有两个m×n矩阵A=（α,）和B=（b,），那么矩阵A与B的和记为A+B，规定为

7 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a           M M M 这 m n 个数称为矩阵 A的元素，简称为元。 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i   m j   n 称为矩阵 A的第i行第j列的元。矩阵 A也可记为( ij a )或 ( ) ij m n a  ，或 Amn 。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶方阵 A也记为 An 。 只 有 一 行 的 矩 阵 1 2 ( ) A n  a a L a 称 为 行 矩 阵 ， 又 称 行 向 量 。 行 矩 阵 也 记 作 ： 1 2 ( , , , ) A n  a a L a 。 只有一列的矩阵 1 2mb b B b        M 称为列矩阵，又称列向量。 两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果 ( ) A ij  a 与 ( ) B ij  b 是同型矩 阵，并且它们的对应元素相等，即 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij ij a  b i   m j   n 那么就称矩阵 A与矩阵 B 相等，记作 A  B 。 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。注意不同型的零矩阵是不同的。 二、矩阵的加法 定义2 设有两个 m n 矩阵 ( ) A ij  a 和 ( ) B ij  b ，那么矩阵 A与 B 的和记为 A  B ，规 定为

α2+bi2Lain+bna+bα22 +b22La2n+bzna21 +b21A+B=MMMamm+bmm(aml+bmlam2+bm2两个矩阵是同型矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律（设A,B,C都是m×n矩阵)：(i) A+B=B+A:(i) (A+B)+C=A+(B+C)A=（a)的负矩阵记为：-A=（-α）A+(-A)=0规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)三、矩阵的数乘定义3数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为(aiNai2aan..Aa21Na2nNa22...ZA=AL=MMMAam2AamlAamn矩阵数乘满足下列运算规律（设A、B为m×n矩阵，、μ为数)：(i) (Aμ)A= (uA);(ii)(a+μ)A=AA+μA:(ii) 2(A+B)= ^A+B四、矩阵乘矩阵定义4设A=（a,）是一个m×s矩阵，B=（b）是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵8

8 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b                  L L M M M L 两个矩阵是同型矩阵才能进行加法运算。 矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是 m n 矩阵)： (i) A  B  B  A ； (ⅱ) (A B) C  A (B C). ( ) A ij  a 的负矩阵记为： ( ) A ij   a A (A)  O 规定矩阵的减法为 A B  A (B) 三、矩阵的数乘 定义3 数 与矩阵 A的乘积记作A 或 A ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 = = n n m m mn a a a a a a A A a a a                     M M M 矩阵数乘满足下列运算规律(设 A、B 为 m n 矩阵，、 为数)： (i) ()A  (A); (ⅱ) (+)A  A+A; (ⅲ) (A B)  A+B. 四、矩阵乘矩阵 定义4 设 ( ) A ij  a 是一个m s 矩阵， ( ) B ij  b 是一个 s  n 矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵

B的乘积是一个m×n矩阵C=（ci），其中C,=a,b,+a,b,+L +a,b,-Zaaby>SIk=l(i=1,2,..,m, j =1,2,..,n)把此乘积记作C=AB且有(b)3+ab==a,b,Zaikbi,ais)a.=CMk=lbyP31例5求矩阵24201A=0与B=30304.的乘积ABP32例6求矩阵的乘积AB及BA对于两个n阶方阵A、B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的从例6的结论得知：若AO，而A(X-Y)=O矩阵的乘法虽不满足交换律，但满足结合律和分配律：(i) (AB)C = A(BC);

9 B 的乘积是一个 m n矩阵 ( ) C ij  c ，其中 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b    L   (i 1,2,,m; j 1,2,,n) 把此乘积记作C  AB. 且有 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ( , , , ) j s j i i is i j i j is sj ik kj ij k sj b b a a a a b a b a b a b c b                L M L  P31 例5 求矩阵 4 1 2 1 1 1 0 3 0 3 1 4 A         与 1 2 0 1 3 0 1 2 B         的乘积 AB . P32 例6 求矩阵 2 4 1 2 A          与 2 4 3 6 B          的乘积 AB 及 BA. 对于两个n阶方阵 A、B ，若 AB  BA，则称方阵 A与 B 是可交换的. 从例6的结论得知：若 A  O ，而 A(X Y)  O 矩阵的乘法虽不满足交换律，但满足结合律和分配律： (i) (AB)C  A(BC);

(ii）(AB)=(A)B=A(B)(其中为数);(ii) A(B+C)=AB+ AC, (B+C)A=BA+CA对于单位矩阵E，容易验证EmAmn = Amn, AmnE, = Amxn即EA=AE=A特殊矩阵：1、单位矩阵00L01L0E=MMM1)OL02、数量矩阵（纯量阵）0)ＯL元0πL0AE=MMM元0 L3、对角矩阵L00ain00La22MMM0Lam4、上三角矩阵、下三角矩阵10

10 (ⅱ) (AB)  (A)B  A(B) (其中 为数)； (ⅲ) A(B C)  AB  AC, (B C)A  BACA. 对于单位矩阵 E ，容易验证 , Em Amn  Amn AmnEn  Amn 即 EA  AE  A. 特殊矩阵： 1、单位矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E        L L M M M L 2、数量矩阵(纯量阵) 0 0 0 0 0 0 E            L L M M M L 3、对角矩阵 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a       L L M M M L 4、上三角矩阵、下三角矩阵