广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

第二章随机变量及其分布第五节随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结 第五节 随机变量的函数的分布

2.5随机变量的函数的分布设X,Y是定义在S上的随X(e)机变量，y= g(x)是一个函数.若，恒有Y(e) = g(X(e))则称Y是X的函数，即为Y= g(X)yY(e) =g(X(e)问题A若已知的随机变量X的分布如何求随机变量Y=g(X)的分布？

若已知的随机变量X 的分布, 问题 𝒆 𝒀 𝒆 = 𝒈 ( 𝑿 𝒆 ) 设 𝑿 , 𝒀是定义在 𝑺上的随 机变量， 𝒚 = 𝒈 ( 𝒙 )是一 个函数. 若，恒有 𝑿 ( 𝒆 ) 𝒀 𝒆 = 𝒈 ( 𝑿 𝒆 )

2.5随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布设X是定义在S上的离散型随机变量，随机变量Y = g(X).由于X(S)只有有限个或可列无限多个元素，而Y(S) = g(X(S))则Y也是离散型随机变量问题K若已知随机变量X的分布律，人如何求随机变量Y=g(X)的分布律？

一、离散型随机变量的函数的分布 问题

2.5随机变量的函数的分布例1设随机变量X具有以下分布律试求Y=(X-1)的分布律X-10120.2 0.3 0.1 0.4解Y所有可能取的值为0，1,4.P= P((X-1) = 01= PX =1/= 0.1 未知→已知P(Y =1) = PX = 0) + P(X = 2)= 0.7 ,P[Y = 4} = P(X = -1}= 0.2K

例1 设随机变量X 具有以下分布律, 试求Y = ( 1) . X − 2的分布律 X p − 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 解 Y 所有可能取的值为0, 1, 4 . P{Y = 0} {( 1) 0} 2 = P X − = = P{X = 1}= 0.1 , P{Y = 1} = P{X = 0}+ P{X = 2}= 0.7 , P{Y = 4} = P{X = −1}= 0.2 未知 已知

2.5随机变量的函数的分布即得Y的分布律为Y0NPk0.70.20.1201X另一解法：因为Y0114Y0X所以Pk0.20.10.7R

即得Y的分布律为Y pk 0 1 4 0.1 0.7 0.2 X − 1 0 1 2 另一解法 ：因为 所以 Y pk 0 1 4 0.1 0.7 0.2

2.5随机变量的函数的分布如果X是离散型随机变量其函数Y=g(X)也是离散型随机变量若X的分布律为XxxXkRpiP2PkPk则Y=g(X)的分布律为g(x) g(x,) ...Y = g(X)9PkPiP2D注意若g(x)中有值相同的,应将相应的pk合并

如果X是离散型随机变量, 其函数Y = g(X) 也是离散型随机变量. 若 X 的分布律为 X k p x1 x2  xk  p1 p2  pk  则Y = g(X)的分布律为 pk Y = g(X) p1 p2  pk  g(x1 ) g(x2 )  g(xk )  注意 若 ( )中有值相同的, g xk 应将相应的 合并 . pk

2.5随机变量的函数的分布如果设21一1X321Pk666则 Y=X2-5的分布律Y411p22K

如果设 X k p − 1 1 2 6 1 6 2 6 3 则 Y = X 2 − 5的分布律 Y p − 4 − 1 2 1 2 1

2.5随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布设X是定义在S上的连续型随机变量，随机变量Y= g(X).则Y可能是离散型随机变量，也可能是连续型随机变量，还可以是非离散非连续的问题若已知随机变量X的概率密度函数如何确定随机变量Y=g(X)的类型并计算其概率分布？

问题 二、连续型随机变量的函数的分布

2.5随机变量的函数的分布例0设随机变量X具有概率密度0<x<1(2x,fx(x) = {“0,-其他求下列随机变量的分布：(0, X < 0.5(1)Y1 = (1, X ≥ 0. 5'(2) Y2 = 2X - 1;(0, X < 0.5(3) Y3 = x2 - 1;(4)Y4 = (x, X ≥ 0. 5'K

例0 设随机变量X 具有概率密度 其他. 求下列随机变量的分布：

2.5随机变量的函数的分布解记X的分布函数为Fx(x），则0,x≤0Fx(x) = β x2,0<x<1(1,x≥1(1)由定义可知：Y1的取值为0,1，且Y,的分布律为(Y1 = 0) = P(x < 0. 5D = Fx(0. 5) = 0. 25PP(Y1 = 1) = P(X ≥ 0. 5D = 1 - Fx(0. 5) = 0. 75未知已知K

(1) 由定义可知：𝒀𝟏的取值为0,1，且𝒀𝟏的分布律为 𝑷(𝒀𝟏 = 𝟎) = 𝑷 𝑿 < 𝟎. 𝟓 = 𝑭𝑿 𝟎. 𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝑷(𝒀𝟏 = 𝟏) = 𝑷 𝑿 ≥ 𝟎. 𝟓 = 𝟏 − 𝑭𝑿 𝟎.𝟓 = 𝟎. 𝟕𝟓 解 记𝑿的分布函数为𝑭𝑿(𝒙)，则 𝑭𝑿 𝒙 = ቐ 𝟎, 𝒙 ≤ 𝟎 𝒙 𝟐 , 𝟎 < 𝒙 < 𝟏 𝟏, 𝒙 ≥ 𝟏 未知 已知