广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.2 边缘分布

第三章多维随机变量及其分布第二节边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布四、 小结概率论与数理统计（第4版）

第二节 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、 小结

3.2边缘分布一、边缘分布函数问题：已知(X,Y)的分布,如何确定X,Y的分布？几F(x,y)=P(X≤x,Y≤ y),F(x)=P(X≤x,P(X≤x}= P[X≤x,Y<00}= F(x,00)=Fx(x)几(X,Y)关于X的边缘分布函数

F(x, y) = P{X  x,Y  y}, F(x) = P{X  x}, P{X  x}= P{X  x,Y  }= F(x,) F (x) X (X ,Y )关 于X的边缘分布函数. 问题 : 一、边缘分布函数 已知(X,Y )的分布,如何确定X,Y 的分布? =

3.2边缘分布定义 设 F(x,J)为随机变量（X,Y)的分布函数，则F(x,J)= P(X≤x,Y≤y).令 y→00, 称 P(X≤ x}= P[X≤ x,Y<00} = F(x,0)为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数.记为Fx(x) = F(x,00).同理令 x→80,F(y) = F(00,y) = P[X <00,Y ≤y) = P[Y≤y)为随机变量（X,Y）关于Y的边缘分布函数

F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y =  =    =  为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. F (x) = F(x,). X 同理令 x → , 则 F(x, y) = P{X  x,Y  y}. 令 y → , 称 P{X  x} = P{X  x,Y  } = F(x,) 为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数 . 设 F( x, y) 为随机变量 (X ,Y )的分布函数 , 记为

3.2边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布律定义 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P[X = x,Y = y,}= Pi,i, j=1,2,...Z p, = P(X = xi], i = 1,2,,记 Pi. =j=1P.j = Zp, = P(Y = yj小, j = ,2,,i-1分别称 pi. (i = 1,2,.) 和 p., (j =1,2,.)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律

二、离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布 律为 { , } , i j pij P X = x Y = y = i, j = 1,2,  . 记 pi• =   j=1 pij = p• j =   i=1 pij = { }, j P Y = y j = 1,2,  , { }, P X = xi i = 1,2,  , p (i 1,2, ) p ( j 1,2, ) (X,Y) 分别称 i• =  和 • j =  为 关于 X 和关于Y 的边缘分布律

3.2边缘分布XxiX2XiYyPi1P21Piy,P12P22Pi2.pVD动8ZP(X = x;} =Pj, i = 1,2,...i=-18PY = y,} - Ey, j - ],..1

{ } , 1,2, ; 1 = =  =   = P X x p i j i ij { } , 1,2, . 1 = =  =   = P Y y p j i j ij X Y x1 x2  xi    j y y y 2 1 p11 p21  pi1  p12 p22  pi 2     p1 j p2 j  pij    

3.2边缘分布因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为8ZFx(x)= F(x,00) =Pijx,≤xj=18Fy(y) = F(00,y) = ZZ)PiJjsyi=lK

F ( x) X F ( y) Y 因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布 , 1    = = x x j ij i = F(x,) p . 1    = = y y i ij j = F(, y) p 函数分别为

3.2边缘分布例1已知下列分布律，求其边缘分布律01161249499124949

已知下列分布律， X Y 0 1 49 16 49 12 49 12 49 9 1 0 例1 求其边缘分布律

3.2边缘分布解1P.j4-732-46-4424+国743-7Pi.7注意联合分布边缘分布

X Y 0 1 42 12 42 12 42 12 42 6 1 0 i• p p• j 注意 联合分布 边缘分布 解 + + + + 7 4 7 3 1 7 4 7 3

3.2边缘分布例如X1P.jV4-731-10-416一44+国7一314Pi.77注意到(X,Y)与(X1,Y)有相同的边缘分布，但联合分布完全不同！大

0 1 1 0 i• p p• j 注意到 𝑿, 𝒀 与(𝑿𝟏, 𝒀𝟏)有相同的边缘分布，但 联合分布完全不同！ 例如 + + + + 7 4 7 3 1 7 4 7 3 16 49 12 49 16 49 12 49 X1 Y1

3.2边缘分布例2一整数 N 等可能地在1,2,3,.,10十个值中取一个值.设D=D(N)是能整除N的正整数的无法显示该图片，(注的个数，意1不是素数).试写出D和F的联合分布律,并求边缘分布律解样本点1210XDF由此得D和F的联合分布律与边缘分布律：

例 2 一整数 N 等可能地在1,2,3,,10 十个值中 取一个值 . 设 D = D(N ) 是能整除 N 的正整数的 的个数 , 意 1不是素数). ( 注 试写出 D 和 F的联合分布律, 并求 边缘分布律 . 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 由此得 D和F 的联合分布律与边缘分布律: 样本点 DF