浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉氏变换 §3 卷积

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第九章拉普拉氏变换结运回P束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第九章 拉普拉氏变换

第2页240ctober2025第九童拉普拉氏变换3、积分性质LIf' f(t)dt) = = F(s).若LLf(t)]= F(s),则S证明： 设 h(t)=f" f(t)dt， 则h'(t) = f(t), h(O)= 0.于是L[h'(t)] = sL[h(t)] - h(O) = sL[h(t)],即f, f(t)dt)=↓ Lf(t) = = F(s).S?重复应用上式，可以得到f' dtf' dt. ' f()dt)= - F(s).结0达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第2页 3、积分性质 若L[ f (t)] = F(s),则 ( ). 1 [ ( ) ] 0 F s s f t dt t =  L 证明：设 ( ) ( ) , 0 = t h t f t dt 则 h'(t) = f (t), h(0) = 0. 于是 L[h'(t)] = sL[h(t)]− h(0) = sL[h(t)], 即 ( ). 1 [ ( )] 1 [ ( ) ] 0 F s s f t s f t dt t = =  L L 重复应用上式，可以得到 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ). t t t n dt dt f t dt F s s =    L

第3页240ctober2025第九章拉普拉氏变换另外，关于像函数的积分，有如下公式：若LLf(t)I = F(s),则(*)F(s)ds.- [' ds s.' (s)ds.特别地，在*式中令S=0则f(t)+8dt =F(s)ds.0t结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第3页 另外，关于像函数的积分，有如下公式： 若L[ ( )] ( ), f t F s = 则 ] ( ) . (*) ( ) [   = s F s ds t f t L 特别地，在*式中令s=0， 则 ( ) . ( ) 0 0 +   dt = F s ds t f t ( ) [ ] ( ) . n s s s f t L ds ds F s ds t    =   

第4页240ctober2025第九章拉普拉氏变换sint例4 求f(t)的拉氏变换t1所以解：因为L[sintl+1元ds = arctan sarctan s.2于是1sint元Od.ds = arctan22J01t+1sintdt思考题：JOt结口A束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第4页 例4 求 t t f t sin ( ) = 的拉氏变换. 解：因为 , 所以 1 1 [sin ] 2 + = s L t arctan . 2 arctan | 1 1 ] sin [ 2 ds s s t s t s = s = − + =     L 于是 . 2 arctan | 1 sin 1 0 2 0 0    +  = = + =  ds s dt t t 思考题： ? sin 0 =  +  − e dt t t t

第5页240ctober2025第九章拉普拉氏变换4、位移性质若LLf(t)]= F(s),则L[esot f(t)l= F(s-s), Re(s- s,)>c或者L"[F(s-S)]=es L-{F(s)]=eot f(t)证明：根据定义，得L[e" f(t)] = f~e" f(t)e-"t dt = (+" f(t)e-(s-so"dt= F(s-S.),Re(s - so) > c.这个性质表明了一个像原函数乘以et的拉氏变换等于其像函数位移s。.结DO悠回束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第5页 4、位移性质 若L[ f (t)] = F(s),则 [ ( )] ( ), Re( ) . 0 0 0 L e f t F s s s s c s t = − −  或者 1 1 0 0 0 [ ( )] [ ( )] ( ). s t s t L F s s e L F s e f t − − − = = 证明： 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ), Re( ) . s t s t s s t st e f t e f t e dt f t e dt F s s s s c + + − − − = = = − −    L . 0 0 s e s t 拉氏变换等于其像函数作位移 这个性质表明了一个像原函数乘以 的 根据定义，得

