《高等代数与解析几何》课程教学资源（书籍教材）高等代数新方法（下，王品超）

前言《高等代数新方法》（上册）一书问世以来，倍受广大师生的欢迎，此书在考研中发挥了重要作用：就曲阜师范大学数学系而言，多年来考研通过率在50%左右，2002年达到60%，该系的“代数选讲”基本教材就是《高等代数新方法》（上册）.为了适应考研需要，我们在多年考研辅导的基础上又编写了《高等代数新方法》（下册），下册的有些解题方法沿用了上册，但绝大部分解题方法则是近几年创新的.《高等代数新方法》（下册）收集了大量全国重点院校新的考研试题，也有不少题目是我们的创新题目，这些题目既有一定难度和代表性，又很新颖.《高等代数新方法》上、下册结合在一起可作为“代数选讲”教材及教学参考书.需要说明的是书中有些题目用到了多章内容，但在编排上以用到的主要章节内容为准.在编写过程中难免有误，请读者不各指正：作者2003年6月

目录第一章多项式。81一元多项式182多项式的整除性383多项式的最大公因式484多项式的分解5$5有理系数多项式..686复、实系数多项式1问题探讨8第二章行列式54$1行列式的性质5482行列式的乘法和展开。543行列式的分块和广义初等行列式.55问题探讨60第三章矩阵11281矩阵的概念及运算....11282逆矩阵、初等变换和初等矩阵11583分块矩阵及它的广义初等变换119$4·矩阵的秩·121...$5方阵的特征值、特征多项式与最小多项式..12286方阵相似标准形124.1

问题探讨126第四章线性方程组285...28581方程组的求解$2线性方程组解的结构285问题探讨286第五章二次型和实对称矩阵，319$1二次型的简化和方阵的合同31982惯性定律和二次型的分类32083正定二次型与正定矩阵321.$4半正定二次型和Hermite型322..问题探讨323第六章线性空间和线性变换.37981线性空间的基本性质.37982基、维数和坐标变换.379..$3子空间......38084线性变换与线性空间的同构38285线性变换与矩阵383S6线性变换的象空间，核空间，不变子空间及特征值，特征向量383问题探讨.384第七童欧氏空间513$1、内积和Gram矩阵的半正定性51382正交向量组和欧氏空间的自同构515....83共轭变换与自共轭变换、正交变换516.2

S4正射影51785酉空间简述...518问题探讨519第八童双线性函数579$1线性函数.579-$2对偶空间57983双线性函数580S4对称双线性函数581问题探讨：583:3:

第一章多项式81一元多项式一、加法数域P上的一元多项式之全体构成的集合记为P[定义f(r)，g(α)EP[a],在其中适当添上一些系数为零的项，总可设f(x)0.7g(r)=b,r含 h(r)=（a+b)r.显然h(r）EPl,称h(）为f(r）1-0与g(α）的和，记为f()+g(r)(a,+b)r.1=0(—b)x,显然一g(r)EP[r],称一g(α)为令-g(r)=g(）的负元,记f(r）一g(r)=f(r）+（一g(r))不难验证，多项式的加法有如下性质：()f(r)+g(r)=g(r)+f(r);(ii)(f(r)+g(r))+h()=f(r)+(g(r)+h(r));(m)f(r)+(f(r))=0.由(u)可定义.1:

fi(r)+f(r)+...+f.-()+f.(r)=(f(r)+f()+..+f.-(r))+f.(r).这里n≥3.二、乘法定义Vf(r),g()EP[r],设Yat',f(r) =g(1)hd令h(r)=(ab+ar-b++aob,)r,a=o(k>n),bo=0(l>m),显然h(r）EP[],称h(r）为f(r）与g(r)的积，记为(Zab,)rf(r)g(r)=不难验证对于多项式的乘法具有以下性质：(i) f(r)g(r)=g(r)f(r);(ii)(f(r)g(r))h(r)=f(r)(g()h(r)):(il)(f(r)+g(r))h(r)=f(r)h(r)+g(r)h(r);(iv）若f（r），g（r)EP[.且全不为零，则f(r)g(r)0,从而若f()h）=g()h(），且h()0,则f(r)=g(r).三、次数定义f(a)EP[α]，f()≠0,称f(r)中不为"o"的项的最高次数为该多项式的次数，记为a(f(r))或a(f(r))或degf(r),零多项式没有次数下面各式中出现的多项式均为非零多项式，如下性质成立：(i)(f()±g(r))≤max((f(r)),a(g(r)));(ii)(f(r) .g(r))=(f())+a(g(α))..2

