浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的幂级数表示 §4.3 泰勒级数

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第四章解析函数的幕级数表示结运回束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第四章 解析函数的 幂级数表示

第2页第四童解析函数的级数表示$4.3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？1、泰勒展开定理对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第2页 §4.3 泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆 内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题： 一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 1、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点 处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的 导数，所以这一条件是满足的

第3页第四童解析函数的级数表示预备知识1)(柯西积分公式)设f(z)在简单(或复合)闭曲线C上及所围区域D内解析,则对任意zED,皆有f()ds.1E-z2元81Zn/2）公式<11-un=03)解析函数的无穷可微性）f(s)ndsED)Zn+12元1结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第3页 3 预备知识 2）公式 0 1 1 n n u u  = = −  ( u <1 ) (z D  ) 3) (解析函数的无穷可微性) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ! 2 n n c n f f z d i z     + = −  柯西积分公式 设 在简单(或复合)闭曲线 上及所围区域 内解析 则对任意 皆有 1) ( ) ( ) , , f z C D z D  1 ( ) ( ) . 2 C f f z d i z     = − 

第4页第四童解析函数的级数表示定理1（Taylor定理）设f(z)在区域D内解析,z E D,R为z.到D的边界上各点的最短距离则当z一zo<R时,8f(z)在z,点Z(1)f(z) =Cn(z-zo)的Taylor展开n=0其中c,n = 0,1,2,.:n!即10f(z)= f(z)+ f (z)(z-z)+72!f(n)(zo)ZZn!结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第4页 4 0 f z z ( ) Taylor 在 点 的 展开 定理1（Taylor定理） ( ), 0,1,2, . ! 1 ( ) ( ) (1) , , ( ) , , 0 ( ) 0 0 0 0 0 = =  = − −     = f z n n c f z c z z z z R f z D z D R z D n n n n n 其 中 上各点的最短距离则 当 时 设 在区域 内解析 为 到 的边界 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ''( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ! n n f z f z f z f z z z z z f z z z n = + − + − + − + 即

第5页第四童解析函数的级数表示证明：设z为z-zR任意一点DS取k:- zo=r<R.Zok.Z由柯西积分公式1f()d*T2元i-Z1111注意到&SZ-Z0E-Zo-zE-Zo-(z-Zo)- Zo7.0=q<1-ZoC1+0n+1SSPz.)?-ZoS-Zo0结回H束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第5页 5 D k  0 z 证明： | | . 设z为 z − z0  R任意一点 1, 0 0 =  − − q z z z   1 ( ) ( ) , (*) 2 k f f z d i z     = −  由柯西积分公式 0 0 0 0 0 1 1 1 1 , ( ) 1 z z z z z z z z     = = − − − − − − − − 注意到 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) . ( ) n n n n z z z z z z z z       z z z z z z  + =   − − − −  = + + + + + =   − − − − − −    0 取k z r R : .  − =  .z

第6页第四童解析函数的级数表示把上面的式子代入（*）f()S(z-zo)"ds7n+12元E- zon=010k.Zf()-Zds(z一7.0.(5 -z0)+12元n=0887Z=(z-zo)c,(z -zo)"n!n=0n=0级数(1)的收敛范围是以z.为中心，r为半径的圆域-zo<r,圆k的半径r可以任意增大,只要圆k及其内部包含在D内即可,故 f(z)在解析点z.处的Taylor级数的收敛半径至少等于从.到D的边界上各点的最短距离结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第6页 6 D k  0 z z 把上面的式子代入(*), 1 0 0 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ] 2 ( ) n n k n f f z z z d i z      + = = −  −  0 1 0 0 1 ( ) ( ) 2 ( ) n n k n f z z d i z      + = = −  −  ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f z z z n  = = −  0 0 ( )n n n c z z  = = −  0 0 0 0 (1) , , , ( ) . z r z r k r k D f z z Taylor z D  −  级数 的收敛范围是以 为中心， 为半径的圆域 圆 的半径 可以任意增大 只要圆 及其内 部包含在 内即可 故 在解析点 处的 级数的 收敛半径至少等于从 到 的边界上各点的最短距离

