广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第七章 参数估计 7.7 单侧置信区间

第七章参数估计第七节单侧置信区间一、问题的引入二、 基本概念三、小结概率论与数理统计（第4版）

第七节 单侧置信区间 二、基本概念 一、问题的引入 三、小结

7.7单创宝信百向一、问题的引入在以上各节的讨论中，对于未知参数，我们给出两个统计量①,0,得到e的双侧置信区间(E,)但在某些实际问题中，例如，对于设备、元件的寿命来说，平均寿命长是我们希望的，我们关心的是平均寿命的“下限”；与之相反，在考虑化学药品中杂质含量的均值u时，我们常关心参数u的“上限”这就引出了单侧置信区间的概念

一、问题的引入 得到的双侧置信区间( , ). 在以上各节的讨论中, 对于未知参数 , 我们 给出两个统计量 , , 但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿 命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是 平均寿命的“下限”; 与之相反, 在考虑化学药品 中杂质含量的均值 时, 我们常关心参数 的 “上限”. 这就引出了单侧置信区间的概念

77单创宝信百向二、 基本概念1.单侧置信区间的定义1对于给定值α(00≥1-α,则称随机区间(θ,+)是θ的置信水平为1-α的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为1一α的单侧置信下限

二、基本概念 1. 单侧置信区间的定义 P{   }  1 −, 侧置信下限 . 对于给定值 (0    1), , , , 若由样本 X1 X2  ( , , , ), Xn 确定的统计量 =  X1 X2  Xn 对于任意   满足 则称随机区间(, + ) 是 的置信水平为1 − 的 单侧置信区间,  称为 的置信水平为1 − 的单

77单创信百尚又如果统计量 =0(X,X,,X,), 对于任意日E①满足P(0<0)≥1-α,则称随机区间(-0,)是θ的置信水平为1-α的单侧置信区间,θ称为的置信水平为1－α的单侧置信上限

( , , , ), 又如果统计量  =  X1 X2  Xn 对于任 意  满足 置信上限. P{  }  1 −, 则称随机区间(− ,  ) 是 的置信水平为1 − 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 −的单侧

7.7单创信百向2.正态总体均值与方差的单侧置信区间例如对于正态总体X，若均值u，方差。2均为未知,设 X,X2,…,X,是一个样本,由X-μ~ (n-1),S/nP(e (-/-a有BS即Plu>X- %t(n-1)=1-α,K

2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间 方差 2 均为 , , , , 设 X1 X2  Xn 是一个样本 ~ ( 1), / − − t n S n X         − − ( 1) / t n S n X P   例如对于正态总体X， 若均值, 未知, 由 有 = 1−,        − t (n − 1) n S 即 P  X  = 1−

7.7单创宝信日向于是得μ的一个置信水平为一α的单侧置信区间SX.一t(n -1), + 0u的置信水平为1-α的置信下限Sμ =X_-=tα(n -1),n(n -1)s2又由~ x(n-1),921)S2n有xi-α(n-1)/=1-α,2a

( 1),  ,   − t n − +  nS X   的置信水平为1 − 的置信下限 = − t (n − 1). nS X  于是得 的一个置信水平为1− 的单侧置信区间  ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   又由 = 1 −  ,    − − − ( 1) ( 1) 2 2 1 2 n n S P    有

77早侧军信石尚(n-1)s2Plo?即=1-α,xi-α(n -1)于是得2的一个置信水平为1一α的单侧置信区间(n -1)s20xi-α(n -1)。2的置信水平为1一α的单侧置信上限2 = (n-1)s2xi-α(n-1)

, ( 1) ( 1) 0, 2 1 2         − − − n n S   1  2 的置信水平为 −  的单侧置信上限 即 =1 −,       − −  − ( 1) ( 1) 2 1 2 2 n n S P    于是得 2 的一个置信水平为1 − 的单侧置信区 间 . ( 1) ( 1) 2 1 2 − − = − n n S   2 

7.7单创宝信百向例设从一批灯泡中，随机地取5只作寿命试验测得寿命（以小时计)为1050，1100，1120，12501280，设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限解1- α= 0.95,n= 5,x =1160,te(n -1) = to.os(4)= 2.1318, s2 = 9950,u的置信水平为0.95的置信下限t(n-1)=1065.u=x-补充例题

解 1 − n = 5, x = 1160, 2.1318, 9950, 2 s =  的置信水平为0.95的置信下限 例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. = 0.95, t (n − 1)  (4) 0.05 = t =  = − t (n − 1) 1065. n s x  = 补充例题

77单创信百向三、小结正态总体均值u的置信度为1一α的单侧置信区间SX00, X +n-1),t(n-1)on单侧置信上限证单侧置信下限山正态总体方差2的置信度为1一α的单侧置信区间(n-1)s20xi-α(n-1)单侧置信上限。R

. ( 1) ( 1) 0, 2 1 2         − − − n n S   三、小结 ( 1), ,      − t n −  n S X  正态总体均值的置信度为1 − 的单侧置信区间 1 正态总体方差 2 的置信度为 −的单侧置信区间 , ( 1),      −  + t n − n S X  单侧置信上限 单侧置信下限 2 单侧置信上限