浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉氏变换 §1 拉普拉斯变换的概念 §2 拉氏变换的性质

浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第九章拉普拉氏变换结运回P束

结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 第九章 拉普拉氏变换

第2页240ctober2025第九章拉普拉氏变换第八章拉普拉斯变换主要内容1、拉氏变换的概念和存在定理2、拉氏变换的性质3、卷积和卷积定理4、拉氏逆变换及其应用结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第2页 2 第八章 拉普拉斯变换 主要内容 1、拉氏变换的概念和存在定理 2、拉氏变换的性质 3、卷积和卷积定理 4、拉氏逆变换及其应用

第3页240ctober2025第九章拉普拉氏变换s1拉普拉斯变换的概念1、问题的提出傅氏变换具有广泛的应用，但有前提条件，除了满足狄氏条件之外，还要求函数在（一80，+80）绝对可积：即If(t)dt < o0.实际上这个条件非常强，对函数的要求较高因而一些常见的函数都不满足这一点.这就限制了博氏变换的应用结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第3页 3 §1 拉普拉斯变换的概念 1、问题的提出 傅氏变换具有广泛的应用，但有前提条件， 除了满足狄氏条件之外，还要求函数在 绝对可积：即 ( )  .  +  − f t dt 实际上这个条件非常强，对函数的要求较高， 因而一些常见的函数都不满足这一点.这就限制了 傅氏变换的应用. ( , ) − +

第4页240ctober2025第九章拉普拉氏变换中另外，通常在实际应用中的许多以时间1为自变量的函数往往在<0时是无意义的，或者不需要考虑的，像这样的函数也不能取傅氏变换我们的问题是：如何对函数进行适当修改才能克服上述缺点呢?结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第4页 4 另外，通常在实际应用中的许多以时间t 为自变量的函数往往在t<0时是无意义的， 或者不需要考虑的，像这样的函数也不能 取傅氏变换. 我们的问题是：如何对函数进行适当修改 才能克服上述缺点呢？

第5页240ctober2025第九章拉普拉氏变换网对于一个函数(t)，有可能因为不满足傅氏变换的条件，因而不存在傅氏变换.为此将 β(t)乘上u(t)，这样t小于零的部分的函数值就都等于0了。而大家知道指数函数 e-βt（β>O)下降的速度很快.因此，几乎所有的实用函数乘上u(t)，再乘上e-βt（β>O)后得到的函数的傅氏变换都存在结区口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第5页 5 对于一个函数 , 有可能因为不满足傅氏变 换的条件, 因而不存在傅氏变换.为此将 乘上 u(t), 这样t小于零的部分的函数值就都等于0了. 而大家知道指数函数 下降的速度很快. (t) (t) (  0) −   t e 因此, 几乎所有的实用函数乘上u(t)，再乘 上 (  0) 后得到的函数的傅氏变换都存在. −   t e

第6页240ctober2025第九章拉普拉氏变换对函数p(t)u(t)e-βt (β>O)取傅氏变换有+8f(t)e-(β+io)[ p(t)u(t)e-βte-iot dt =dt10f(t)e-st dt,其中s = β+io, f(t)=p(t)u(t)记为f+° f(t)e-"tdt = F(s).这样，对于给定的函数，经过两次修改再取傅氏变换后，结果产生了一种新型的积分。这就引出了拉普拉斯变换结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第6页 6 ( ) ( ) t i t t u t e e dt    + − − − 对函数(t)u(t)e − t (  0)取傅氏变换,有 这样，对于给定的函数，经过两次修改再取傅 氏变换后，结果产生了一种新型的积分. 这就引出 了拉普拉斯变换： ( ) ( ). 0 f t e dt F s s t 记 为 =  +  − ( ) 0 ( ) i f t e dt   + − + =  0 ( ) , st f t e dt + − =  其中s i f t t u t = + =    , ( ) ( ) ( )

第7页240ctober2025第九章拉普拉氏变换中2、拉氏变换的定义定义设函数f(t)当t≥0 时有定义，而且积分ft~f(t)e-"tdt (s是一个复参量)在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数(1)F(s)= (~ f(t)e-stdt称为函数f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换),记为F(s)=L f(t)]结口C1束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第7页 7 定义 设函数 f(t) 当 t 0 时有定义, 而且积分 ( ) ( ) 0  f t e s tdt s是一个复参量 +  − ( ) ( ) (1) 0 +  − F s = f t e dt s t 在 s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数 称为函数 f (t) 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记 为 F (s)=L [ f (t)]. 2、拉氏变换的定义

第8页240ctober2025第九章拉普拉氏变换中注：(1) F (s)称为,f(t) 的拉氏变换(或称为象数).而f(t)为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为也可记为f(t)F(s)f (t)=L-1[F(s)](2)f(t)的拉氏变换,即为f(t)u(t)e-βt的傅氏变换结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第8页 8 注： (1) F (s)称为 f (t) 的拉氏变换(或称为象数). 而 f (t)为F (s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为 f (t)=L−1 [F(s)] 也可记为 f (t)F (s). (2) ( ) ( ) ( ) t f t f t u t e 的拉氏变换 − ,即为 的傅氏变换

240ctober2025第9页第九章拉普拉氏变换中0,t0解：根据拉氏变换的定义，有F(s) = (e-stdt.这个积分在Re(s)>0时收敛,且有11+dt0NJoSS1所以L[u(t)] =(Re(s) > 0)s结达口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第9页 9 解：根据拉氏变换的定义, 有 例1 求单位阶跃函数 . 1, 0 0, 0, ( ) 的拉氏变换      = t t u t ( ) . 0 +  − F s = e dt st 这个积分在Re(s)>0时收敛, 且有 , 1 | 1 0 0 s e s e dt s t s t = − = − + +  −  (Re( ) 0). 1 [ ( )] = s  s 所以 L u t

240ctober2025第10页第九章拉普拉氏变换例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k E R)解：根据拉氏变换的定义，有I+e(k-s)t dt.F(s)= (+ekte-stdt =这个积分在Re(s)>k时收敛,且有11+ekt e-st+dt0k-ss-k1所以Lle(Re(s) > k).s-kk为复数时上式也成立，只是收敛区间为Re(s)>Re(k)结口束

结 束 返回 第九章 拉普拉氏变换 24 October 2025 第10页 10 例2 求指数函数 f (t) e (k R). k t = 的拉氏变换  ( ) . 0 ( ) 0  +  − +  − F s = e e dt = e dt kt st k s t 解：根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re(s)>k时收敛, 且有 , 1 | 1 0 ( ) 0 s k e k s e e dt kt st k s t − = − = − + +  −  (Re( ) ). 1 [ ] s k s k e kt  − 所以 L = k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为Re(s)>Re(k)