第7页第四童解析函数的级数表示泰勒系数f(z)在z,的泰勒展式↑f(z)在z.的泰勒展开00Zf(z)=c,(z-zo)"n=0f(z)在z的幂级数展式f(z)在z.展成泰勒级数泰勒级数8(0)特别的当z=0时，级数n称为麦克劳林级数n!n=0结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第7页 7 0 0 ( ) ( )n n n f z c z z  = = −  0 f z z ( )在 的泰勒展式 0 f z z ( )在 的泰勒展开 0 f z z ( )在 的幂级数展式 0 f z z ( )在 展成泰勒级数 泰勒级数 泰勒系数 ( ) 0 0 (0) 0 n n n f z z n  = 特别的当 = 时，级数 称为麦克劳林级数. ！

第8页第四章解析函数的级数表示注(1)若f(z)有奇点，那么f(z)在解析点z的Taylor展开式的收敛半径R等于点z到f(z)的最近的一个奇点α之间的距离，即R=z-αl注(2）f(z)在z,的Taylor展开式是唯一的事实上，设f(s)用另外的方法展开为幂级数：f(z)=a +a(z- zo)+a,(z- zo)2 +...+a,(z-zo)" +..则f(z)=αo，再由幂级数的逐项性质得,f'(z) =a, +2a,(z- zo)+...+ na,(z - zo)"- + ...= '(zo)= al依此类推得，a，=(zo),n =0,1,2,...n!由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor级数，因而是唯一的结运回H束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第8页  0 1 1 1 2 0 0 f '(z) a 2a (z z ) na (z z ) f '(z ) a n = + − + + n − +  =  −  f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) 2 ++ an (z − z0 ) n + 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 则 f (z0 ) = a0 ，再由幂级数的逐项求导性质得，  ( ), 0,1,2, ! 1 , 0 ( ) = f z n = n a n 依此类推得， n ( ) . 注(2) f z 在z0 的Taylor展开式是唯一的 由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor 级数，因而是唯一的. 注(1) 若f (z)有奇点，那么f (z)在解析点 的Taylor展开式的收敛半径R等于点 到f (z)的最近的 一个奇点 之间的距离，即 0 z 0 z  0 R z = − | | 

第9页第四幸解析函数的级数表示注(3)f(z)在一点z,解析的五种等价说法：(1),f(z)在点z,的某一邻域内可导(定义);(2)f(z)=u+iv,u和v在点z.的某邻域内有连续偏导数且满足C-R方程;(3)f(z)=u+iv,u和v在点z.可微，且满足C-R方程;(4),f(z)在点z,的某邻域内连续且沿邻域内的任一条正向封闭路线的积分为0(5),f(z)在点z,的某一邻域内可展成幂级数结运回H束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第9页 0 注(3) f z z ( )在一点 解析的五种等价说法： 0 (1) ( ) ( ) f z z 在点 的某一邻域内可导 定义 ； 0 (5) ( ) . f z z 在点 的某一邻域内可展成幂级数 0 (4) ( ) 0; f z z 在点 的某邻域内连续且沿邻域内的任一条 正向封闭路线的积分为 0 (2) ( ) , ; f z u iv u v z C R = + − 和 在点 的某邻域内有连续偏导数 且满足 方程 0 (3) ( ) , ; f z u iv u v z C R = + − 和 在点 可微，且满足 方程

第10页第四童解析函数的级数表示函数展开成Tavlor级数的方法(1)直接法----利用公式;C0即 f(z)=c,(z-zo)",n=0其中cn=n = 0,1,2,..Q0n!(2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法来展开1例如1+z+z+...+z"+.., z<11-z结回束

结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第10页 10 (1)直接法-利用公式; (2)间接法-由已知函数的展开式，运用级数的代数 运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法来展开. 函数展开成Taylor级数的方法： ( ), 0,1,2, . ! 1 ( ) ( ) , 0 ( ) 0 0 = =  =  −  = f z n n c f z c z z n n n n n 其 中 即 例如 1 , 1. 1 1 2 = + + + + +  − z z z z z  n 