第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换例5 求_f(t)= e-at sinkt的拉氏变换k，所以解：因为 L[sin kt]=s+k2,kL[e-at sin kt] =(s+a)? +k2.例6 求f(t)=etm(m为正整数的拉氏变换m!解：因为L[tm] =sm+1m!所以L[e"(s -a)m+1结0口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 例5 求 f t e kt at ( ) sin − = 的拉氏变换. 解：因为 [sin ] 2 2 , 所以 s k k kt + L = . ( ) [ sin ] 2 2 s a k k e kt a t + + = − L 例6 求 f (t) e t (m为正整数) at m = 的拉氏变换. 解：因为 , ! [ ] +1 = m m s m L t 所以 . ( ) ! [ ] +1 − = m at m s a m L e t

第7页240ctober2025剪九章拉普拉氏变换5、延迟性质若LLf(t)l= F(s),又t<0时 f(t)=0,则对于任一非负实数，有Llf(t -t)l=e-st F(s)或者L-l[e-st F(s)] = f(t-t)证明：根据定义，得LIf(t-t) = (f(t -t)e-stdt- J" (t-t)e-"dt+ t f(t-t)e-"dt/f(t-t)e-stdt. 因t <t时 f(t -t)= 0结束0O口

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 L[ f (t )] e F(s). s  − − = 5、延迟性质 证明：根据定义，得  +  − − = − 0 L[ f (t )] f (t )e dt st   任一非负实数 ， 有 若 又 时 则对于  L[ f (t)] = F(s), t  0 f (t) = 0, 或者 [ ( )] ( ). 1   = − − − L e F s f t s 0 ( ) ( ) st st f t e dt f t e dt     + − − = − + −   ( ) . st f t e dt   + − = −  因 t f t  − =   时 ( ) 0

第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换t-t=u, 则令L[f(t -t)] = f+ f(u)e-s(u+t)du=e-stf(u)e-sudu =e-st F(s),Re(s) > c.注：(1) 对f(t)的要求： t<0时,f(t)=0.(2)f(t-t)的拉氏变换实际上是f(t-t)u(t-)的拉氏变换(3） e-s F(s)的拉氏逆变换实际应为f(t -t)u(t-t)结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 则 ( ) ( ), Re( ) . [ ( )] ( ) 0 0 ( ) e f u e du e F s s c L f t f u e du s s u s s u = =  − =   + − − − +  − +     令 t − = u, 注: ( ) 1 对f t t f t ( ) 0 , ( ) 0. 的要求：  = 时 ( ) ( 2 ( ) ( ) ) f t t t f u  − −   − 的拉氏变换实际上是 的拉氏变换. 3 ( ) ( ) ( ) ( ) . st f t e F s   u t − − − 的拉氏逆变换实际应 为

第9页240ctober2025第九章拉普拉氏变换2例 :设f(t)= sint,求LLf(t1解：由于L[sint]=s?+1所以由延迟性质知：T元Ll f(t -LsIsin(t-1=-=e22+由前面的注我们知道元TL-)u(tJ= sin(t-2+1元t >-cost.2元0,结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第9页 例： ( ) sin , [ ( )]. 2 f t t L f t  设 = − 求 解： 2 1 [sin ] , 1 L t s = + 由于 所以由延迟性质知： 2 2 2 1 [ ( )] [sin( )] [sin ] . 2 2 1 s s L f t L t e L t e s     − − − = − = = + 由前面的注我们知道 1 2 2 1 [ ] sin( ) ( ). 1 2 2 s L e t u t s  − −   = − − + cos , , 2 0, . 2 t t t    −   =    

240ctober2025第10页第九章拉普拉氏变换6、相似性质若LLf(t)]= F(s),a> 0,则LIf(at) =- F(-)证明：由拉氏变换的定义知LIf(at)]= (t f(at)e-st dt" f(u)e -"du = F(-)at =ua1结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第10页 6、相似性质 若L[ f (t)] = F(s),a  0,则 ( ). 1 [ ( )] a s F a L f at = 证明：由拉氏变换的定义知 0 [ ( )] ( ) st L f at f at e dt + − =  0 1 ( ) ( ). s u a s at u f u e du F a a + − = = 