$2多项式的整除性一、整除及其性质定义设(）g()EP,若g)E[],使得f(r)=g(r)g(r),称g（r)能整除f(r），记为g(r）lf(z），否则称g（r)不能整除f(r),记为g(r)f(a)有下列性质：（i）任一多项式可整除零多项式：(ii）c、cf(r)均能整除f(r）,这里c为非零常数：(ii)若f(r)lg(r),g(z)h(r),则f(a)/h(r);(iv）若f(r)|g(r)(i=1.2,."*,s),则Vu(r)EP[rJ(i=1,2,",s),有f（r）u(r)g(r);ial(V)f()Ig(),且g(α)f(x)f()=cg(),c≠0,cEP.二、带余除法定理2.1设f(r)EP[],则对g(r)EP[].g(r)≠03g(),r()使得f()=g(r)g(r）十r(),其中r(）=0或者(r(r))<(g(r)),且这样的g(a),r()由f(r)，g()惟一确定，分别称为商式与余式。推论设f(r).g()EP[],g()≠,则g()lf()r(r)=0..3:

83多项式的最大公因式一、最大公因式定义设f(r)，g(r)EPLr,若有(i)d(r)为f(r)与g(a)的公因式(ii）f(r)与g(r)的任个公因式都能整除d()，称d(r)为f(r）.g（r）的最大公因式定理3.1Vf(r)g(r)EPJ,必存在f()与g(r)的最大公因式d(r）EPrl，且有u（r），v(r)EP[r,使得u(r)f(r)+u(r)g(r)+d(r)由最大公因式的定义可知，若di（），dz(a）同时为f（r），g（）的最大公因式时，则d（）d（），d（）ld,（），故有d（）二cdzx），c0，这表明，两个多项式的最大公因式之间最多相差一个非零常数因子，f（），g（r）不全为零时，其最大公因式非零，我们把其中首项系数为1（简称首1)的最大公因式记为（fg）对于P[z中m（m≥2)个多项式f（r），fz(r），，fm（r）)的最大公因式，我们完全可以像两个多项式的最大公因式那样去定义，并且可以得到同样的存在“惟一”性定理及表达定理.具体去求m个多项式的最大公因式，固然可以用辗转相除法，但是计算繁杂，我们将在第三章$2中介绍利用矩阵及矩阵初等变换求最大公因式的简便方法，二、互素及其有关性质定义设f(x)，g(r)EP[r],若(f.g)=1,称f(α)与g()互素.定理3.2f(r)，g()EP[a,则(f,g)=13u(r）,u(r)EPL],使.4

u(r)f(r)+u()g(r)=1l.推论1若f(r)=f(r)(f，g）.g(r)=gi()(f,g),则(f1.gl)=1.推论2若（g1,f)=1（g2,f)=1,则(g1g2,f)=1.推论3若f(r）/g1(r)g2(),且（f.g)=1,则f(r)/g2(r).推论4若f,(r）g(),f(r）g()且（fifz)=1,则fi(r)fz(r)/g(r)84多项式的分解一、不可约多项式及其性质定义设(）EP[且(())≥l,如果(）不能分解为P[]中两个次数比p()低的多项式之积，称p(r)在P上不可约，否则称p(）在P上可约命题1设()E[],(())≥则()不可约）只有形如c与c）的因式，这里0cEP命题2若p()为P上的不可约多项式，则f(）EP[]，或者plf或者（p，f)=l命题3若p(r)为P上的不可约多项式，则对f(),g()EP[)只要pfg，就必有plf或plg，命题3若（）为P上的不可约多项式，p(r)lfi(r).f,(r),s≥2,则 ip()lf()(1≤<s).二、分解定理定理4.1设f()EP[且(f())≥1,则:5

(i）f(r)必可分解为P上的有限个不可约多项式的乘积；(ii）如果f(r)=p(r)p()."p,(r)=qi(r)q2(x).q(r)其中p（),q(）i=1,2，，s，j=1,2，,t)为P上的不可约多项式，则s=t且适当调整因式的次序后有p(r)=cqi(r),i=1,2,",s,其中c(i=1,2,，s)为P的非零常数设f()EP[l,a(f(r))≥l,若(1)f(r)=cpi(r)."pp(r)这里c0,p()为首1的不可约多项式，j时p(r)p,()(i,j一1,2，，s），称（1)式为f（)的标准分解式三、重因式定义定义(）为P上的不可约多项式满足p(）lf(r）而p++1()f(）)称p()为fr)的k重因式（这里k为非负整数）当k=0时，p()不为f(r)的因式，当k=1时，称p(r)为f()的单因式，当k>1时，称p(r)为f()的重因式定理4.2若不可约多项式p(z）是f(r）的k重因式（k≥1)，则p(r)是f(r)的(k一1)重因式推论1不可约多项式p(r)是f(r)的重因式台p(r)为f(r）与于（)的公因式推论2f(r)无重因式(f(r)f（r))=185有理系数多项式定义设f(r）为整系数多项式，如果fr)的各项系数的最大公因数是1，称f（）为本原多项式引理1两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.6