广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第六章 样本及抽样分布 6.3 抽样分布

第六章样本及抽样分布第三节抽样分布一、基本概念二、常见分布三、小结概率论与数理统计（第4版）

第三节 抽样分布 一、基本概念 二、常见分布 三、小结

6.3抽样分布一、基本概念1.统计量的定义设X,X,,,X,是来自总体X的一个样本，g(X,X2,.,X,)是X,X,,".,X,的函数，若g中不含未知参数，则称 g(Xj,X2,…,X,)是一个统计量设x,x2,.,x,是相应于样本X,X,,,X的样本值,则称g(xi,X2,",xn)是 g(Xi,X2,",Xn)的观察值，K

一、基本概念 1. 统计量的定义 不含未知参数, 的观察值. , , , , 设 X1 X2  Xn 是来自总体X 的一个样本 ( , , , ) , , , , g X1 X2  Xn 是 X1 X2  Xn的函数 计量. 若g中 则称 g(X1 ,X2 ,  ,Xn ) 是一个统 x x xn X X Xn , , , , , , 设 1 2  是相应于样本 1 2  的样本值, ( , , , ) ( , , , ) 则称g x1 x2  xn 是 g X1 X2  Xn

6.3抽样分布实例1 设X,,X,X,是来自总体N(μ,α)的一个样本,其中μ为已知,2为未知,判断下列各式哪些是统计量哪些不是？T = Xi,T, = X +X,e*是T, = +(X++X, + X),， Ts=Xi+X2-2μT = max(Xi,X2,X3),T,==(X+X+X3).不是

, ? , , , , , ( , ) 2 2 1 2 3 些是统计量 哪些不是 样 本 其 中 为已知 为未知 判断下列各式哪 设 是来自总体 的一个   X X X N   , T1 = X1 , 3 2 1 2 X T = X + X e ( ), 3 1 T3 = X1 + X2 + X3 max( , , ), T4 = X1 X2 X3 2 , T5 = X1 + X2 −  ( ). 1 2 3 2 2 2 T6 2 X1 + X + X  = 是 不是 实例1

6.3抽样分布2.几个常用统计量的定义设X,X2,.…,X,是来自总体的一个样本,Xi,X2,,x,是这一样本的观察值Z二X =(1)样本平均值Xinil"2i其观察值x-n(2)样本方差Zx?-nx?S2=Z(X,-X) =nn--

2. 几个常用统计量的定义 , , , , 设 X1 X2  Xn 是来自总体的一个样本 (1) 样本平均值 ; 1 1 = = n i Xi n X (2) 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 = . 1 1 = = n i xi n 其观察值 x , , , . x1 x2  xn 是这一样本的观察值 . 1 1 1 2 2       − − = n i Xi nX n

6.3抽样分布其观察值之(x,-x)= ,(2xi-nx)n-li(3)样本标准差Z(X,-X) ;S=/S=,-Z(x; - x)2 .其观察值S=KO

其观察值 = − − = n i xi x n s 1 2 2 ( ) 1 1 = (3) 样本标准差 2 S = S 其观察值 ( ) . 1 1 1 2 = − − = n i xi x n s . 1 1 1 2 2       − − = n i xi nx n ( ) ; 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n

6.3抽样分布Ax --2x , =1,.;(4）样本k阶（原点）矩ni=l其观察值α-}x,= 1,2,….ni=l(5）样本k阶中心矩B, -↓Z(X, -X)*, =2,3,.;nbe - -2(x, - x)* , k = 2, 3, ..其观察值ni=lK

(4) 样本k 阶(原点)矩 , 1, 2, ; 1 1 =  =  = X k n A n i k k i 其观察值 , 1, 2, . 1 1 =  =  = x k n n i k  k i (5) 样本k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1 =  − =  = X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1 =  − =  = x x k n b n i k k i

6.3柚样分布由以上定义得下述结论：若总体X的k阶矩E(X）记成μ存在则当n →o时, Ak →μk, k =1, 2,…..证明因为X,X,,…,X,独立且与X同分布,所以Xk,X,.,Xh独立且与X同分布故有 E(Xh)=E(X,)=. =E(X,)=μk再根据第五章辛钦定理知辛钦定理12x→μ, k=1,2, .;ni1R

若总体 的 阶矩 ( ) 记成 存在, k k X k E X  证明 , , , , 因为X1 X2  Xn 独立且与X 同分布 , , , , 所以X1 k X2 k  Xn k 独立且与X k同分布 ( ) 1 k 故有 E X 再根据第五章辛钦定理知 由以上定义得下述结论: 则当n → 时, , k P Ak ⎯→ k = 1, 2,  . ( ) 2 k E X  ( ) k E Xn . k , 1, 2, ; 1 1  ⎯→ =  = X k n k P n i k i  = = = = 辛钦定理

6.3柚样分布由第五章关于依概率收敛的序列的性质知g(A,A,,Ak)g(uiun,,uk)其中g是连续函数以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据

由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 ( , , , ) ( , , , ), 1 2 1 2 k P g A A  Ak ⎯→g     其中g是连续函数. 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理 论根据

6.3抽样分布3.经验分布函数总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验分布函数。经验分布函数的做法如下：设X,X,,X,是总体F的一个样本,用S(x)(-0 <x<+o0)表示Xj,X2,,X,中不大于x的随机变量的个数定义经验分布函数F(x)为F,(x)= S(x),-8<x<+8.nK

3. 经验分布函数 总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验 经验分布函数的做法如下: , , , , 设 X1 X2  Xn是总体F的一个样本 ( )( ) , , , 用S x −  x  + 表 示 X1 X2  Xn中不大于 定义经验分布函数F (x)为 n ( ) , . 1 ( ) = S x −   x  + n F x n 分布函数 . x 的随机变量的个数

6.3柚样分布对于一个样本值，F.(x)的观察值容易求得(F,(x)的观察值仍以F,(x)表示.)实例 设总体F具有一个样本值1,2,3,0,x<1,11≤x<2,则经验分布函数3”Fs(x)=2-F(x)的观察值为2≤x<33'x≥3.1K

对于一个样本值 , (F (x)的观察值仍以F (x) 表示.) n n 实例 设总体F 具有一个样本值 1, 2, 3, 则经验分布函数          F (x)的观察值容易求得. n ( ) F3 x 的观察值为 1, , 3 2 , 3 1 0, ( ) F3 x = x  1, 1  x  2, 2  x  3 x  3