广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.1 点估计

第七章参数估计第一节点估计一、点估计问题的提法二、估计量的求法三、小结概率论与数理统计（第4版）

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结

7.1点信针一、点估计问题的提法设总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量,假设它服从以>0为参数的泊松分布，参数为未知，现有以下的样本值试估计参数入

一、点估计问题的提法 设总体X 的分布函数形式已知, 在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的次 数 X 是一个随机变量,假设它服从以  0为参数 的泊松分布, 参数  为未知, 试估计参数 . 现有以下的样本值, 但它的一个或 总体未知参数的值的问题称为点估计问题. 多个参数为未知, 借助于总体X的一个样本来估计 例1

7.1点信针着火次数k0123456≥7发生k次着759054222.6Z = 25011火的天数n解 因为X ～π(2), 所以 =E(X)用样本均值来估计总体的均值E(X).6ZknkX = k=00×75+1×90+2×54+3×226250Znkk=0+4×6+5×2+6×1)=1.22故E(X)=的估计为1.22

75 90 54 22 6 2 1 0 250 0 1 2 3 4 5 6 7 =   nk k k 火的天数 发 生 次 着 着火次数 解 因为X ~ π(), 所以  = E(X). 用样本均值来估计总体的均值 E(X) . x (0 75 1 90 2 54 3 22 250 1  +  +  +  + 4  6 + 5  2 + 6 1) =   = = 6 0 6 0 k k k k n kn = = 1.22. 故 E(X) =  的估计为1.22

7.1点信针点估计问题的一般提法设总体X的分布函数F(x:①)的形式为已知0是待估参数.X,X2,.,X，是X的一个样本,Xi,2,,x,为相应的一个样本值.点估计问题就是要构造一个适当的统计量(X,X2,..,X,),用它的观察值 0(x1,X2,".,xn)来估计未知参数é(X,X,,,X,)称为的估计量)通称估计(xi,x2,…,x,)称为0的估计值。「简记为

点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x; )的形式为已知， , , , . x1 x2  xn 为相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 ( , , , ), ˆ  X1 X2  Xn ( , , , ) ˆ 用它的观察值 x1 x2  xn 来估计未知参数 . 是待估参数. , , , , X1 X2  Xn 是 X的一个样本 ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称 为 的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称 为 的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

7.1点估计二、估计量的求法由于估计量是样本的函数，是随机变量，，故如何对不同的样本值，得到的参数值往往不同，求估计量是关键问题常用构造估计量的方法：（两种）矩估计法和最大似然估计法

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 矩估计法和最大似然估计法. 求估计量是关键问题. 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 是随机变量, 故 常用构造估计量的方法: (两种)

7.1点信针1.矩估计法设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x;,,,0k),或X为离散型随机变量,其分布律为P(X =x) = p(x;01,02,..,0),其中,β2,…,为待估参数，Xi,X2,..,X,是来自X的样本

1. 矩估计法 设 X为连续型随机变量, 或 X 为离散型随机变量, 布律为P{X = x} , , , , 其 中1  2   k 为待估参数 其概率密度为 ( ; , , , ), x 1 2 k f     ( ; , , , ), p x  1  2   k , , , , X1 X2  Xn 是来自X的样本 其分 =

7.1点信针假设总体X的前k阶矩μ,=E(X")= x" f(x;1,2,,0)dx(X为连续型)或 μ, =E(X')=Zx'p(x;01,02,,0) (X为离散型)xeRx = 1,2,..,k存在(其中R是x可能取值的范围

l ( ) (X为离散型) l = E X = ( ; , , , ) 1 2 k x R l x p x X       或 l = ( ) (X为连续型) l E X = x f x k x l ( ; 1 , 2 ,, )d + − 存在(其中R 是 x可能取值的范围) . X l = 1,2,,k 假设总体X的前 k阶矩

7.1点估计矩估计法的定义用样本矩来估计总体矩用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数这种估计法称为矩估计法矩估计法的具体做法令 μ, =A, I =1,2,...,k.这是一个包含k个未知参数,z,,,的方程组解出其中,,.….,.用方程组的解é,é,,.…,,分别作为,,,,,的估计量，这个估计量称为矩估计量矩估计量的观察值称为矩估计值

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩, 矩估计法的具体做法: A , l 1,2, ,k. 令 l = l =  , , , , 这是一个包含k个未知参数1  2   k的方程组 , , , . 解出其中1  2   k 用方程组的解 ˆ 1 , ˆ 2 ,  , ˆ k 分别作为1 ,2 ,  ,k 的 矩估计量的观察值称为矩估计值. 估计法. 数来估计总体矩的连续函数, 这种估计法称为矩 用样本矩的连续函 估计量, 这个估计量称为矩估计量

7.1点信针例2设总体X在[a,b]上服从均匀分布,其中a,b未知，（X,X2,,X,）是来自总体X的样本，求a，b的估计量，a+b解μ= E(X)=2(a-b)2(a+ b)μz =E(X°)=D(X)+[E(X)}° =124a+b12Xi令A=2ni=1K

例 2 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布, 其中a, b未知, ( , , , ) , X1 X2  Xn 是来自总体X的样本 求a, b 的估计量. 解 1 = 2 , 4 ( ) 12 ( )2 2 a b a + b + − 2 D ( X ) + [E ( X)] = E(X) , 2 a + b = ( ) 2 E X = = 2 a + b =A1= , 1 1 =ni Xi n 令

7.1点信针(a-b)2(a+ b)2=A,=2x,+124i1a+b= 2Al,即b -a= /12(A, - A°)解方程组得到a，b的矩估计量分别为Z(X, -X),a= A, - /3(A, - A°)= X -n3Z(X, - X).b= A1 + /3(A, - A°) = X +ni=1K

4 ( ) 12 ( ) 2 2 a b a + b + − = = A2 , 1 1 2 = n i Xi n     − = − + = 12( ). 2 , 2 2 1 1 b a A A a b A 解方程组得到a , b的矩估计量分别为 a ˆ = b ˆ = 即 = 3( ) 2 A1 − A2 − A1 ( ) , 3 1 2 = − − n i Xi X n X = 3( ) 2 A1 + A2 − A1 ( ) . 3 1 2 = + − n i Xi X n X