广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布（习题课）

第三章多维随机变量及其分布第三章习题课一、重点与难点二、主要内容三、典型例题概率论与数理统计（第4版）

第三章 习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题

第3章习题课一、重点与难点1.重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性2.难点条件概率分布随机变量函数的分布

一、重点与难点 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布

第3章习题课二、主要内容随机变量推广的相互独立性维定义随联合分布律机联合分布联合概率密度函数变条件分布性定边缘分布义质两个随机变量的函数的分布

定 义 联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概 率 密 度 边 缘 分 布 条 件 分 布 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 定 义 性 质 二 维 随 机 变 量 推 广 二、主要内容

第3章习题课二维随机变量设E是一个随机试验，它的样本空间是S = {e),设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量由它们构成的一个向量（X,Y)，叫作二维随机向量或二维随机变量。●x(e)S+. Y(e)

. ( , ) ( ) ( ) , { }, 量或二维随机变量 由它们构成的一个向量 ，叫作二维随机向 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验，它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S S e E = = = 二维随机变量 e• •Y(e) S • X(e)

第3章习题课二维随机变量的分布函数(1) 定义设（X,Y）是二维随机变量对于任意实数x，y,二元函数：F(x,y)= P((X≤x)n(Y≤y))=P(X≤x,Y≤y)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数

(1) 定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } , : ( , ) , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量 对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y y X Y x =    =   二维随机变量的分布函数

第3章习题课(2) 性质1°F(x,y)是变量x 和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x, >x,时 F(x2,)≥F(xi,);对于任意固定的x,当y2 >y时F(x,J2)≥ F(x,Ji)2° 0 ≤ F(x,J)≤1, 且有对于任意固定的y, F(-oo,J)= lim F(x,J)=0 ;-80对于任意固定的x, F(x,-oo) = lim F(x,y)= 0;--8F(-o0,-) = lim F(x,y) = 0;x-8y--00R

, ( , ) ( , ); 1 ( , ) , 2 1 2 1 0 y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当  时  是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y  y 时F x y  F x y 2 0 ( , ) 1, 0  F x y  对于任意固定的y, (−, ) = lim ( , ) = 0 ; →−  F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,−) = lim ( , ) = 0; →−  F x F x y y (−,−) = lim ( , ) = 0; →−  →−  F F x y y x (2) 性质

第3章习题课F(+o0,+) = lim F(x, y) = 1.X+8y→+o3° F(x,y) = F(x + 0,y),F(x,y) = F(x,y+ 0),即F(x,y)关于x右连续关于y也右连续4° 对于任意(X1,J),(X2,J2), Xi <X2, 1 < y2,有 F(x2,y2)- F(x2,yi)+ F(X1,Ji) - F(X1,J2)≥ 0

(+,+) = lim ( , ) = 1. →+  →+  F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), 0 即 F x y 关 于 x 右连续关 于 y 也右连续 F x y = F x + y F x y = F x y + 4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 0 对于任意 x y x y x  x y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 有 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2 

第3章习题课(3）n维随机变量的概念设E是一个随机试验，它的样本空间是S=(el,设X = X,(e), X, = X,(e), ", X,= X,(e), 是定义在S上的随机变量由它们构成的一个n维向量(Xi,X2,,X,)叫做n维随机向量或n维随机变量对于任意n个实数xi,X2,…,xn,n元函数F(x),x2,...,x.) = P(X, ≤x,X, ≤x2,".,X, ≤x,)称为随机变量(X,Xz,,X,)的联合分布函数

( , , , ) . , ( ), ( ), , ( ), { }, , 1 2 1 1 2 2 叫 做 维随机向量或 维随机变量 在 上的随机变量 由它们构成的一个 维向量 设 是定义 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X X X n n S n X X e X X e X X e S e E n n n  = =  = = 对于任意n 个实数x1 , x2 ,  , xn ,n 元函数 ( , , , ) { , , , } F x1 x2  xn = P X1  x1 X2  x2  X n  xn ( , , , ) . 称为随机变量 X1 X2  Xn 的联合分布函数 (3) n 维随机变量的概念

第3章习题课二维离散型随机变量的分布律设二维离散型随机变量（X,Y)所有可能取的值为(x,y,),i,j = 1,2,,记P(X = x, Y = y,} = Pj, i,j = 1,2,.",称此为二维离散型随机 变量(X,Y)的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律：二维随机变量（X,Y）的分布律也可表示为：

. ( , ) , { , } , , 1,2, , ( , ), , 1,2, , ( , ) 随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机 变 量 的分布律 或 值 为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j   = = = = = 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为: 二维离散型随机变量的分布律

第3章习题课XXX2xYPi1P21PiyiJP12Pi2P221..·.yiPijP2jPi离散型随机变量（X,Y）的分布函数为EpiF(x,J)=x,sxyjsy其中和式是对一切满足x;≤x,;≤的i,j求和

    = x x y y ij i j F(x, y) p 离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为 其中和式是对一切满足x x, y y 的i, j求 和. i  j  X Y x1 x2  xi    j y y y 2 1 p11 p21  pi1  p12 p22  pi 2     p1 j p2 j  pij    