广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

第二章随机变量及其分布第三节随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、分布函数的性质三、例题讲解四、小结概率论与数理统计（第4版）

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结 第三节 随机变量的分布函数

2.3随机变量的分布西数一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X，我们不仅要知道X取哪些值要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知道X在任意有限区间（a,b）内取值的概率例如 求随机变量X落在区间(xi,x)内的概率。P(x <X≤xHP(X≤x,)P(X≤xF(x2)F(x)分布函数P(x <X≤x) =F(x)-F(x)K

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布 函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入

23随机变量的分布西数2.分布函数的定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P(X≤ x) ,18<XΛ8称为X的分布函数说明(1）分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况(2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数. 设X是一个随机变量, x是任意实数, 函数 F(x)=P{X  x}, −   x   称为X的分布函数

2.3随机变量的分布西数实例抛掷均匀硬币，令[1,出正面，X=出反面.[0,求随机变量X的分布函数解 p[X =1) = p[X = 0}=x0当x<0时，F(x)= P(X≤x<0)= 0 ;R

实例 抛掷均匀硬币, 令    = 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. 解 p{X = 1} = p{X = 0} , 2 1 = 当 x  0时 , F(x) = P{X  x  0} = 0 ; • 0 • 1

2.3随机变量的分布西数1xx0当0≤x<1时，F(x) = P[X ≤ x}= P[X = 0}=1当x≥1时，0,x<0,F() = P(X≤ x)1= P(X=0+P(X=1) 得 F(x)=0≤x<1.2[1,x≥1.22

当0  x  1时 , F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 2 1 = 当 x  1时 , F(x) = P{X  x} = P{X = 0}+ P{X = 1} 2 1 2 1 = + = 1 .            = 1, 1 . , 0 1 , 2 1 0, 0 , ( ) x x x 得 F x • 0 • 1

2.3随机变量的分布西数二、分布函数的性质1° F(x)是一个不减函数事实上,由定义知对任意实数i,(<x)有F(x2)-F(x)=P(x <X≤x,}≥ 0 .2° 0≤F()≤1,且F(-80)=lim F(x)=0 ,X-→-8F(o0) =lim F(x)=1.X-→00

二、分布函数的性质 1 F(x)是一个不减函数.  事实上, , ( ) , 由定义知对任意实数x1 x2 x1  x2 有 ( ) ( ) F x2 − F x1 = { } P x1  X  x2  0 . 2 0  F(x)  1 ,  且 F(−) =lim F(x) x→− = 0 , F() =lim F(x) x→ = 1

23随机变量的分布西数证明 F(x)=P[X≤x},当x越来越小时，P[X≤x}的值也越来越小,因而当x→-时,有lim F(x)= lim P(X ≤ x) = 0;x→-8X-80x8同样，当x增大时PX≤x!的值也不会减小，而X E(-00,x) ,当x → 80 时,X 必然落在(-80,80)内08x所以lim F(x) = limP(X ≤ x) =1 .X-00X→0

F(x) = P{X  x}, lim ( ) = lim {  } = 0； →−  →−  F x P X x x x 证明 当x 越来越小时, P{X  x}的值也越来越小,因而当x → −时,有 ( , ) , , ( , ) . , { } , 当 时 必然落在 内 同 样 当 增大时 的值也不会减小 而  − →  −   X x x X x P X x lim ( ) = lim {  } = 1 . → → F x P X x x x 所以 o o

2.3随机变量的分布西数3°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的↑F(x)0,xa) =1- F(a).K

3 F(x + 0) = F(x) ,  即F(x)是右连续的.              = 1, . , , , 0 , 0, 0 , ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x o x F(x) • 1 x • 2 x  p1  2 p 1 注意 P{X  a} = 1 − F (a)

2.3随机变量的分布西数重要公式(1) P(aa) =1 - F(a) .证明 因为 (X≤b}=(X≤a)Uia<X≤b),X≤ania<X≤b)=,所以 P(X≤b)=PX≤a)+P(a<X≤b),故 P(a<X≤b)=F(b)-F(a)

重要公式 (1) P{a  X  b} = F (b) − F (a) , (2) P{X  a} = 1 − F (a) . 证明 因 为 {X  b} = {X  a}{a  X  b}, {X  a}{a  X  b} =  , 所 以 P{X  b} = P{X  a}+ P{a  X  b}, 故 P{a  X  b} = F(b) − F(a)

23随机变量的分布西数三、 例题讲解例1将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面出现的次数”求X的分布律及分布函数，并求下列概率值P(1<X<3},P[X≥5.5),P(1<X≤3}解　设H-正面,T-反面，则S = (HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT)X0312因此分布律为1331p8888

S = HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 例1 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 设H − 正面 , T − 反面